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        初中數(shù)學(xué)中三角下放的探索
        ——張景中教育數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐研究

        2022-11-25 07:08:28周國(guó)飛
        新課程·上旬 2022年30期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教育教學(xué)

        周國(guó)飛

        (甘肅省敦煌市第二中學(xué),甘肅 敦煌)

        數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科,數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文等息息相關(guān),并為其提供基礎(chǔ)思維方式。數(shù)學(xué)發(fā)展的滯后會(huì)影響科技的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展,而數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)教育。近年來(lái),在教學(xué)教育方面的改革此起彼伏,從教育理念、教學(xué)內(nèi)容、課程設(shè)計(jì)、素養(yǎng)評(píng)價(jià)方面都做了大量卓有成效的嘗試,其中數(shù)學(xué)家張景中的教學(xué)思想便是著眼數(shù)學(xué)前沿發(fā)展和基礎(chǔ)教學(xué)結(jié)合視角的典型,對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要指導(dǎo)意義。

        一、張景中的教學(xué)思想

        張景中院士提出的教育數(shù)學(xué)思想促進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革。張景中院士是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、教育家,早年曾是一名中學(xué)教師,多年的教學(xué)經(jīng)歷讓張?jiān)菏考瓤梢砸砸幻處煹慕嵌人伎紨?shù)學(xué),又有數(shù)學(xué)家的高度研究教育。結(jié)合一線教師的教學(xué)實(shí)際,不斷完善數(shù)學(xué)教材改革方案,又不斷創(chuàng)作科普讀物,用生動(dòng)、通俗的故事和數(shù)學(xué)家的眼光普及數(shù)學(xué)知識(shí)。在《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中,張先生提出數(shù)學(xué)教育改革要注重教育成果的再創(chuàng)造,從而形成方向和學(xué)科,特別是將平面幾何的面積法下放到七年級(jí),可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

        二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑

        筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)21年,使用過(guò)的版本有人教版、華東師大版和北師大版,對(duì)比近幾年教材的變化,筆者發(fā)現(xiàn)在教材體系中幾何的占比大大減少:重心、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理、圓與圓的位置關(guān)系等在初中階段已全部刪減;幾何中的例題越來(lái)越簡(jiǎn)單,大部分是基礎(chǔ)證明題,對(duì)技巧性的要求比較低;個(gè)別定理、例題是利用驗(yàn)證、比對(duì)和實(shí)驗(yàn)的結(jié)論得出的,沒(méi)有嚴(yán)格的推理論證,學(xué)生知其然,不知其所以然,沒(méi)有體現(xiàn)出思想方法,不利于學(xué)生思維的培養(yǎng)。

        張景中院士的教育數(shù)學(xué)思想,將數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)學(xué)實(shí)踐中,使數(shù)學(xué)知識(shí)和思想在數(shù)學(xué)課堂中有了相輔相成之效。初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有意識(shí)地挖掘知識(shí)背后的思想,從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充盈思維自身的活力,學(xué)生能夠運(yùn)用思維轉(zhuǎn)化的力量,將較為復(fù)雜而生疏的問(wèn)題逐漸轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單而熟悉的內(nèi)容,這樣就能切實(shí)提高其解決實(shí)際問(wèn)題的能力,并取得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的進(jìn)展。聯(lián)系生活實(shí)際引出數(shù)學(xué)問(wèn)題,解答初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的疑惑,這恰恰是張景中院士在數(shù)學(xué)教學(xué)中所倡導(dǎo)的思想,學(xué)生學(xué)會(huì)了主動(dòng)地分析,利用畫圖或自我糾正巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題?,F(xiàn)階段的教材采用的是歐幾里得的《幾何原本》。而近些年以來(lái),數(shù)學(xué)教育在歐美、亞洲等地區(qū)都遇到困難,學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣降低,解題能力下滑,優(yōu)秀的學(xué)生不再喜歡數(shù)學(xué),連奧林匹克優(yōu)勝者都不肯學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。張?jiān)菏扛鶕?jù)教學(xué)實(shí)踐指出:“數(shù)學(xué)教育面臨的困難是多方面的,其中最重要的原因就是數(shù)學(xué)本身就難。”

        面對(duì)這樣的困境,張?jiān)菏恐赋觯骸叭绻麛?shù)學(xué)教育面臨的困難來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)本身的不足,這個(gè)困難就不可能由數(shù)學(xué)教育的努力而從根本上加以克服,只有數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造活動(dòng),才能解決問(wèn)題。”為此,張?jiān)菏刻岢鼋逃龜?shù)學(xué)的概念。教育數(shù)學(xué)就是遵循教育的普遍規(guī)律,針對(duì)不同的教育目的和功能,對(duì)數(shù)學(xué)成果再創(chuàng)造,讓每個(gè)學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。數(shù)學(xué)教育只注重?cái)?shù)學(xué)本身,著眼于數(shù)學(xué)的輸出和輸出的技巧,即教學(xué)的方法;而教育數(shù)學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)成果的再創(chuàng)造,需要數(shù)學(xué)創(chuàng)新。教育數(shù)學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)教程的再優(yōu)化:優(yōu)化教材內(nèi)容、優(yōu)化呈現(xiàn)方式、優(yōu)化測(cè)評(píng)內(nèi)容。為了詮釋這個(gè)宗旨,張?jiān)菏刻岢隽恕鞍褦?shù)學(xué)變?nèi)菀住钡目谔?hào)。

        三、三角下放在教學(xué)中的應(yīng)用

        基于教育數(shù)學(xué)優(yōu)化教程的思想,張景中院士提出將三角形下放的建議。三角在幾何中處于核心位置,它是解決數(shù)學(xué)圖形的基本工具,三角形全等和三角形相似的相關(guān)定理貫穿了四邊形、圓的計(jì)算和證明;它也是將代數(shù)與幾何緊密地聯(lián)系到了一起;一次函數(shù)、二次函數(shù)、平面坐標(biāo)系等重要的數(shù)學(xué)概念、計(jì)算都在運(yùn)用三角知識(shí);國(guó)旗的測(cè)量、燈塔有多高等實(shí)際問(wèn)題的解決也需要三角的相關(guān)知識(shí)。

        為了解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難題,優(yōu)化建議是在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的突破口,教師一定要采用更多的教學(xué)方法,讓學(xué)生有新穎的解題思路,原有的教學(xué)方法如果過(guò)于刻板應(yīng)逐漸改善,幫助學(xué)生判斷數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本要素,找出數(shù)與數(shù)之間的數(shù)量或空間關(guān)系,滲透初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間連貫性的內(nèi)容,克服原有的思維定式。在現(xiàn)有的思維過(guò)程中解決實(shí)際問(wèn)題,完善思維過(guò)程,創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,實(shí)現(xiàn)新概念的理解,才能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維瞬間被打通,防止學(xué)生將錯(cuò)誤的理解帶入新知識(shí)中。張?jiān)菏刻岢鰞?yōu)化的具體建議:“教育數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)是:簡(jiǎn)單明快的邏輯結(jié)構(gòu),平易直觀的概念和有力通用的解題方法?!痹趲缀晤I(lǐng)域,他利用面積法重新定義了三角,從根本上優(yōu)化了幾何的架構(gòu),從概念的定義、邏輯結(jié)構(gòu)、解體思路進(jìn)行創(chuàng)新。面積是基礎(chǔ),三角是手段,創(chuàng)新解題思路、讓幾何變簡(jiǎn)單是目的。面積法是張?jiān)菏拷逃龜?shù)學(xué)思想的結(jié)晶,三角是數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想的體現(xiàn),是聯(lián)系幾何代數(shù)的橋梁,為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的溝通搭建平臺(tái)。張?jiān)菏看蚱瞥R?guī),以面積為基礎(chǔ),以三角入手,拋開(kāi)在直角三角形中研究正弦的框架,提出了正弦的新概念。

        他利用將正方形壓扁成小菱形的過(guò)程,形象地給出了正弦的概念:“我們將有一個(gè)角為∠A的單位菱形(邊長(zhǎng)等于1)的面積,叫作∠A的正弦。記作:sin∠A或sinA。”邊都等于1的四邊形叫作單位菱形。單位菱形面積是度量平行四邊形面積的“工具”,其面積由夾角的大小確定。新的定義簡(jiǎn)單、直觀,讓學(xué)生眼前一亮,豁然開(kāi)朗。張奠宙先生曾這樣評(píng)價(jià):“張景中先生建議在小學(xué)用菱形面積引入正弦是一項(xiàng)重大的創(chuàng)新。”正弦既然這樣定義,那么離開(kāi)直角三角形余弦怎么定義?張?jiān)菏壳擅畹乩谜遗c余角的概念進(jìn)行定義:“一個(gè)角的余角的正弦,叫作這個(gè)角的余弦?!奔榷x了余弦,又推導(dǎo)出了正余弦之間的關(guān)系:cosα=sin(90°-α)。

        在其他版本的數(shù)學(xué)教材中,正弦定理是三角相似之后才出現(xiàn)的,是解決直角三角形的邊角關(guān)系,沒(méi)有參與幾何證明。張景中先生不束縛于歐幾里得的幾何體系,利用正弦定理建立了一套學(xué)生更容易掌握的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)。

        (一)正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系

        在直角三角形ABC中,我們利用直角三角形的面積算兩次的方法,通過(guò)簡(jiǎn)單推理就可以得到銳角正弦的定義:在直角三角形中,銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比。

        也可以進(jìn)一步驗(yàn)證正余弦之間的關(guān)系:cosA=sinB。

        (二)正弦與三角形全等和三角形相似

        在證明三角形全等的判定定理中共有五個(gè)定理:邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊和直角三角形的斜邊直角邊定理。這五個(gè)定理在七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí),既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。在七年級(jí)教學(xué)時(shí),主要通過(guò)尺規(guī)作圖來(lái)對(duì)比驗(yàn)證定理的存在性,也是尺規(guī)作圖的依據(jù)。

        幾何入門,畫圖理解定理是基本方法。在北師大三角形全等判定定理教學(xué)時(shí),我們要求學(xué)生以邊邊邊定理作為尺規(guī)作圖依據(jù),按照條件:ASA、SAS、HL,畫出符合條件的兩個(gè)三角形,剪下這兩個(gè)三角形,它們重合。

        先學(xué)正弦定理,我們可以嚴(yán)密證明SSS、ASA、AAS、HL,間接證明SAS。這對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)很大的改進(jìn)。當(dāng)然,在七年級(jí)教學(xué)中,直觀畫圖理解與三角法證明要相結(jié)合。

        在相似中,對(duì)于相似判定定理的教學(xué),要借助三角形相似的性質(zhì):“相似三角形,三邊對(duì)應(yīng)成比例?!睌?shù)學(xué)家項(xiàng)武義將其稱為“相似形基本定理”(見(jiàn)《古典幾何學(xué)》第25頁(yè))?!爸亟ㄈ恰钡膬?yōu)越性就在于:我們利用正弦定理,可以簡(jiǎn)明證明這一定理。學(xué)生提前掌握這一定理,奠定了三角形相似的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。順理推出相似三角形的概念。那么,利用兩角相等判定三角形相似就可以被“發(fā)現(xiàn)”了。事實(shí)上,基本定理“兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似”是初中幾何應(yīng)用頻率最為廣泛的定理之一。

        對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生,可以在七年級(jí)滲透“相似形基本定理”,但相似三角形的相關(guān)知識(shí)可以不出現(xiàn)。

        (三)正弦定理與共高定理、共邊定理、共角定理

        對(duì)于三角下放的思想中,張景中先生提出“三共”方案。

        共高定理是七年級(jí)必講的內(nèi)容,學(xué)生比較容易理解,可以在七年級(jí)開(kāi)始進(jìn)行滲透。特別是結(jié)合函數(shù)面積問(wèn)題進(jìn)行有針對(duì)性訓(xùn)練。對(duì)于共邊定理、共角定理,部分省市中考題也有涉及,可以在平時(shí)練習(xí)中進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練。

        四、結(jié)語(yǔ)

        在廣州等地嘗試性的課堂教學(xué)實(shí)踐表明,用面積定義正弦具有可行性。教育數(shù)學(xué)重新定義了正弦,又利用正弦定理貫穿了三共定理、三角形相似與全等、直角三角形邊角關(guān)系,搭建起了新的幾何體系。張?jiān)菏康恼腋拍钜呀?jīng)在科學(xué)性方面證明了合理性,但教學(xué)效果需要一線教師來(lái)實(shí)踐。我校實(shí)驗(yàn)教師首先在七年級(jí)的一個(gè)普通班進(jìn)行了角的正弦的教學(xué)實(shí)驗(yàn)課。課堂教學(xué)表明,用“面積”“折扣”的方式比較直觀,符合七年級(jí)學(xué)生認(rèn)知心理,降低了教學(xué)臺(tái)階,學(xué)生掌握新概念比較順利。又在生源不同的另外兩個(gè)班做了六個(gè)課時(shí)更深入的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)表明,在初中七年級(jí)用菱形面積引入正弦是可行的,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維。直面教育難題,根據(jù)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo),將三角下放,優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行概念重構(gòu)與體系重建,將會(huì)翻開(kāi)數(shù)學(xué)教育改革的新篇章。

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