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        問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)探究問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)探究

        2022-11-19 04:47:46張文彬
        關(guān)鍵詞:乘法驅(qū)動矩陣

        ◎張文彬

        (廣州華商學(xué)院,廣東 廣州 511300)

        一、引言

        線性代數(shù)作為高等院校經(jīng)管類、理工類各專業(yè)的三大數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程之一,其概念、方法具有較強的抽象性與邏輯性,它著力培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力與計算能力.但根據(jù)筆者多年在應(yīng)用型本科院校的教學(xué)實踐得到的反饋,線性代數(shù)抽象性的特點往往令學(xué)生望而生畏.學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中普遍感到困惑,不知道教材中的概念公式從何而來又能用在何處,導(dǎo)致在學(xué)習(xí)過程中無法提起興趣.此外,學(xué)生在學(xué)完線性代數(shù)課程后往往只會套用公式,無法了解線性代數(shù)的實用性.事實上,線性代數(shù)的不少理論知識與方法,在自然科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,學(xué)生之所以產(chǎn)生不會用的現(xiàn)象,主要是因為線性代數(shù)教學(xué)存在以下幾個問題.

        1.教學(xué)模式少有更新.在傳統(tǒng)的教學(xué)觀念里,教師講解概念、推導(dǎo)公式定理、演示計算與證明,更側(cè)重于解題方法的訓(xùn)練,容易忽視線性代數(shù)問題產(chǎn)生的實際背景以及在其他領(lǐng)域的應(yīng)用,與社會生產(chǎn)生活脫節(jié).并且現(xiàn)行的大部分線性代數(shù)教材都過多地講述理論,缺少問題背景和豐富的應(yīng)用實例.

        2.課堂教學(xué)手段和方法較為單一.目前線性代數(shù)課堂多數(shù)以理論知識的講解與灌輸為主,突出理論知識的重要性,輕視對學(xué)生主動思考能力、主動探索能力的培養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生的主觀能動性難以在學(xué)習(xí)過程中提升,反而會漸漸降低,甚至無法喚醒.

        3.教學(xué)課時比較少.大部分高等院校的線性代數(shù)課程的設(shè)置是2學(xué)分,共計32學(xué)時或36學(xué)時,教學(xué)內(nèi)容包括:行列式、矩陣、線性方程組的解.教學(xué)課時不充足,教師在講解線性代數(shù)時,往往會有緊迫感.很多教師為了完成教學(xué)任務(wù),通常是單刀直入地講主要內(nèi)容,不會深入挖掘內(nèi)容的背景與應(yīng)用.這就不可避免地影響了學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

        4.學(xué)生的思維惰性嚴(yán)重,同時期望跟教師學(xué)到有價值的知識.但在長期的應(yīng)試教育影響下,學(xué)生獨立思考解決問題的能力較差,對教師的依賴程度極高,缺乏學(xué)習(xí)的自覺性.但現(xiàn)在的學(xué)生是在飛速發(fā)展的高科技時代成長起來的,會接觸大量信息技術(shù)知識,使用了不少高科技產(chǎn)品,比如,刷臉支付、機器人、無人機等.他們的思想活躍、興趣廣泛,也渴望從教師那里獲取更有價值的知識.

        為改善目前的教學(xué)問題,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,我們試著采用問題驅(qū)動教學(xué)法進(jìn)行教學(xué).問題驅(qū)動是以實際問題為出發(fā)點,融合計劃講解的教學(xué)知識點,利用以前所學(xué)的內(nèi)容解決問題.它以學(xué)生為主體,讓學(xué)生圍繞著問題探索解決方案,而教師在此過程中扮演問題提出、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計的角色.

        二、問題驅(qū)動的教學(xué)設(shè)計注意事項

        教師以問題驅(qū)動的方式進(jìn)行教學(xué),在問題設(shè)計時需要注意以下幾個方面:

        1.所引用的實例,要盡可能從學(xué)生熟悉的實例出發(fā),選用日常生活中經(jīng)常接觸的問題.如果教師引用的實例是純數(shù)學(xué)的或者是大部分學(xué)生沒有接觸過的,那么不僅不利于學(xué)生理解知識點,還會抑制學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.因此,在設(shè)計問題時,教師要考慮大部分學(xué)生的認(rèn)知水平.在課堂教學(xué)中引入的實際問題,還需要考慮不同班級學(xué)生的水平差異,避免造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難.

        2.根據(jù)知識點設(shè)計的問題,要注意問題層次性.教師不能期望一個問題能將所有的知識點全部囊括進(jìn)去.在設(shè)計時,教師可逐步增加問題的難度,把知識的各個層面一一包含.特別是對于難度比較大、抽象程度高的知識點,在設(shè)計問題時,教師更應(yīng)該將其拆解成多個簡單易懂的問題,以逐步遞進(jìn)的方式解決.同時,學(xué)生通過問題的逐個解決,也能形成自主學(xué)習(xí)、自我探索、總結(jié)歸納的能力.在這個過程中,教師需要盡量引導(dǎo)學(xué)生自主思考和作答.

        3.設(shè)計的問題,盡量與專業(yè)背景相關(guān).為了盡可能地調(diào)動學(xué)生的主觀能動性和參與程度,也為了提高線性代數(shù)課程的應(yīng)用價值,教師所設(shè)計的問題還要注意結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè),以此促進(jìn)各個學(xué)科的交叉融合.

        4.只針對線性代數(shù)核心知識點進(jìn)行精細(xì)的問題設(shè)計.由于線性代數(shù)課程知識點、定理、公式繁多,再加上教學(xué)課時少,如果教師對所有問題都進(jìn)行問題驅(qū)動教學(xué),勢必會影響教學(xué)進(jìn)度,但教師可以將部分問題的設(shè)計放到線下,在學(xué)生已經(jīng)對問題驅(qū)動教學(xué)模式熟悉后,由學(xué)生自主學(xué)習(xí),然后在課堂上輔助解答學(xué)生自主學(xué)習(xí)時所遇到的問題.

        三、問題驅(qū)動下的教學(xué)示例

        本部分內(nèi)容,我們給出矩陣乘法和逆矩陣兩個教學(xué)示例,來闡述問題驅(qū)動教學(xué)的使用方法.

        (一)矩陣乘法

        矩陣是線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)內(nèi)容之一,而矩陣乘法在矩陣運算中更是有著至關(guān)重要的地位,它對初學(xué)者而言,非常抽象,學(xué)習(xí)難度大.為提高矩陣乘法的實用性,降低其抽象性,也為了讓學(xué)生參與課堂,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,筆者以問題驅(qū)動的方式,結(jié)合實際背景和學(xué)生的水平與需求,由淺入深地對矩陣乘法進(jìn)行展開教學(xué),充分調(diào)動學(xué)生的思維,以此幫助學(xué)生掌握矩陣乘法運算.

        首先,教師可用問題吸引學(xué)生,使得學(xué)生感受到所學(xué)的知識是來源于實際生活.其次,教師可將知識融入問題中,用問題來啟發(fā)學(xué)生思考,并用問題將矩陣乘法所需要滿足的運算規(guī)則呈現(xiàn)出來.最后,教師可用具體的問題驅(qū)動矩陣乘法的教學(xué).

        問題1:假設(shè)甲學(xué)生購買了一些文具,其中簽字筆6支,每支1.5元;文件袋4個,每個3元;練習(xí)本10本,每本2.5元;涂改液1瓶,每瓶3元.總共花了多少錢?

        這個問題當(dāng)然可以用小學(xué)的方法來計算,但是我們知道矩陣可以用來存儲數(shù)據(jù),所以我們用矩陣來表示問題中的數(shù)據(jù),設(shè)文具價格矩陣為P,購買文具數(shù)量矩陣為N,則

        可算出總共花的錢:1.5×6+3×4+2.5×10+3×1=49(元).

        但我們可以用兩個矩陣相乘的方法來表示,即PN.

        從中,我們可以發(fā)現(xiàn)行矩陣和列矩陣的乘法規(guī)則:

        ①行矩陣和列矩陣元素個數(shù)一樣多;

        ②行矩陣和列矩陣相乘是對應(yīng)坐標(biāo)相乘再相加,實際上與我們向量的數(shù)量積運算一樣.

        現(xiàn)在把問題做些許推廣,如下.

        問題2:假設(shè)乙學(xué)生也購買了相同品種的文具,其中簽字筆8支,文件袋3個,練習(xí)本8本,涂改液2瓶,每種文具的單價與問題1相同,求兩個學(xué)生分別花了多少錢.

        仿照問題1的做法:

        =(1.5×6+3×4+2.5×10+3×1 1.5×8+3×3+2.5×8+3×2)=(49 47).

        我們發(fā)現(xiàn)在乘法左邊行矩陣元素的個數(shù)與乘法右邊矩陣每一列的元素個數(shù)相等的條件下,所得到的矩陣是一個1×2的矩陣.

        接著,繼續(xù)把問題做些許改動,如下.

        問題3:在問題1的基礎(chǔ)上,假設(shè)丙學(xué)生在文具店和網(wǎng)店都購買了相同品種、相同數(shù)量的文具,文具店價格與問題1一致,但是網(wǎng)店價格有所不同.網(wǎng)店價格:簽字筆每支1.2元,文件袋每個2.5元,練習(xí)本每本4元,涂改液每瓶3元;購買數(shù)量方面,丙購買了簽字筆5支,文件袋3個,練習(xí)本6本,涂改液2瓶.求丙在文具店和網(wǎng)店各花了多少錢.

        仿照問題1、2,將價格矩陣和購買數(shù)量矩陣寫出,如下:

        這時,我們發(fā)現(xiàn)在乘法左邊矩陣每一行元素的個數(shù)與乘法右邊矩陣的元素個數(shù)相等的條件下,所得的矩陣是一個2×1的矩陣.

        從問題2和問題3,我們可以總結(jié)矩陣乘法的又一個規(guī)則:兩個矩陣相乘所得的矩陣,其行數(shù)與乘法左邊矩陣的行數(shù)相同,列數(shù)與乘法右邊矩陣的列數(shù)相同.

        現(xiàn)在把問題一般化.

        問題4:假設(shè)某牛奶工廠生產(chǎn)四種牛奶,向三家超市供應(yīng).那么供應(yīng)的數(shù)量可以用如下矩陣來表示:

        其中aij為牛奶工廠向第i家超市供應(yīng)的第j種牛奶的數(shù)量(i=1,2,3;j=1,2,3,4).

        這四種牛奶的單價及單件重量也可列成矩陣

        其中bi1為第i種牛奶的單價,bi2為第i種牛奶的單件重量.求這家牛奶工廠向三家超市供應(yīng)的牛奶總值和總重量.

        分析:供應(yīng)的總值=供應(yīng)的數(shù)量×單價,供應(yīng)的總重量=供應(yīng)的數(shù)量×單件重量;用ci1表示第i家超市供應(yīng)牛奶的總值,用ci2表示第i家超市供應(yīng)牛奶的總重量,其中i=1,2,3.則

        類似地,可以寫出c21,c22,c31,c32.

        所以,得到

        在完成以上的四個問題后,教師要確保學(xué)生領(lǐng)會兩個矩陣相乘的必要條件,兩個矩陣相乘的步驟,兩個矩陣相乘的維度等基本知識和運算規(guī)則.這樣,得到矩陣乘法的定義如下.

        定義1設(shè)A=(aij)是一個m×s矩陣,B=(bij)是一個s×n矩陣,則矩陣A與B的乘積C=(cij)是一個m×n矩陣,并且

        教師通過導(dǎo)入與學(xué)生日常學(xué)習(xí)相關(guān)的四個問題,調(diào)動學(xué)生們的注意力,吸引學(xué)生參與問題的討論和解決,一步一步引出矩陣乘法的運算法則.這個過程也能充分地讓學(xué)生體會到解決問題的愉悅,從而進(jìn)一步提高課堂學(xué)習(xí)效率.

        在給出矩陣乘法的定義之后,可以繼續(xù)提出以下問題:

        ①矩陣的乘法和數(shù)的乘法有哪些不同點?

        ②你能否設(shè)計出兩個不為零的矩陣,它們相乘之后是零矩陣?(需要引導(dǎo)提示學(xué)生從簡單的矩陣入手)

        教師通過這兩個問題,繼續(xù)調(diào)動學(xué)生參與課堂的興趣,幫助學(xué)生理解矩陣乘法的特點.其中問題②難度較大,教師可以將其留作課后思考題.

        (二)逆矩陣

        逆矩陣的概念是線性代數(shù)中矩陣的重要內(nèi)容,對初學(xué)者而言不容易掌握.在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時候,教師可引入矩陣密碼通信問題.

        問題1:在古代戰(zhàn)爭中,乘馬、驛站是主要的遠(yuǎn)距離傳遞戰(zhàn)爭信息的方式.但到了近現(xiàn)代,戰(zhàn)爭信息的傳遞方式也發(fā)生了很大變化.很多的戰(zhàn)爭電影和諜戰(zhàn)影視劇里,都會經(jīng)常出現(xiàn)與信息的加密和解密相關(guān)的精彩片段.那么這些信息的加密和解密是如何進(jìn)行的呢?

        問題2:如果要你以數(shù)字的形式發(fā)送“back home”這條信息,你會怎么發(fā)送?

        我們可以將26個英文字母以及一個空格與數(shù)字進(jìn)行一一對應(yīng)(如表1),這樣就可以將信息數(shù)字化.

        表1 空格和字母與數(shù)字間的對應(yīng)

        這樣,被發(fā)送的信息“back home”就對應(yīng)著一串?dāng)?shù)字“213110815135”.但這樣的一串?dāng)?shù)字,接收方能正確識別嗎?我們有什么辦法將一串?dāng)?shù)字“213110815135”按照我們想要的方式進(jìn)行分隔呢?

        問題3:如何將問題2中的數(shù)字信息以矩陣的形式發(fā)送?

        問題4:如果我們希望自己發(fā)送的信息不那么容易被不懷好意的人破解,該怎么辦?

        對信息進(jìn)行加密,是我們自然而然的想法.我們選取一個密碼矩陣X,并且設(shè)

        用X左乘A,則得到

        即發(fā)送方將加密后的矩陣B發(fā)送出去.

        問題5:接收方在接收到矩陣B之后,如何解密?也就是如何將實際信息對應(yīng)的矩陣A求出來?

        作為合法的接收方自然知道密碼矩陣X.問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋阂阎獌蓚€矩陣的乘積,以及已知這兩個矩陣中的其中一個,如何求另一個矩陣?這個運算就是矩陣乘法的逆運算.

        由此,教師通過五個現(xiàn)實問題,提高學(xué)生的注意力,用層層遞進(jìn)的方式,調(diào)動全體學(xué)生積極思考,以解決問題為目標(biāo),引出逆矩陣的概念和運算.

        在熟悉逆矩陣的概念和運算后,我們可以接著問題5,繼續(xù)進(jìn)行提問:

        問題6:上面的加密過程中用密碼矩陣X左乘A,還有沒有其他的加密方式?

        設(shè)置這個問題的目的主要是鼓勵學(xué)生主動探索其他加密方式.但這個過程需要教師的提示:X可以從左邊乘A,也可以從右邊乘A,還可以在A的左、右兩邊同時乘可逆的密碼矩陣X和X′.這樣,問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樵赬和X′可逆條件下,求解矩陣方程:

        XA=B,AX=B,XAX′=B.

        如此,矩陣密碼通信問題就滲透了逆矩陣概念和運算的學(xué)習(xí)過程.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感受到學(xué)習(xí)的新知識是為了解決問題而學(xué)習(xí),同時也能解決問題,可以很好地提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,增加課堂的效率.

        可以接著問題6,繼續(xù)進(jìn)行提問:

        ①發(fā)送的信息是不是必須寫成方陣的形式?

        ②為了使信息發(fā)送出去后,增加被不法用戶破譯的難度,密碼矩陣該如何選擇?

        將上述兩個問題作為課后思考題,學(xué)生可以帶著問題進(jìn)入課后復(fù)習(xí),鞏固課堂內(nèi)容階段,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

        四、結(jié)束語

        文章以矩陣乘法和逆矩陣為例闡述基于問題驅(qū)動的線性代數(shù)教學(xué),用實際例子吸引學(xué)生,以問題驅(qū)動學(xué)生積極思考,在思考的過程中運用所學(xué)知識解決實際問題,感受到理論與實踐相結(jié)合,從而提升教學(xué)質(zhì)量.事實上,線性代數(shù)的很多章節(jié)內(nèi)容都可以引入實際問題,以解決問題為驅(qū)動來實現(xiàn)知識和思維方式的傳授.比如,教師在講解二階行列式時,可以結(jié)合平行四邊形面積公式給出二階行列式的幾何意義;在講解向量組的線性表示時,可以引入混凝土的調(diào)配問題;在講解向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)組時,可以引入中成藥藥方配制問題;在講解線性方程組解的判定時,可以結(jié)合營養(yǎng)配方問題,導(dǎo)出線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu).

        教學(xué)實踐表明,以問題驅(qū)動的方法教學(xué),不但可以讓學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用,而且可以提高學(xué)生的課堂參與度,達(dá)到我們預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).同時,問題驅(qū)動的教學(xué)模式,需要任課教師對課程的知識結(jié)構(gòu)體系掌握得非常清晰,對課程的重難點也要準(zhǔn)確把握.此外,任課教師還要了解時事熱點與社會動態(tài),方便搜集編寫出符合時代潮流的問題.而這就要求任課教師不斷地學(xué)習(xí)與課程相關(guān)的拓展和延伸知識.

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