福建 湯小梅

2022年新高考Ⅰ卷的數(shù)學(xué)試題對(duì)能力的要求比往年高，“題海戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降．這就需要我們面對(duì)高考數(shù)學(xué)試題時(shí)，學(xué)會(huì)多角度欣賞，從中發(fā)現(xiàn)試題的解決規(guī)律．高考對(duì)立體幾何取值范圍問題的考查也不例外，通過背景包裝、更換幾何體、變條件、變結(jié)論等多種方式對(duì)教材的例題、習(xí)題、高考真題進(jìn)行重新加工，看似平常，實(shí)則有很多值得品味的東西．現(xiàn)以2022年新高考Ⅰ卷第8題為例，從考題點(diǎn)評(píng)、解法探究、解法點(diǎn)評(píng)、追根溯源、同源變式等角度來欣賞它，輕松突破求立體幾何取值范圍問題的思維瓶頸．

1.試題呈現(xiàn)

2.考題點(diǎn)評(píng)

這道立體幾何試題是單選題的壓軸題，屬于課程學(xué)習(xí)情境，其文字表述流暢，考查內(nèi)容豐富，但題目表述簡(jiǎn)潔美觀，令人賞心悅目．借用正四棱錐的外接球?yàn)楸尘埃砻婵疾榈氖强臻g幾何體的體積取值范圍問題，實(shí)際上考查考生利用導(dǎo)數(shù)或三元均值不等式解決正四棱錐體積的取值范圍問題，考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想、空間想象與運(yùn)算求解能力，以及直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，意在考查理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用．在近六年新課標(biāo)試卷中，利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化立體幾何問題在2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題首次考查，這次是第二次考查．此類考題彰顯了規(guī)避特殊技巧，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

3.解法探究

圖1

所以正四棱錐的體積

所以正四棱錐的體積

【解法3】如圖1，設(shè)該球的半徑為R，正四棱錐的側(cè)棱與高的所成角為θ，

【另解】也可以利用余弦定理，得

所以l=6cosθ，

所以正四棱錐的體積

=144(sinθcos2θ)2，

則y=sinθcos2θ=t(1-t2)=t-t3，

【解法4】如圖1，設(shè)該球的半徑為R，正四棱錐的側(cè)棱與高的所成角為θ，

所以l=6cosθ，故正四棱錐的體積

=72×2sin2θcos2θcos2θ

【解法5】如圖1，底面正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為E，球的球心為O，設(shè)該球的半徑為R，∠EOC=α，

所以正四棱錐的體積

=18sin2α(1+cosα)

=18(1-cosα)(1+cosα)2

=9(2-2cosα)(1+cosα)2

4.解法點(diǎn)評(píng)

在上述的五種解法中，解法1用“導(dǎo)數(shù)法求取值范圍”是常規(guī)解法，為大多數(shù)同學(xué)所選．通過作出草圖，觀察圖形特征，利用球的體積公式，即可求出球的半徑．設(shè)正四棱錐的底邊長(zhǎng)a和高h(yuǎn)，利用球心、正四棱錐底面的外接圓的圓心、正四棱錐的頂點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形，再利用勾股定理，得a，h與l的關(guān)系式，從而找到四棱錐的體積關(guān)于l的函數(shù)，借用“導(dǎo)數(shù)”的工具性，通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出四棱錐體積的取值范圍．解法2用“均值不等式法求最值”，對(duì)解法1中所求的四棱錐的體積關(guān)于l的關(guān)系式，借用“三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式”(也稱基本不等式的推論)．解法3用“換元法求范圍”，即設(shè)正四棱錐的側(cè)棱與高的所成角為θ，求出四棱錐的體積關(guān)于θ的函數(shù)，并對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行換元，再借用導(dǎo)數(shù)，得四棱錐體積的取值范圍．解法4用“均值不等式法求最值”，對(duì)解法3中所求的四棱錐的體積關(guān)于θ的關(guān)系式，借用“三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式”，即可得其最值.解法5用“均值不等式法求最值”，即設(shè)∠EOC=α，此種角的設(shè)法，相比解法4的角的設(shè)法求出的四棱錐的體積更為簡(jiǎn)單，求出四棱錐的體積關(guān)于α的函數(shù)，借用“三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式”，即可得其最值，展現(xiàn)了基本不等式的推論在求最值中的威力和魅力，充分顯示了解法的靈活性，實(shí)屬巧思妙解，干凈利落，意猶未盡．

5.追根溯源

本題來源于2017人教A版必修第二冊(cè)第169頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8第4題：如圖，一塊邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分．將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，把容器的容積V(單位：cm3)表示為x(單位：cm)的函數(shù)．

2022年新高考Ⅰ卷第8題仍用本題的正四棱錐的背景，以及把四棱錐的體積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，添加了四棱錐的外接球的背景，在原來的難度上，加大難度，考查了導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化問題或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式的應(yīng)用．

在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予課本例題、習(xí)題新的生命，這已成為高考命題的一種新走向．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變，尤其對(duì)立體幾何的考查，形式多樣，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考題都能在課本中找到其原型．所以我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)備考的過程中要注意對(duì)課本例題、習(xí)題的訓(xùn)練，把握其實(shí)質(zhì)、掌握其規(guī)律、規(guī)范其步驟，做到“胸中有本”．

6.同源變式

俗話說“鐵打的營(yíng)盤，流水的兵”．高考中不變的是知識(shí)，變化的是情境的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式．這就要求我們面對(duì)數(shù)學(xué)題能突破常規(guī)，陳題巧改編、舊瓶裝新酒．

【變式與思考1】為了加強(qiáng)考查學(xué)生破解新定義問題的能力，并會(huì)利用“三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式”解題，故把此高考題中的背景給予精雕細(xì)琢，變?yōu)樾露x“n元均值不等式”，把求正四棱錐體積的“取值范圍”問題變?yōu)榍笳睦忮F體積的“最大值”問題，其他不變，便可得到如下立意新穎，構(gòu)思獨(dú)特的好題：

【簡(jiǎn)析】解析過程同高考題的解法2、解法4、解法5，應(yīng)選C．

【變式與思考2】以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為試題情境材料的試題，一直是高考的熱點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，進(jìn)一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國(guó)主義情感.為了包裝數(shù)學(xué)文化的背景，引進(jìn)《九章算術(shù)》中的方錐概念，其他不變，便可得到如下平淡中見新奇的好題．

【變式與思考3】把條件中的“正四棱錐的頂點(diǎn)在球面上”變?yōu)椤八睦忮F的頂點(diǎn)在球心”，其他條件不變，結(jié)論變?yōu)椤扒笤撍睦忮F體積的最大值”，并把單選題變?yōu)樘羁疹}，即可得到如下題意簡(jiǎn)潔清晰的好題．

變式3：已知四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，若該球的體積為36π，則該四棱錐體積的最大值為________.

【變式與思考4】仍用此高考題的錐體的外接球?yàn)楸尘?，只是把條件與結(jié)論中的“正四棱錐”變?yōu)椤罢忮F”，即可得如下“新口味”的好題．

變式4：已知正六棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，則該正六棱錐體積的最大值為( )

令t=sinθ,t∈[0,1)，