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        關(guān)于2×2分塊矩陣性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)于2×2分塊矩陣性質(zhì)的應(yīng)用

        2022-11-19 04:46:32任芳國和嘉琪
        關(guān)鍵詞:綜上行列式分塊

        ◎任芳國 和嘉琪

        (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710119)

        一、引 言

        矩陣是高等(線性)代數(shù)與矩陣分析研究的核心對象,它具有豐富的內(nèi)容及廣泛的應(yīng)用.分塊矩陣使矩陣的結(jié)構(gòu)及運算變得簡單清晰,是研究矩陣的最基本、最重要的工具之一.它貫串于整個高等代數(shù)學(xué)習(xí)的始終,體現(xiàn)了整體到局部再到整體的數(shù)學(xué)思想,在矩陣的數(shù)字特征如矩陣的行列式、秩中有著重要的應(yīng)用,特別地,2×2分塊矩陣是研究分塊矩陣的基礎(chǔ).本文主要利用2×2分塊矩陣、矩陣行列式及秩的基本性質(zhì),討論了2×2分塊矩陣在矩陣行列式、秩方面的應(yīng)用.

        為了敘述方便, 我們對文中符號進行約定:Mn×m表示復(fù)數(shù)域上所有n×m階矩陣構(gòu)成的集合,Mn×n簡記Mn;In表示n階單位矩陣,AT,A*,|A|,r(A),n(A)分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置,共軛轉(zhuǎn)置,行列式,秩及零度.其他未說明的見參考文獻[1]-[2].

        為了本文討論更方便需要引入以下定義和引理.

        定義1 設(shè)A=(aij)n∈Mn.

        (1)如果滿足A*A=In,稱A是酉矩陣;

        (2)設(shè)Aij是A中元素aij的代數(shù)余子式,稱n階方陣adj(A)為A的經(jīng)典伴隨矩陣,其中adj(A)的(i,j)元素為Aji(i,j=1,…,n).

        如果A11可逆,則|A|=|A11|·|A22-A21A11-1A12|;

        如果A22可逆,則|A|=|A22|·|A11-A12A22-1A21|.

        二、主要定理

        (1)|H|=|A|d-yTadj(A)x.

        證明(1)①當(dāng)A是可逆矩陣時,由引理1及adj(A)=A-1|A|知,

        |H|=|A|(d-yTA-1x)=|A|d-yT|A|A-1x=|A|d-yTadj(A)x;

        (2.1)

        綜上,結(jié)論得證.

        (2)由于A(λ)=A+λeeT,其中e=(1,…,1)T,則由引理1及2.1知,

        綜上,定理得證.

        推論1設(shè)A=(aij)n∈Mn,Aij是A中元素aij的代數(shù)余子式,λ是一個未定元,A(λ)=(aij+λ)n,則

        另一方面由行列式的性質(zhì)有,

        (1)如果AC=CA,則|H|=|AD-CB|.

        (2)如果AB=BA,則|H|=|DA-CB|.

        (2)由于AB=BA,則有ATBT=BTAT.于是由行列式性質(zhì)知,

        綜上所證,定理得證.

        綜上,定理得證.

        (1)n(A11)=n(B22); (2)r(A11)=r(B22)+r+s-n.

        (2)由于r(A11)=s-n(A11),r(B22)=n-r-n(B22),于是由(1)知,(2)成立.證畢.

        r(U22)=n-2k+r(U11).

        三、結(jié) 論

        分塊矩陣是高等(線性)代數(shù)與矩陣分析討論的重點內(nèi)容之一,矩陣的分塊能使矩陣的結(jié)構(gòu)變得清晰,運算變得簡便,因此,分塊矩陣是研究矩陣的最基本、最重要的工具之一.本文利用2×2分塊矩陣的重要性質(zhì)、矩陣行列式、秩的基本性質(zhì),討論了行列式的重要性質(zhì),獲得了分塊可逆矩陣與其逆矩陣之間子塊秩之間的關(guān)系,旨在提高用分塊矩陣去解決矩陣問題的能力,為高等(線性)代數(shù)與矩陣分析的學(xué)習(xí)和研究提供參考.

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