［摘? 要］ 研究者以波利亞解題思想為指導(dǎo)，以現(xiàn)代教學(xué)軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì). 文章以一道“異面直線所成角有關(guān)的問題”為例，探索了基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)策略.

［關(guān)鍵詞］ 波利亞解題思想；GeoGebra；立體幾何

高中立體幾何具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性，對于拓展學(xué)生的理性思維、樹立學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神、培養(yǎng)學(xué)生幾何抽象等素養(yǎng)具有重要的意義. 傳統(tǒng)的高中立體幾何教學(xué)模式給予學(xué)生觀察動手的機(jī)會較少，相當(dāng)數(shù)量的教師在引導(dǎo)學(xué)生解答立體幾何問題時，往往依靠“指手畫腳”的方式進(jìn)行演示或練習(xí). 顯然，這種教學(xué)模式無論在形式上還是在內(nèi)容上都難以滿足新課標(biāo)對學(xué)生提出的要求.

GeoGebra是一款集統(tǒng)計(jì)、運(yùn)算、幾何、代數(shù)為一體的動態(tài)教學(xué)軟件［1］，可以從根本上解決立體幾何教學(xué)中“想象不到”的恐懼；同時，波利亞解題思想能夠?yàn)楦咧辛Ⅲw幾何解題提供一般性的思路，可以有效提高解題的效率和正確率. 兩者相結(jié)合，對教學(xué)立體幾何具有深遠(yuǎn)的意義. 筆者以波利亞解題思想為指導(dǎo)，以現(xiàn)代教學(xué)軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì).

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)的優(yōu)勢

1. 有利于激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)

部分高中學(xué)生的空間想象能力較弱，在面對立體幾何題目時常常出現(xiàn)“看不到、沒得想、畫不出、解不出”的困惑，并且隨著所學(xué)知識的繁雜以及時間的推移，對空間立體幾何的學(xué)習(xí)逐漸失去了信心. 而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)對于學(xué)生而言具有天然的親近感，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生一步一步地思考，還可以將一些難以理解的內(nèi)容通過現(xiàn)代信息技術(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的動態(tài)感性材料，從而有利于構(gòu)建出較為輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境. 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問題”時，教師可以利用GeoGebra設(shè)置粗細(xì)顯示的線條、豐富多彩的顏色，有效展示數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的欲望［2］.

2. 有利于促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

GeoGebra開源免費(fèi)，操作簡單，功能多樣，動態(tài)交互性較強(qiáng)，可以將靜態(tài)化為動態(tài)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)與圖像的同步變化；同時，GeoGebra網(wǎng)絡(luò)資源豐富，擁有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算能力，可以促使學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)概念的生成過程，有效培養(yǎng)學(xué)生的抽象和直觀想象素養(yǎng). 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問題”時，傳統(tǒng)教學(xué)僅僅通過空間圖形的方式展示異面直線所構(gòu)建的角，而將GeoGebra應(yīng)用到“異面直線所成角有關(guān)的問題”的解決過程中去，可以促使學(xué)生很自然地觀察到異面直線所構(gòu)建的角，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

3. 有利于提升課堂教學(xué)效率

傳統(tǒng)的立體幾何教學(xué)展示實(shí)物、繪制圖形都需要花費(fèi)大量的時間，并且課堂教學(xué)效果并不理想，而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)，可以為學(xué)生解決立體幾何問題提供一般思路，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的解題經(jīng)驗(yàn)，嘗試將立體幾何問題轉(zhuǎn)換為熟悉的知識點(diǎn)進(jìn)行解決，并且由于GeoGebra可視化的效果，可以降低學(xué)生的探究難度，有效突破學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙. 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問題”時，學(xué)生可以應(yīng)用波利亞解題思想，調(diào)整GeoGebra參數(shù)，開展嘗試性的試誤學(xué)習(xí)；還可以為學(xué)生提供動手試一試的機(jī)會，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更具有“現(xiàn)場感”.

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)策略

波利亞解題思想主要體現(xiàn)在波利亞解題表的設(shè)計(jì)上，在高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)中主要從以下幾個方面實(shí)施.

1. 理解題意

根據(jù)新課標(biāo)對立體幾何的要求以及高中立體幾何題目的特性，理解立體幾何題目就是將題目中的文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，畫出原始的幾何圖形，在此基礎(chǔ)上明確題目中的條件、已知量和未知量，并將題目定位到相應(yīng)的知識模塊之中，最大限度地遷移解題過程中可能會應(yīng)用到的相關(guān)定理和方法.

其次，以“你有些什么”為主題引導(dǎo)學(xué)生在圖形中增加3個表示長方體長寬高AA1，AB，BC的點(diǎn)X，Y，Z，目的是將未知量S與已知量X，Y，Z能聯(lián)系起來，如圖2所示.

2. 擬訂方案

要解決高中立體幾何問題離不開學(xué)生的知識儲備和已有經(jīng)驗(yàn)，理解題意后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在相應(yīng)的題庫中檢索到類似的題目，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去解題. 但在具體實(shí)踐中，學(xué)生在相應(yīng)的題庫中有時檢索不到類似的題目，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想去解題. 若上述兩種情況都不能滿足，教師可以利用解題經(jīng)驗(yàn)和知識儲備將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生較熟悉的模型去解題.

仍以上述題目為例，當(dāng)學(xué)生理解題意后，教師應(yīng)及時通過“如何才能求得S”這一問題引導(dǎo)學(xué)生將其及時轉(zhuǎn)化為求解共面的兩條直線的余弦值，從而應(yīng)用余弦定理求解獲得S.

其中，a可以利用長方體的長、寬、高求得，b可以利用長方體的寬、高求得，c可以利用長方體的長、高求得. 然后應(yīng)用線段將OX，OY，OZ，PY，PZ，QX，QZ連接起來，如圖6所示，從而將X，Y，Z與S建立起聯(lián)系.

3. 執(zhí)行計(jì)劃

顧名思義，執(zhí)行計(jì)劃就是將上述思維分析過程綜合起來，在擬訂方案的指導(dǎo)下，規(guī)范地應(yīng)用數(shù)學(xué)符號語言將所學(xué)知識、思想方法、數(shù)學(xué)原理等付諸實(shí)踐的過程［3］.

4. 回顧

回顧即檢驗(yàn)、總結(jié)和思考，一方面教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證所求結(jié)果的正確性，另一方面也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考在具體問題求解過程中遇到了哪些障礙和困難，當(dāng)面對這些障礙和困難時是如何解決的，是否還會有其他更加便捷的解題方法，更重要的是教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)題目中的關(guān)鍵信息和題目的相關(guān)特征，以便學(xué)生遇到類似問題時能夠及時通過遷移等方式做到觸類旁通、舉一反三.

仍以上述題目為例，首先，教師應(yīng)及時通過主題“你從本題中學(xué)到了什么”要求學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，即為了獲得S，我們需要求解O，P，Q，進(jìn)而需要用到X，Y，Z，從而在結(jié)論和已知條件之間建立起聯(lián)系. 其次，教師還應(yīng)通過主題“你是否還有其他求解方式”要求學(xué)生拓展思維，聯(lián)系已學(xué)知識和解題經(jīng)驗(yàn)，用多種方法解決異面直線所成角問題，如通過向量法求解. 最后，教師還應(yīng)及時組織學(xué)生總結(jié)該題目所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想和滲透的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié)語

綜上所述，基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可以為高中立體幾何問題的解答提供一般性的思路［4］，幫助學(xué)生探索到立體幾何的本質(zhì)，并在自我提問、自我反思、自我總結(jié)的過程中有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 楊璐.基于波利亞解題思想的GeoGebra工具下高考立體幾何題的案例分析［D］. 寧夏師范學(xué)院，2021.

［2］? 肖志軍. 探究中深入，拓展中升華——GeoGebra支持下一道圓錐曲線試題的探究［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（12）：96-98.

［3］? 周躍佳. 運(yùn)用GeoGebra探索解析幾何本質(zhì)，編制直線過定點(diǎn)問題［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（33）：74-76.

［4］? 朱釗. GeoGebra軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（30）：50-53+66.

作者簡介：陳志遠(yuǎn)（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.