吳 偉 才， 劉 俊 吉， 謝 衛(wèi) 軍

( 湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006 )

0 引 言

圖論在數(shù)學和數(shù)學物理的很多領域，特別是在代數(shù)的分類方面有著廣泛的應用．復數(shù)域上的有限維單李代數(shù)和Kac-Moody代數(shù)的分類都可以用Dynkin圖給出[1-2]．在文獻[3-4]中，Heckenberger 利用廣義Dynkin圖給出了對角型Nichols代數(shù)對應的算術根系的分類．Wang等在文獻[5]中利用帶參數(shù)的交換圖給出了秩2的任意域上對角型Nichols代數(shù)的分類．在文獻[6-7]中，Wang等利用帶參數(shù)的交換圖分類了所有的秩3、4的任意域上對角型的有限維Nichols代數(shù)．文獻[8]利用樹圖給出了有限維單李代數(shù)的標準Lyndon路．在Kac-Moody代數(shù)的研究中，仿射Lie代數(shù)分為非扭仿射Lie代數(shù)和扭仿射Lie代數(shù)兩種，其中非扭單邊仿射Lie代數(shù)因其對應的廣義Cartan矩陣是對稱矩陣而有良好的性質．本文證明連通的非扭單邊仿射Lie代數(shù)對應的Dynkin圖恰好是全部的最小點數(shù)為1的連通Shuhan圖．

1 基本定義

令I={1，2…，n}，現(xiàn)在回顧一下圖論的基本概念[9]．令Γ1是一個非空集合且Γ2?{{u，v}|u，v∈Γ1，u≠v}?2Γ1，則Γ=(Γ1，Γ2)稱為一個圖；Γ1稱為圖Γ的頂點集；Γ2稱為圖Γ的邊集；元素{u，v}∈Γ2稱為一條邊，寫作λu，v．如果G=(G1，G2)是一個圖且滿足G1?Γ1和G2?Γ2，則G稱為圖Γ的子圖．如果?≠H1?Γ1且H2={λu，v∈Γ2|u，v∈H1}，則H=(H1，H2)是一個子圖，稱為由圖Γ中H1生成的子圖．λumum-1…λu3u2λu2u1稱為從u1到um的一條路．可以定義Γ1上面的等價關系如下：對任意的u，v∈Γ1，u和v是等價的當且僅當存在一條從u到v的路或者u=v．Γ1的每一個等價類生成的子圖都叫做圖Γ的連通部分．

Shuhan圖是一個滿足下列條件的無向圖Γ(只有頂點有標記)：

(i)存在I到圖Γ頂點的雙射φ；

(ii)對任意的i∈I，頂點φ(i)上標記為xi，xi∈N，N為正整數(shù)集；

(iii)對任意的i≠j∈I，φ(i)和φ(j)之間的邊數(shù)為λi，j，這里λi，j=λj，i∈{0，1}；

通俗來講，Shuhan圖就是任何一個頂點上面的標記恰好是所有與它相連的頂點上面的標記之和的一半的圖．Shuhan圖的子圖是一個圖，但不一定是Shuhan圖．

為了表述方便，本文把頂點上面的標記a直接表述成頂點a，標記數(shù)記成點數(shù)．

2 主要結果

首先給出連通Shuhan圖的分類．

(ii)如果a

證明(i)是顯然的．

如果沒有特殊說明，下文中圖的頂點上最少的點數(shù)記為a，a∈N．

證明由圖Γ的定義，若頂點a與另外的頂點相連，則只能連總數(shù)為2a-b的頂點，而2a-b

引理4對于?l∈N，0

(ii)若給出的圖是Shuhan圖的連通部分，則點數(shù)為la+ra的頂點要與總點數(shù)為2ra的頂點相連，由于a最小，則r=0.5且點數(shù)為la+0.5a的頂點只能與點數(shù)為a的頂點相連，這與引理2矛盾．

證明由Shuhan圖的定義，ai=ia1，1≤i≤n，考慮第n個頂點的點數(shù)，結論是顯然的．

若Γ2l+1是Shuhan圖的連通部分，則點數(shù)為(2l+1)a的頂點要與總點數(shù)為2(l+1)a的頂點相連，且由引理1(i)可知，新連頂點的點數(shù)不能少于la+0.5a，又由引理4，只有2種可能：

(1)與點數(shù)為(l+1)a的另外2個頂點相連，此時新得到點數(shù)為(l+1)a的頂點都分別要與另外總點數(shù)為a的頂點相連，由于l≥3，與引理1(i)矛盾．

(2)與點數(shù)為2(l+1)a的另外1個頂點相連，即得到了Γ2(l+1)．

若Γ2(l+1)是Shuhan圖的連通部分，則點數(shù)為2(l+1)a的頂點要與另外總點數(shù)為(2l+3)a的頂點相連，且由引理1(i)可知，新連頂點的點數(shù)不能少于(l+1)a，又由引理4，只有2種可能：

(3)與點數(shù)為(l+1)a和點數(shù)為(l+2)a的另外2個頂點相連，由引理1(ii)可知，此時新得到點數(shù)為(l+2)a的頂點只能與另外總點數(shù)為2a的一個頂點相連，由于l≥3，與引理1(i)矛盾．

(4)與點數(shù)為(2l+3)a的另外1個頂點相連，即得到Γ2(l+1)+1．

用上面的方法歸納得出，若Γk(k≥7)是Shuhan 圖的一部分，則最終可以得到一個單鏈的Shuhan圖，這與引理5矛盾．

定理1連通的Shuhan圖是圖1中的1個(每種情形都有n+1個頂點)．

圖1 連通的Shuhan圖

(1)與點數(shù)為a的另外3個頂點相連；

(2)與一個點數(shù)為a和一個點數(shù)為2a的另外2個頂點相連；

(3)與點數(shù)為3a的另外1個頂點相連．

(22)與一個點數(shù)為2a的另外1個頂點相連，新得到點數(shù)為2a的頂點要與另外總點數(shù)為2a的頂點相連．只有2種可能…

(3221)與點數(shù)為3a的另外2個頂點相連，而新得到點數(shù)為3a的兩個頂點分別要與另外總點數(shù)為a的兩個頂點相連，這與引理1(i)矛盾．

命題1(i)連通Shuhan圖Γ連接新的頂點得到的圖不是Shuhan圖．

(ii)若Shuhan圖Γ的某個子圖也是Shuhan圖，則Γ是離散的．

證明(i)圖Γ中連接新的頂點的點數(shù)一定不滿足Shuhan圖的條件．

(ii)由(i)可得．

3 結 語

本文研究了Shuhan圖的分類與應用，得到了5種類型的連通Shuhan圖，研究結果在矩陣論和Kac-Moody代數(shù)以及圖論領域中都有廣泛的應用．對于頂點之間邊數(shù)大于1的圖，即廣義Shuhan圖，它們的性質和分類也是一個值得深究的問題．