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        概率易錯(cuò)題面面觀

        2022-11-29 06:30:50劉宇峰
        初中生世界 2022年43期
        關(guān)鍵詞:算珠數(shù)是講題

        文/劉宇峰

        忽視等可能性

        例1把3顆算珠放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字,例如,圖1擺放的算珠表示數(shù)300。現(xiàn)將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。求構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率。

        圖1

        【錯(cuò)解】3顆算珠,3根插棒,我們將數(shù)字一一有序列舉出:

        情況1:將3顆算珠放百位上,只有一種結(jié)果,表示數(shù)300;

        情況2:將2顆算珠放百位上,剩下1顆有兩種放法,放在十位上,表示數(shù)210,或放在個(gè)位上,表示數(shù)201;

        情況3:將1顆算珠放百位上,剩下2顆有三種放法,都放在十位上,表示數(shù)120,或都放在個(gè)位上,表示數(shù)102,或十位、個(gè)位上各放一個(gè),表示數(shù)111;

        情況4:百位上不放,有四種放法,3顆算珠都放在十位上,表示數(shù)30,或十位上放2顆,個(gè)位上放1顆,表示數(shù)21,或十位上放1顆,個(gè)位上放2顆,表示數(shù)12,或都放個(gè)位上,表示數(shù)3。

        共有10種結(jié)果,其中構(gòu)成三位數(shù)的結(jié)果有6種,所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率是

        【分析】錯(cuò)解一一有序地列舉出構(gòu)成的數(shù)字,初看似乎有道理,但細(xì)細(xì)研究,我們不難發(fā)現(xiàn),這10種結(jié)果不具有等可能性。

        【正解】將3顆算珠任意擺放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上,等價(jià)于:有3顆算珠,首先放第一顆算珠,它可以放在百位上,可以放在十位上,也放在個(gè)位上,有3種等可能放法;接著放第二顆算珠,同樣,它可以放在百位上,可以放在十位上,也放在個(gè)位上,也是有3種等可能放法;最后放第三顆算珠,它同樣有3種等可能放法(百位、十位、個(gè)位),畫樹狀圖如下:

        將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上,共有27種等可能的結(jié)果,其中構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的結(jié)果有19種,所以構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率為

        【點(diǎn)評(píng)】求概率的前提條件是“等可能性”。一般地,設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè),它們都是隨機(jī)事件,每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,那么我們說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的,也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。

        未能區(qū)分“有放回”與“不放回”

        例2為了調(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,某班組織開展了“數(shù)學(xué)小先生”講題比賽,老師將四道備講題的題號(hào)1、2、3、4分別寫在完全相同的4張卡片的正面,將卡片背面朝上洗勻。小明隨機(jī)抽取兩張卡片,用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率。

        【錯(cuò)解】列表如圖。

        共有16種等可能的結(jié)果,其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種,

        所以小明隨機(jī)抽取兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為

        【分析】隨機(jī)抽取兩張卡片,相當(dāng)于先后抽兩次,第一次抽到的卡片不放回,再抽第二次。

        【正解】列表如圖。

        結(jié)果1 2 3 4 1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)

        共有12種等可能的結(jié)果,其中兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的結(jié)果有2種。

        所以小明隨機(jī)抽取兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率為

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于“抽卡片”“摸球”等類型的問題,我們要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“不放回”。對(duì)于“有無(wú)放回”,一是題目條件中明確交代是“有放回”,二是同時(shí)“抽”“摸”兩次,即暗示“無(wú)放回”?!皵S骰子”“拋硬幣”“搖轉(zhuǎn)盤”等類型的問題,第一次出現(xiàn)的,第二次還有可能出現(xiàn),相當(dāng)于“抽”“摸”中的“有放回”。

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