何業(yè)亮 賀小雪

［摘? 要］ 函數(shù)貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，它具有基礎(chǔ)性、工具性、啟發(fā)性，為學(xué)生提供了解題思路，推動(dòng)了解題流程，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不可估量的作用．新舊版高中數(shù)學(xué)教材對(duì)函數(shù)的部分定義也發(fā)生了改變，下面以“兩個(gè)函數(shù)相等”的定義為例對(duì)比分析新舊版教材的差異．

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；新舊版教材；函數(shù)定義

對(duì)舊版教材定義的分析

人教A版高中數(shù)學(xué)必修1教材將“兩個(gè)函數(shù)相等”定義為（以下記為“舊版教材定義”）：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等［1］． 由上述定義可知，若兩個(gè)函數(shù)存在相等關(guān)系，那么必須滿足的條件有兩個(gè)，一是定義域相等，二是對(duì)應(yīng)關(guān)系相同．

文［2］提出了疑惑：如果兩個(gè)函數(shù)只存在定義域相等，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，那么這兩個(gè)函數(shù)是相等的嗎？然后舉了兩個(gè)例子（見(jiàn)例1和例2），得出“有可能相等”的結(jié)論，最后指出“‘舊版教材定義’的表述存在歧義”．

例1 已知函數(shù)f（x）=x+1與g（x）=x2+1的定義域都是｛0，1｝，判斷這兩個(gè)函數(shù)是否相等．

例2 已知函數(shù)f（x）=x與g（x）=x4的定義域都是｛-1，0，1｝，判斷這兩個(gè)函數(shù)是否相等．

文［3］指出上面例1中的兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是相同的，然后分析大學(xué)階段“關(guān)系說(shuō)”的函數(shù)定義，最后草率地肯定“舊版教材定義”．

1. 疑惑

（1）兩例中的兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否均相同？

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．據(jù)筆者調(diào)查，將其理解為施加在自變量上的運(yùn)算關(guān)系非常流行． 譬如，函數(shù)g（x）=x2+1的對(duì)應(yīng)關(guān)系是自變量的平方再加1． 事實(shí)上，這種體現(xiàn)對(duì)應(yīng)過(guò)程的理解是膚淺的、片面的． 筆者認(rèn)為，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系反映的是對(duì)應(yīng)的結(jié)果，如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，那么它的本質(zhì)是對(duì)自變量的同一個(gè)取值，都會(huì)有相同的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)． 文［2］和文［3］都未說(shuō)清這一點(diǎn)，均停留在“對(duì)應(yīng)過(guò)程”層面． 由于例1中的對(duì)應(yīng)關(guān)系（x→y）是0→1，1→2，例2的對(duì)應(yīng)關(guān)系（x→y）是－1→1，0→0，1→1，故這兩例中的兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，只是對(duì)應(yīng)過(guò)程的“表現(xiàn)形式”（即解析式）不同而已．

（2）“舊版教材定義”是否有問(wèn)題？

筆者查閱蘇教版、北師大版和人教B版高中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)都未提及“兩個(gè)函數(shù)相等”的定義． 但仔細(xì)品讀這三個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材會(huì)發(fā)現(xiàn)：這四個(gè)版本（含人教A版）教材對(duì)函數(shù)概念的敘述基本相同，都是源自法國(guó)布爾巴基學(xué)派所完善的函數(shù)“關(guān)系說(shuō)”定義，只不過(guò)是簡(jiǎn)化型和濃縮版. 不難看出，構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域. 而函數(shù)的值域又是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系所決定的，故“舊版教材定義”沒(méi)有根本上的問(wèn)題． 文［2］提到了一個(gè)大學(xué)版“兩個(gè)函數(shù)相等”的定義（以下記為“大學(xué)版定義”）：若兩個(gè)函數(shù)f與g有相同的定義域D，且對(duì)每個(gè)x∈D，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值f（x）與g（x）相等，則稱兩個(gè)函數(shù)相等． 筆者認(rèn)為它與“舊版教材定義”的本質(zhì)相同，但各有千秋．具體來(lái)講，“舊版教材定義”較精煉，便于學(xué)生記憶；“大學(xué)版定義”雖然翻譯了兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相等，但操作性稍遜色．實(shí)證表明，在非定義域的范圍內(nèi)或忽略定義域去判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相等是普遍現(xiàn)象，極不嚴(yán)謹(jǐn)，有時(shí)會(huì)出錯(cuò)，但不能把原因歸為“舊版教材定義”有問(wèn)題． 故在此基礎(chǔ)上，新版教材對(duì)舊版教材的“兩個(gè)函數(shù)相等”的定義做了補(bǔ)充和修改．

新版教材對(duì)定義的完善

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材對(duì)“兩個(gè)函數(shù)相等”是這樣定義的（以下記為“新版教材定義”）：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)． 由此我們亦可得，兩個(gè)函數(shù)相等的必需條件是：第一，定義域相等；第二，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同；第三，相同自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同. 相對(duì)于舊版教材，新版教材在原定義的基礎(chǔ)上增加了“相同自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同”．

例3 已知函數(shù)f（x）=1與g（x）=sin2x+cos2x的定義域都是R，判斷這兩個(gè)函數(shù)是否相等．

例4 已知函數(shù)f（x）=x+1與g（x）=x2+1的定義域都是（0，1），判斷這兩個(gè)函數(shù)是否相等．

函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是指“輸入值集合中的每項(xiàng)元素皆能對(duì)應(yīng)唯一一項(xiàng)輸出值集合中的元素”，因此對(duì)應(yīng)關(guān)系相等，應(yīng)該是兩個(gè)函數(shù)取同一自變量時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同． 例3中的兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)x取任意值時(shí)，f（x）與g（x）都是相等的，且都等于1，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，因此f（x）=1與g（x）=sin2x+cos2x是相等的函數(shù)．例4中的兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)f（x）在定義域范圍內(nèi)取x=0.5時(shí)，f（0.5）=1.5；當(dāng)g（x）在定義域范圍內(nèi)取x=0.5時(shí)，g（0.5）=1.25，因此f（0.5）≠g（0.5）． 可見(jiàn)這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，值域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，因此它們不是相等的函數(shù)．

新版教材在舊版教材的基礎(chǔ)上加了一個(gè)條件，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，使原來(lái)的定義更加完善. 為了嚴(yán)謹(jǐn)起見(jiàn)，下面給出了用定義判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的操作流程（見(jiàn)圖1）．

總結(jié)和建議

1. 敬重教材

教材是許多數(shù)學(xué)工作者的心血，他們經(jīng)過(guò)斟酌敲打，最后才有智慧結(jié)晶． 所以應(yīng)敬重教材，要學(xué)會(huì)高瞻遠(yuǎn)矚地品讀教材．

從句子品讀，體會(huì)微言大義．不僅更能揭示函數(shù)概念的本質(zhì)，而且更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)．從結(jié)構(gòu)品讀，收獲教學(xué)智慧．給學(xué)生提供一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的機(jī)會(huì)，為以后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

2. “玩”好概念

概念是學(xué)科的基石． 李邦河院士曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)從根本上玩的是概念，而不是技巧． 技巧不足道也！”作為數(shù)學(xué)教師，必須“玩”好概念．

（1）認(rèn)清定義的固有特性．

定義與定理雖一字之差，但固有特性截然不同． 定義必具充要性，而定理未必如此． 譬如，“兩個(gè)函數(shù)相等”的定義表明：兩個(gè)函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同是兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件，這既能當(dāng)作函數(shù)相等的判定條件，又可以作為函數(shù)相等的性質(zhì)；零點(diǎn)存在性定理揭示：函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且f（a）·f（b）<0是函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)的充分條件． 由于不滿足必要性，所以只能作為函數(shù)存在性零點(diǎn)的判定條件．

（2）理解概念的本質(zhì)屬性．

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不能停留在表面，應(yīng)深入到本質(zhì)，否則極容易犯錯(cuò)誤．

以上乃筆者之拙見(jiàn)，權(quán)當(dāng)拋磚引玉，敬請(qǐng)同仁斧正！

參考文獻(xiàn)：

［1］? 劉紹學(xué)． 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2007．

［2］? 章建躍． 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)第一冊(cè)（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［3］? 葉景輝，吳偉朝． 教材這樣定義有問(wèn)題嗎？［J］． 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（03）：16．

作者簡(jiǎn)介：何業(yè)亮（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，馬林名師工作室成員，校教研組長(zhǎng)，市骨干教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作十余年.