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        基于深度學(xué)習(xí)的“勾股定理的應(yīng)用”課堂設(shè)計(jì)

        2022-11-25 11:30:33青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)孔祥騫
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:勾股定理直角三角形變式

        ?青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué) 孔祥騫

        所謂深度學(xué)習(xí),是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].深度學(xué)習(xí)是改變傳統(tǒng)的一言堂、滿堂灌,突出學(xué)生為主體,側(cè)重思維發(fā)展的新型學(xué)習(xí)方式.下面就基于深度學(xué)習(xí)的一節(jié)課的課堂設(shè)計(jì)展開討論.

        1 教學(xué)分析

        1.1 教材分析

        本節(jié)是人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第17章第二節(jié)的內(nèi)容,主要是在前面已學(xué)過探究和證明勾股定理的基礎(chǔ)上對勾股定理進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

        1.2 教學(xué)目標(biāo)

        根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)情,對本節(jié)課制定以下教學(xué)目標(biāo):

        (1)經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型的過程,能用勾股定理解決問題,發(fā)展應(yīng)用意識;

        (2)在解決實(shí)際問題的過程中,體驗(yàn)解決問題的策略,養(yǎng)成獨(dú)立思考和質(zhì)疑的習(xí)慣.

        2 教學(xué)過程

        2.1 情境設(shè)置

        首先回顧勾股定理的主要內(nèi)容:

        師:上一節(jié),我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中三條邊的關(guān)系,請大家回憶勾股定理的主要內(nèi)容.

        生:在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于第三條邊的平方.

        師:請同學(xué)們嘗試用勾股定理解決下面的問題.

        課件呈現(xiàn):

        (1)求圖1所示的直角三角形的斜邊AB的長度;

        圖1

        (2)求圖2所示的Rt△ABC中BC的長度;

        圖2

        (3)求圖3所示的等腰三角形底邊BC上的高.

        圖3

        小組內(nèi)討論并思考:在解決問題時(shí),(1)(2)(3)三者之間的異同點(diǎn).

        小組A:都需要用勾股定理去解決.

        師:非常好,找到了解決問題的關(guān)鍵點(diǎn).那三個(gè)問題解決方法一樣嗎?

        師:說得非常準(zhǔn)確,理解也非常透徹!本節(jié)課我們就利用勾股定理直接求解,已知直角三角形某兩邊關(guān)系列方程求解和沒有直角三角形構(gòu)造直角三角形求解這三種情況開始學(xué)習(xí).

        設(shè)計(jì)意圖:利用三個(gè)簡單的基本三角形簡潔明了地展示了本節(jié)課的整體的設(shè)計(jì)脈絡(luò),同時(shí)為學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問題打開了思路,初步獲得解題經(jīng)驗(yàn),有利于學(xué)生更深刻地理解勾股定理的應(yīng)用.小組討論有利于學(xué)生思維的碰撞,提高合作意識,共同進(jìn)步.

        2.2 問題驅(qū)動(dòng)

        模塊一:直接應(yīng)用,鞏固定理

        教師出示問題:

        在一次臺(tái)風(fēng)的襲擊中,小明家房前的一棵大樹在離地面6 m處斷裂,樹的頂部落在離樹根底部8 m處,如圖4.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎?

        圖4

        生:由勾股定理可得樹原來有16 m.

        師:你是如何得出的?

        生:可以抽象出一個(gè)直角三角形,且兩直角邊分別為6 m和8 m,類似圖1,由勾股定理直接求折斷部分的長,然后與下半部分加起來即原樹高.

        設(shè)計(jì)意圖:本模塊的設(shè)置正是前面情境設(shè)置中的第(1)題的變式,賦予實(shí)際背景之后,學(xué)生只需將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)圖形,進(jìn)而解決.這里不僅要求學(xué)生對勾股定理透徹理解,還需要具有將實(shí)際圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形的能力.

        模塊二: 變換條件,探究變化

        如果變換條件,得到如下問題:

        在一次臺(tái)風(fēng)的襲擊中,小明家房前的一棵16 m的大樹被風(fēng)刮斷,如圖5,樹的頂部落在離樹根底部8 m處.你能告訴小明這棵樹是在多高處折斷的嗎?

        圖5

        師:請同學(xué)們先自己思考,再小組內(nèi)交流,最后以小組為單位解決問題.

        小組C:先由實(shí)際圖形抽象出一個(gè)直角三角形,由已知條件可得,一條直角邊邊長為8,另外兩邊都不知道,但是知道它們兩個(gè)的和為16.可以設(shè)另一條直角邊邊長為x,那么斜邊長就可以用16-x來表示,應(yīng)用勾股定理可得x2+82=(16-x)2,解出x即可.

        師:這一問題變化在哪?

        生:與圖2對應(yīng)的問題類似,已知直角三角形中確定一條邊以及另外兩條邊的關(guān)系,可以依據(jù)勾股定理列方程求解.

        設(shè)計(jì)意圖:本模塊在模塊一的基礎(chǔ)上條件稍作改變,依據(jù)情境設(shè)置中第(2)問的解題思路去解決,加深學(xué)生對勾股定理的理解,發(fā)展學(xué)生的方程思想.

        模塊三:鞏固提升,深度學(xué)習(xí)

        師:如圖6,在模塊一、二問題的基礎(chǔ)上,樹干A處有一知了,大樹折斷落地后同時(shí)從離地面3 m高的位置落到地面,且距離樹的的頂部4 m,你能求出知了原來在樹的多高處嗎?

        圖6

        要利用勾股定理解決此問題,需要找出所在的直角三角形,那么利用前面構(gòu)建的直角三角形可以解決嗎?需要將這一問題放在哪個(gè)直角三角形中呢?

        學(xué)生:可以考慮從A處向地面做一條垂線段AB,構(gòu)造出一個(gè)直角三角形.如圖7,在Rt△ABC中,兩直角邊分別為3和4,由勾股定理可得斜邊為5 m.也就是說知了離樹的頂端5 m,所以知了在樹的11 m高處.

        圖7

        設(shè)計(jì)意圖:基于模塊一和模塊二的實(shí)際背景,繼續(xù)探討沒有直角三角形時(shí),如何構(gòu)造直角三角形去解決問題.

        2.3 遷移應(yīng)用

        (1)如圖8,長方形ABCD中 ,AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上,若以點(diǎn)A為圓心,對角線AC的長為半徑作弧,交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為________.

        圖8

        (2)如圖9,印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141-1225)曾提出過“荷花問題”:“平平湖水清可鑒,面上半尺生紅蓮;出泥不染亭亭立,忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊;漁人觀看忙向前,花離原位二尺遠(yuǎn);能算諸君請解題,湖水如何知深淺?”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個(gè)問題.

        圖9

        (3)如圖10,有兩棵樹,一棵高12 m,另一棵高6 m,兩樹相距8 m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,則小鳥至少飛行______m.

        圖10

        小結(jié):今天你有哪些收獲?

        設(shè)計(jì)意圖:在前面三類問題的基礎(chǔ)上設(shè)置同樣類型的題目進(jìn)行練習(xí),加以鞏固,最后小結(jié),學(xué)生針對不同類型題目總結(jié)出不同解題策略,加強(qiáng)對勾股定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)深度.

        3 設(shè)計(jì)思考

        3.1 提煉模型,理解本質(zhì)

        “勾股定理的應(yīng)用”這一節(jié)先用三個(gè)有層次的簡單問題(知道直角三角形的兩邊,直接利用勾股定理計(jì)算第三邊;已知直角三角形中一條邊和另兩條的關(guān)系,利用勾股定理列方程計(jì)算;沒有直角三角形需構(gòu)造直角三角形)調(diào)動(dòng)學(xué)生思考、探究的積極性,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同問題的解題方法,提升學(xué)生的思維能力,并積累解題經(jīng)驗(yàn),形成解題思路,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

        3.2設(shè)計(jì)變式,分析模型

        教學(xué)過程中的三個(gè)模塊是在同一個(gè)實(shí)際背景下分別對應(yīng)情境設(shè)置中三個(gè)模型進(jìn)行的變式,由淺入深,逐層遞進(jìn).在經(jīng)歷了情境設(shè)置中的三個(gè)問題后,學(xué)生已經(jīng)有了解題思路,但需要深度加工,抽象出幾何圖形;同時(shí),變式也促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

        3.3 滲透思想,提升能力

        在變式中,學(xué)生進(jìn)一步深刻理解三類問題的解題方法,隨堂練習(xí)更是加深了學(xué)生對本節(jié)課的思想方法的理解.通過不斷地對知識歸納總結(jié),并對所學(xué)知識有新的認(rèn)識,進(jìn)一步達(dá)到深度學(xué)習(xí).

        4 寫在最后

        深度學(xué)習(xí)是理解性的教學(xué),不是灌輸性的教學(xué);是反思性的教學(xué),不是接受性的教學(xué)[2].深度學(xué)習(xí)是追求提升學(xué)科內(nèi)涵、發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué).

        深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)是建立在學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上,以學(xué)生為主體的設(shè)計(jì).若不能深入地開展教學(xué),只能認(rèn)為是教師一堂精彩的自我表演.因此,雙減教育形勢下,教學(xué)設(shè)計(jì)要考慮本節(jié)課的目標(biāo)是什么,重難點(diǎn)是什么,應(yīng)當(dāng)采用什么樣的教學(xué)手段讓學(xué)生構(gòu)建新的知識體系.在教學(xué)過程中,教師應(yīng)該研究知識本質(zhì),深挖知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,盡量將知識點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)整合,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)[3].

        蘇格拉底說:“教育不是灌輸,而是點(diǎn)燃火焰.”深度學(xué)習(xí)就是點(diǎn)燃學(xué)生、點(diǎn)燃課堂的火焰.期待深度學(xué)習(xí)的星星火焰,在數(shù)學(xué)課堂上日漸燎原.

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