郭 育 紅

( 河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 張掖 734000 )

0 引 言

在整數(shù)分拆理論中，MacMahon[1]第一次定義了正整數(shù)的有序分拆．即把正整數(shù)n表示成一些正整數(shù)的有序和，其中每一項叫該分拆的分部量．如果不考慮分部量的順序就是無序分拆．例如，4的有序分拆有4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1或(4)，(3，1)，(1，3)，(2，2)，(2，1，1)，(1，2，1)，(1，1，2)，(1，1，1，1)共8個，而無序分拆有5個：4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1．有序分拆的反分拆是把該分拆的分部量的順序倒過來產(chǎn)生的分拆．例如，(1，1，2)的反分拆就是(2，1，1)，它們互為反分拆．分拆α的反分拆用α′表示．

在經(jīng)典的分拆理論中，分拆恒等式的研究一直是熱點問題之一[1-3]．近年來，許多研究者得到了豐富的研究成果[4-9]．本課題組也得到了一些關(guān)于帶約束的有序分拆恒等式[10-16]．

通常把正整數(shù)n的分部量是1或者2的有序分拆稱為1-2有序分拆，把正整數(shù)n的分部量是奇數(shù)的有序分拆稱為奇有序分拆．

借助于正整數(shù)的帶約束的有序分拆與特殊數(shù)列的關(guān)系，能夠產(chǎn)生一些有趣的分拆恒等式．比如，正整數(shù)n的1-2有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n+1的奇有序分拆數(shù)．尋找分拆恒等式一直是整數(shù)分拆理論研究中有趣的內(nèi)容，但是，獲得分拆恒等式或者給出分拆恒等式的組合證明仍然是比較困難的．

本文考察正整數(shù)的首、末兩端分部量是1或者2的1-2有序分拆，給出這些有序分拆數(shù)與Fibonacci 數(shù)之間的一些關(guān)系式，進(jìn)而，利用熟知的與Fibonacci數(shù)相關(guān)的有序分拆恒等式得到幾個新的有序分拆恒等式，并給出組合雙射證明．

1 預(yù)備知識

在文獻(xiàn)[1]中，MacMahon給出了有序分拆的圖表示，稱為zig-zag圖，類似于無序分拆的Ferres圖，即將有序分拆每個分部量λi依次用含有λi個點的行來表示，但要求下一行的第一個點與上一行的最后一個點對齊．例如14的有序分拆(6，3，1，2，2)的zig-zag圖如圖1所示．

圖1 Zig-zag圖

文獻(xiàn)[6]中給出了關(guān)于正整數(shù)的分部量帶約束的一些有序分拆數(shù)與Fibonacci數(shù)之間的關(guān)系式．所謂Fibonacci數(shù)是指滿足以下條件的數(shù)：F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2，n>2．

下面以定理的形式給出文獻(xiàn)[6]中幾個熟知的關(guān)系式．

定理1[6]設(shè)正整數(shù)n的分部量是1或者2的有序分拆數(shù)為C1-2(n)，則

C1-2(n)=Fn+1；n>0

其中Fn+1是第n+1個Fibonacci數(shù)．

定理2[6]設(shè)正整數(shù)n的分部量是奇數(shù)的有序分拆數(shù)為Codd(n)，則

Codd(n)=Fn；n>0

其中Fn是第n個Fibonacci數(shù)．

定理3[6]設(shè)正整數(shù)n的分部量是大于1的有序分拆數(shù)為C>1(n)，則

C>1(n)=Fn-1；n>1

其中Fn-1是第n-1個Fibonacci數(shù)．

2 主要結(jié)果

首先給出下面與分部量2有關(guān)的1-2有序分拆數(shù)和Fibonacci數(shù)的一個關(guān)系式．

其中Fn是第n個Fibonacci數(shù)．

下面給出該定理的一個組合證明．

證明把正整數(shù)n的首、末兩端的分部量至少有一個是2的1-2有序分拆分為下面兩類：

(A)左端的分部量是2；

(B)左端的分部量是1．

對于(A)類中的任意一個分拆α=(2，a2，a3，…，ak)，若ak=1，則直接刪掉ak=1，就得到了n-1的首、末兩端分部量至少有一個是2，且左端分部量是2的1-2有序分拆；若ak=2，則把左端的分部量2用1替換，就得到了n-1的首、末兩端分部量至少有一個是2，且左端分部量不是2的1-2有序分拆．這樣，就得到了n-1的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆．反之，對于n-1的首、末兩端分部量至少有一個是2的任意一個1-2有序分拆β=(b1，b2，…，bs)，其中b1、bs中至少有一個是2，若b1=2，則在β的右端添上分部量1，就得到分拆γ=(b1，b2，…，bs，1)，則γ就是n的右端分部量是1的相應(yīng)1-2有序分拆．若b1=1，此時bs=2，用b1+1替換b1，得到Δ=(2，b2，…，bs)，則Δ就是n的右端分部量是2的相應(yīng)1-2有序分拆．這樣就說明了(A)類中的分拆與n-1的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆是一一對應(yīng)的．

即

故結(jié)論成立．

□

由于正整數(shù)n的1-2有序分拆數(shù)等于Fn+1，利用Fibonacci數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于分部量1的1-2有序分拆的一個關(guān)系式．

其中Fn-1是第n-1個Fibonacci數(shù)．

下面給出該關(guān)系式的一個組合證明．

證明把正整數(shù)n首、末兩端分部量都是1的1-2有序分拆分為下面兩類：

(A)第二個分部量是2，即α=(1，2，a3，…，ak，1)；

(B)第二個分部量是1，即β=(1，1，c3，…，ct，1)．

對于(A)類中的任意一個分拆α=(1，2，a3，…，ak，1)，直接刪掉第二個分部量2就得到了n-2的首、末兩端分部量都是1的1-2有序分拆．反之，對于n-2的首、末兩端分部量都是1的任意一個1-2有序分拆γ=(1，b2，…，bs-1，1)，在前兩個分部量1與b2之間添上分部量2，得到的分拆δ=(1，2，b2，…，bs-1，1)，就是n的首、末兩端分部量都是1的相應(yīng)分拆．這樣就說明了(A)類中的分拆與n-2的首、末兩端分部量都是1的1-2 有序分拆是一一對應(yīng)的．

對于(B)類中的任意一個分拆β=(1，1，c3，…，ct，1)，刪掉β的第一個分部量1，就得到了n-1的首、末兩端分部量都是1的1-2有序分拆．反之，對于n-1的首、末兩端分部量都是1的任意一個1-2有序分拆ζ=(1，c1，c2，…，cs-1，1)，在ζ的左端添上分部量1，就得到了n的首、末兩端分部量都是1，且左邊至少有2個分部量1的1-2有序分拆．這樣就說明了(B)類中的分拆與n-1的首、末兩端分部量都是1的1-2有序分拆是一一對應(yīng)的．

即

故結(jié)論成立．

□

進(jìn)一步考察，得到下面與Fibonacci數(shù)相關(guān)的結(jié)果．

其中Fn是第n個Fibonacci數(shù)．

其中Fn是第n個Fibonacci數(shù)．

定理6與定理7的組合證明類似于定理5，故證明略．

下面給出定理6的一個例子．

例1設(shè)n=6，則6的首端分部量是1的1-2 有序分拆有下面8個：

(1，2，2，1)，(1，2，1，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，2，1)，(1，1，1，1，2)，(1，1，1，1，1，1)，(1，1，2，2)，(1，2，1，2)

由定理6及定理1～3可得到下面的有序分拆恒等式．

推論1正整數(shù)n的首端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n的奇有序分拆數(shù)．

推論2正整數(shù)n的首端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n+1的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

推論3正整數(shù)n的首端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n-1的1-2有序分拆數(shù)．

類似地，給出下面的恒等式．

推論4正整數(shù)n的末端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n的奇有序分拆數(shù)．

推論5正整數(shù)n的末端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n+1的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

推論6正整數(shù)n的末端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)等于n-1的1-2有序分拆數(shù)．

下面僅給出推論6的一個例子．

例2設(shè)n=6，則6的末端分部量是1的1-2有序分拆有下面8個：

(1，2，2，1)，(1，2，1，1，1)，(2，2，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，1，1)，(2，1，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，1，1，2，1)

與5的以下8個1-2有序分拆一一對應(yīng)：

(1，2，2)，(1，2，1，1)，(2，2，1)，(1，1，2，1)，(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，1，2)，(1，1，1，2)

結(jié)合定理3和定理5，易得下面的有序分拆恒等式．

定理8正整數(shù)n的首、末兩端的分部量都是1的1-2有序分拆數(shù)等于n的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

利用有序分拆的共軛易知兩類分拆之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，證明略．

由定理4和定理2可得到下面的恒等式．

定理9正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆數(shù)等于n的奇有序分拆數(shù)．

下面給出該定理的一個組合證明．

證明對于正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的任意一個1-2有序分拆α=(a1，a2，…，ak)，若a1=1，此時ak=2，在α中，按照從左向右的順序，將分部量1和其右邊相鄰的所有分部量2相加，產(chǎn)生的和作為新的分部量，這樣得到的分拆就是n的左端分部量是1，右端分部量大于1的奇有序分拆．反之，對于n的右端分部量大于1的任意一個奇有序分拆，將大于1的奇分部量分拆成“1，2，2，…，2”的形式，就得到n的左端分部量是1，右端分部量是2的1-2有序分拆．

在α中，當(dāng)a1=2時，分兩種情形來討論：

(a)右端的分部量ak=1；

(b)右端的分部量ak=2．

對于情形(a)中的任意一個分拆β=(2，a2，…，ak-1，1)，首先將左端的分部量2分拆成“1，1”，得到分拆γ=(1，1，a2，…，ak-1，1)，然后在分拆γ中按照從左向右的順序，將分部量1和其右邊相鄰的所有分部量2相加，產(chǎn)生的和作為新的分部量，這樣就得到n的左、右兩端分部量都是1的奇有序分拆．反之，對于n的左、右兩端分部量都是1的任意一個奇有序分拆，將大于1的奇分部量分拆成“1，2，2，…，2”的形式，然后將左端的兩個相鄰的分部量“1，1”相加，得到的2作為新的分部量，就得到情形(a)中的分拆．

兩類分拆之間是一一對應(yīng)的．

□

下面給出一個例子來說明定理9中的對應(yīng)關(guān)系．

例3設(shè)n=6，則6的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆有下面8個：

(2，2，2)，(2，1，1，2)，(2，2，1，1)，(1，1，2，2)，(1，1，1，1，2)，(2，1，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，2，1，2)

與6的以下8個奇有序分拆一一對應(yīng)：

(5，1)，(3，1，1，1)，(1，3，1，1)，(1，5)，(1，1，1，3)，(1，1，1，1，1，1)，(1，1，3，1)，(3，3)

類似地，由定理4、定理1和定理3得到下面的恒等式．

定理10正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆數(shù)等于n-1的1-2有序分拆數(shù)．

證明對于正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的任意一個1-2有序分拆δ=(r1，r2，…，rt)，若rt=2，則用rt-1=1替換rt，就得到n-1的右端分部量是1的相應(yīng)分拆．若rt=1，則r1=2，求δ的反分拆δ′=(rt，…，r2，r1)，然后刪掉δ′左端的分部量rt，就得到n-1的右端分部量是2的相應(yīng)分拆．

反之，對于n-1的任意一個1-2有序分拆σ=(c1，c2，…，ck)，若ck=1，則用ck+1=2替換ck，就得到n的右端分部量是2的1-2有序分拆；若ck=2，先在σ的左端添上分部量1，得到分拆τ=(1，c1，c2，…，ck)，再求τ的反分拆τ′，則τ′就是n的右端分部量是1，左端分部量是2的1-2有序分拆．

故兩類分拆之間一一對應(yīng)．

□

定理11正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆數(shù)等于n+1的分部量大于1的有序分拆數(shù)．

故兩類分拆之間一一對應(yīng)．

□

由定理4和定理6可得到下面的恒等式．

推論7正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的首端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)．

證明對于正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的任意一個1-2有序分拆α=(a1，a2，…，ak)，其中a1、ak至少有一個是2，若ak=1，此時a1=2，則求α的反分拆，就得到n的左端分部量是1，右端分部量是2的1-2有序分拆．若ak=2，分兩種情況：當(dāng)a1=2，將a1=2分拆成“1，1”，并把這兩個1分別放在左、右兩端；當(dāng)a1=1，此時ak=2，將ak=2分拆成“1，1”．于是得到n的左、右兩端分部量是1的1-2有序分拆．反之，對于n的任意一個首端分部量是1的1-2有序分拆β=(b1，b2，…，bt-1，bt)，其中b1=1，若bt=2，求β的反分拆，就得到n的左端分部量是2，右端分部量是1的1-2有序分拆；若bt=1，分兩種情況：當(dāng)bt-1=1，把bt與bt-1合并得到的2作為右端新的分部量；當(dāng)bt-1=2，把bt與左端的分部量b1合并得到的2作為左端新的分部量．于是得到n的右端分部量是2的1-2有序分拆．

□

由定理4和定理7可得到下面的恒等式．

推論8正整數(shù)n的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的末端分部量是1的1-2有序分拆數(shù)．

該推論的證明與推論7相同，故證明略．

下面給出推論8的一個例子．

例4設(shè)n=6，則6的首、末兩端分部量至少有一個是2的1-2有序分拆有下面8個：

(2，2，2)，(2，1，1，2)，(2，2，1，1)，(1，1，2，2)，(1，1，1，1，2)，(2，1，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，2，1，2)

與6的以下8個末端分部量是1的1-2有序分拆一一對應(yīng)：

(1，2，2，1)，(1，2，1，1，1)，(2，2，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，1，1)，(2，1，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，1，1，2，1)

3 結(jié) 語

在整數(shù)分拆理論中，分拆恒等式的研究一直是研究熱點，而關(guān)于分部量帶約束條件正整數(shù)有序分拆恒等式的研究還不是非常深入．本文主要考察了正整數(shù)的分部量是1或者2的有序分拆，尤其是正整數(shù)的首、末兩端分部量是1或者2的1-2有序分拆，得到了這些有序分拆數(shù)與Fibonacci 數(shù)之間的一些關(guān)系式．進(jìn)而，利用熟知的與Fibonacci數(shù)相關(guān)的有序分拆恒等式，得到了幾個關(guān)于正整數(shù)的1-2有序分拆的新的有序分拆恒等式，并給出了組合雙射證明．這些結(jié)果在理論上進(jìn)一步豐富了整數(shù)分拆恒等式，同時也為尋找整數(shù)分拆恒等式的組合雙射證明提供了一些方法．