張波，張?jiān)?/p>

（揚(yáng)州大學(xué)a.教育科學(xué)學(xué)院；b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002）

近年來，基礎(chǔ)教育各級(jí)各類的教師培訓(xùn)都嘗試將課例引入培訓(xùn)專題內(nèi)，但在高校，這一在基礎(chǔ)教育階段被大量實(shí)施的教師發(fā)展途徑卻鮮少使用［1-2］。在高校教學(xué)和科研的重心難以平衡的今天，教學(xué)改革如果離開了教師的課堂教學(xué)變革，終將成為一句空話。那么，可否借鑒基礎(chǔ)教育教師的專業(yè)發(fā)展模式來提升高校教師教學(xué)素養(yǎng)呢？本文以線性代數(shù)的教學(xué)課例研究為基礎(chǔ)，展開討論。

一、課例背景

線性代數(shù)是理工科的一門重要公共基礎(chǔ)課程。當(dāng)下學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)普遍存在只注重對(duì)結(jié)論公式的死記硬背和套用、不會(huì)靈活運(yùn)用新知識(shí)解決新問題等現(xiàn)象。這些現(xiàn)象和問題的存在表明傳統(tǒng)的教學(xué)模式?jīng)]有充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。行列式作為線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，一方面，在處理方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等的線性方程組的公式解方面厥功至偉；另一方面，也是處理方陣有關(guān)問題的一個(gè)重要工具。本課例是在已學(xué)習(xí)過二、三階行列式的定義之后，通過分析二、三階行列式所表示的數(shù)和對(duì)應(yīng)的數(shù)表之間的本質(zhì)聯(lián)系。

二、課例的三次改進(jìn)

（一）第一改，從學(xué)術(shù)形態(tài)到教學(xué)形態(tài)

高校教師大都受過頗為系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲杏?xùn)練，擅長(zhǎng)論文式的“從因到果”的敘述習(xí)慣。他們?cè)谥v課時(shí)傾向于把需要的引理、前置定理、條件都一一厘清，然后按照十分清晰的邏輯推理得到需要的結(jié)論。然而，教學(xué)過程往往正是做和演繹推理相反的工作。這些結(jié)論教材上都有了，學(xué)生恰恰需要教師在思維發(fā)展上、在問題解決層面，或是數(shù)學(xué)內(nèi)部推進(jìn)，或是實(shí)踐需求的推動(dòng)等視角來講清楚這些內(nèi)容的來龍去脈。因此，第一改，就是打破了設(shè)計(jì)者原有的幾乎和教材類似的陳述方式，改由問題驅(qū)動(dòng)的形式進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)。

教學(xué)設(shè)計(jì)提出了以下問題：

1.如何將三階行列式的概念推廣得到n 階行列式的概念？

2.從形式上來看，要完成推廣，是否應(yīng)該先將三階行列式所表示的和式用求和符號(hào)表示出來？

3.如何表示？

對(duì)設(shè)計(jì)后的課堂進(jìn)行分析，基于不同版本的線性代數(shù)教材，可知與其生硬地引導(dǎo)學(xué)生做形式上的推廣，還不如引導(dǎo)學(xué)生自主探究三階行列式所表示的和式和確定該三階行列式的三行三列的數(shù)表之間的本質(zhì)聯(lián)系，這一本質(zhì)聯(lián)系開啟了從三階行列式概念推廣到任意階行列式概念的大門，較為直觀地剖析了原本極不直觀，甚至有點(diǎn)怪異的三階行列式的概念。具體來說，引導(dǎo)學(xué)生探索并完成下列三個(gè)問題：

1.每一個(gè)求和項(xiàng)的構(gòu)成？

2.三階行列式式中求和（代數(shù)和）項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)6 本質(zhì)上代表什么？

3.每一項(xiàng)前面的符號(hào)如何確定？

（二）第二改，從是何到為何

第一次個(gè)人備課完成后，教師在實(shí)際課堂中進(jìn)行了教學(xué)實(shí)施，并由學(xué)院金講臺(tái)獎(jiǎng)獲得者、省教學(xué)名師的等專家組成的聽課小組跟堂聽課。從教師個(gè)人角度看來，課堂推進(jìn)順暢很多，對(duì)行列式概念的剖析也比較到位。但有聽課的教師指出這一教學(xué)設(shè)計(jì)并沒有解開學(xué)生心中的疑惑：為什么要如此抽象地定義行列式的概念？為什么不將三階行列式的對(duì)角線法則進(jìn)行推廣，一次得到階行列式的概念？課后對(duì)學(xué)生的訪談也驗(yàn)證了同行教師所提出的疑惑，學(xué)生表示“為什么不推廣呢？畢竟，對(duì)角線法則相對(duì)直觀?！钡@是否是教學(xué)需要解決的關(guān)鍵的問題呢？設(shè)計(jì)者認(rèn)真閱讀了弗賴登塔爾《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》［3］，深刻認(rèn)同教師必須在學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。事實(shí)上，從邏輯上可以講通的課從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來說，未必是自然的。教學(xué)的有序推進(jìn)不僅要求教師考慮邏輯順序，還要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)心理順序，據(jù)此來決定自己的教學(xué)活動(dòng)順序。因此，教師必須在自己的教學(xué)設(shè)計(jì)中著力考慮這一問題。

聽課的專家教師提及，他的做法是告訴學(xué)生行列式概念的起源于線性方程組的公式解。如果用對(duì)角線法則來定義四階及四階以上的行列式，那么便不能用行列式的語言給出方程的個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組的一般結(jié)論：當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí)，該方程組有唯一解?；谶@一課堂教學(xué)的觀摩、討論和反思，設(shè)計(jì)者進(jìn)行了第二輪教學(xué)實(shí)踐，構(gòu)造了線性方程組，用直觀的例子回答了為什么不可以用對(duì)角線法則來定義四階及四階以上的行列式。課后訪談表明，學(xué)生對(duì)于這一知識(shí)點(diǎn)不再有“為何不順勢(shì)而為”的困惑了。

（三）第三改，例題的精選和重置

通常教材會(huì)有與教學(xué)內(nèi)容對(duì)應(yīng)的教學(xué)例題、習(xí)題供教學(xué)使用。但針對(duì)特定的教學(xué)對(duì)象，這些習(xí)題是否能起到鞏固知識(shí)、提升解決問題的能力，發(fā)展思維水平就需要教師進(jìn)行反復(fù)斟酌。在實(shí)際教學(xué)中有同行提出，“用定義計(jì)算這一行列式而且計(jì)算相對(duì)煩瑣。這個(gè)選題是否容易喧賓奪主，分散學(xué)生注意力？這節(jié)微課的主要教學(xué)目標(biāo)是鞏固行列式概念?！痹O(shè)計(jì)者一邊思考這個(gè)問題，一邊返回去閱讀相關(guān)書籍［4］。關(guān)于例題教學(xué)的論述在中小學(xué)階段討論得比較多，其教學(xué)原理是相通的。既然是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)極為重要的部分，那么就必須考慮其有效性。為使例題的難度符合教學(xué)目標(biāo)，不若讓學(xué)生直接計(jì)算行列式中指定的某些項(xiàng)。這樣的改動(dòng)體現(xiàn)了例題的教學(xué)要求，鞏固了概念，也為后續(xù)對(duì)于該類變式問題的解決奠定了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了例題教學(xué)的發(fā)展性。

三、對(duì)課例持續(xù)改進(jìn)的過程性反思

（一）課例的改進(jìn)流程

課例研究的過程借鑒了顧泠沅針對(duì)中學(xué)教師的校本教研給出的模式［1］。

圖1 教師的三次備課和兩次反思

從上圖可以看出，教師課例研究周期過程經(jīng)歷了三次備課、兩次反思。由于高校公共課往往在一個(gè)學(xué)期中有較多同一內(nèi)容的授課機(jī)會(huì)，教師可以在第一次自己獨(dú)立備課的基礎(chǔ)上，進(jìn)行多輪教學(xué)實(shí)踐。為了增加每次授課后的反思修正效果，還可以采用模擬授課來進(jìn)行自我調(diào)整。在一個(gè)周期的實(shí)踐和反思結(jié)束后，教師需要重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)，既作為階段性課例研究的成果，也作為下一個(gè)階段的課例研究的出發(fā)點(diǎn)。

（二）課例改進(jìn)中的教師自我

高校教師通常對(duì)自己的專業(yè)知識(shí)有精深的理解，甚至在從事某個(gè)學(xué)科的研究前沿工作。因此，從教師專業(yè)知識(shí)發(fā)展的角度來說，他們最需要補(bǔ)充的不是學(xué)科知識(shí)，而是關(guān)于內(nèi)容的教學(xué)性知識(shí)，關(guān)于學(xué)生建構(gòu)某內(nèi)容的學(xué)習(xí)心理的知識(shí)，關(guān)于教育本質(zhì)的人文的、哲學(xué)的知識(shí)［5］。因此，教師在進(jìn)行第一次個(gè)人備課時(shí)，不僅需要在內(nèi)容上解構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，更需要充分調(diào)動(dòng)自己所有的關(guān)于教學(xué)的理解，將所教內(nèi)容從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)。對(duì)于一些沒有經(jīng)歷過師范訓(xùn)練的教師而言，這也是有意識(shí)地提升自己教學(xué)基本功的一個(gè)階段，可有針對(duì)性地練習(xí)講解、提問、板書、反饋、總結(jié)等。

這個(gè)階段是教師全力自我成長(zhǎng)的階段，開始從自己出發(fā)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)。在經(jīng)歷與外界的交流磋商之后，教師還是需要回到自我原點(diǎn)，對(duì)自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、行為模式做出調(diào)整。自我的全身心投入是這一模式取得成效的先決條件。

（三）課例改進(jìn)中的專家引領(lǐng)及同行評(píng)議

課堂教學(xué)實(shí)踐可以讓教師及時(shí)反思自己的教學(xué)設(shè)計(jì)是否能有效推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)，是否促使學(xué)生在行為、認(rèn)知和情感上的深度參與。這種反思是必需的，但教師更需要得到有效而及時(shí)的支持，他所遇到的困境往往并不是通過個(gè)體反思就能解決的。比如上述課例中，其他同行教師會(huì)談?wù)撟约鹤龇ê拖敕ú⒔忉屪约汉我赃@么做。專家引領(lǐng)［6-7］和同行互助［8-9］的作用已經(jīng)在項(xiàng)目研究或其他學(xué)段和學(xué)科中得到了論證。因此，和專家的對(duì)話、和同行的討論能夠讓教師直面所遇到的困境，并得到一些可供參考的解決路徑。教師第一時(shí)間就能突破自己原有的知識(shí)盲區(qū)，甚至在對(duì)話中產(chǎn)生了雙方原有都不具備的新的認(rèn)知，從而感受到自身的進(jìn)步和發(fā)展，這對(duì)高校教師來說是極為重要的個(gè)體經(jīng)歷。

這個(gè)階段是教師擺脫原有認(rèn)知束縛，打開課堂、打開內(nèi)心的重要階段。因此，有一個(gè)開放、民主、和諧的教學(xué)團(tuán)隊(duì)是至關(guān)重要的。

（四）課例改進(jìn)中的理論指導(dǎo)

究其本身，課例的改進(jìn)是一個(gè)微型研究過程。因此，有需要解決的問題，也必有解決問題所需的研究方法和理論指導(dǎo)。專家教師并不總能提供有效的解決方案，因此，教師還需進(jìn)行文獻(xiàn)研讀。不少教師在做科研時(shí)能夠熟練利用文獻(xiàn)來為自己的研究做基礎(chǔ)、做框架、做指導(dǎo)，而在教學(xué)時(shí)則忽略了查閱和研讀文獻(xiàn)。事實(shí)上，教學(xué)中遇到的問題往往并不是全新的問題，前人可能已經(jīng)就此進(jìn)行了深入的研究，甚至已經(jīng)發(fā)展出了相應(yīng)的理論。高校教師相對(duì)來說學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，也受過比較系統(tǒng)的科研訓(xùn)練，一旦認(rèn)識(shí)到教學(xué)的研究性特征［10］，就能在課例改進(jìn)的過程中不斷通過文獻(xiàn)的梳理來進(jìn)一步指導(dǎo)自己的教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)與自我的對(duì)話、與實(shí)踐的對(duì)話、與理論的對(duì)話，從而提升自身的教學(xué)素養(yǎng)。這無疑有利于教師自身科研與教學(xué)的協(xié)同發(fā)展［11］。

因此，高校教師進(jìn)行課例研究的本質(zhì)是教學(xué)觀的根本性的變化。這是將課堂作為研究對(duì)象，引入科研的方法，對(duì)教學(xué)的內(nèi)容、對(duì)象方法、評(píng)價(jià)等做全面研討的過程，也是將通常由教師單打獨(dú)斗來完成的大學(xué)課堂教學(xué)提升至教學(xué)共同體教研的過程。在此過程中，教師在自身的教學(xué)觀、學(xué)生觀、教學(xué)理論知識(shí)、教學(xué)實(shí)踐性知識(shí)、教學(xué)的基本功等方面都得到了明顯的改善。

四、課例研究推動(dòng)高校教師教學(xué)素養(yǎng)的提升

當(dāng)前，我國(guó)高校教師在專業(yè)素質(zhì)發(fā)展上存在著諸多不均衡，如果一味將教師放入空泛而宏大的教學(xué)目標(biāo)變革和“口號(hào)式”的思想轉(zhuǎn)變中，教師會(huì)看不到改革的著力點(diǎn)、切入點(diǎn)，也很難在微小的課堂教學(xué)改進(jìn)中體會(huì)到教學(xué)改革的成就感。有學(xué)者，如曲鐵華等，指出提升以教育教學(xué)能力為核心的教育專業(yè)化水平應(yīng)成為高校教師專業(yè)發(fā)展的重要取向［12］。論文中所給出的課例研究不僅可以幫助準(zhǔn)備教學(xué)競(jìng)賽這種非常態(tài)教學(xué)形式，其更重要的意義在于可以成為高校教師常態(tài)化教學(xué)的自覺行動(dòng)。以教研室或者學(xué)科方向?yàn)榛A(chǔ)團(tuán)體，構(gòu)建基于高校背景下的教學(xué)研究共同體，以課例研究為載體，切實(shí)提高青年教師的課堂教學(xué)水平。在實(shí)施的過程中，院校必須關(guān)注以下要點(diǎn)：

（一）強(qiáng)調(diào)教研共同體的建設(shè)和個(gè)人的全力參與

高校教師大都沒有常態(tài)化集體備課活動(dòng)。學(xué)校組織的教資培訓(xùn)通常以理論學(xué)習(xí)為主，而缺乏能夠結(jié)合某學(xué)科內(nèi)容的更為細(xì)致和深入的指導(dǎo)。如果學(xué)院能夠從制度上倡導(dǎo)和保障教研共同體的建設(shè)，將之建設(shè)為類似學(xué)科研討班類似的組織，從經(jīng)費(fèi)或空間上給予支持，就可以強(qiáng)有力地促進(jìn)課例研究工作的展開。另一方面教師自身能否全身心地參與決定了課例研究的成敗。作為教師，教書育人是基本的職業(yè)操守，是最基本的工作內(nèi)容，這需要教師從思想上認(rèn)識(shí)到提升自身教學(xué)素養(yǎng)的重要性。

（二）強(qiáng)調(diào)課例研究的規(guī)范性

有些高校教師教學(xué)能力的提升主要依靠經(jīng)驗(yàn)積累，這是一個(gè)認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。教學(xué)是教師和學(xué)生群體之間進(jìn)行的極其復(fù)雜的活動(dòng)，教學(xué)“研究”是不僅僅教育專家的事，而是教師在日常教學(xué)中每天都要面臨的艱巨任務(wù)。以“研究者的視角”來看待自己的課堂教學(xué)改進(jìn)是必須遵循的重要原則。教師在改進(jìn)自己的課堂教學(xué)時(shí)，不應(yīng)盲目追求教學(xué)形式上的變化，而應(yīng)發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)中的實(shí)際問題。真正的改進(jìn)是由問題出發(fā)，尋找解決問題的方法，從理論和實(shí)踐層面去論證所給出方法的有效性，進(jìn)而得出結(jié)論。課例研究的過程就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的典型科研過程。高校教師要將自己在專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的科研精神、科研規(guī)范遷移到教學(xué)工作中來。

（三）切實(shí)重視理論的作用

盡管教學(xué)理論相關(guān)學(xué)習(xí)并非教師教研的目標(biāo)，但的確是改進(jìn)教學(xué)不可缺少的一環(huán)。教師除了從現(xiàn)有的理論中獲取指導(dǎo)和提示之外，更需要在每一步的教學(xué)改進(jìn)中做到有據(jù)可依。比如教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定是否合適？學(xué)生何以出現(xiàn)困惑？這需要對(duì)學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)的解構(gòu)，需要學(xué)習(xí)心理的支撐。比如通常課堂上處理這一問題的方法是什么？這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)別人從來沒有做過，那么在理論上是否能找到印證？這些都需要教學(xué)論的指導(dǎo)因此，理論在真實(shí)的課例改進(jìn)的研究中無處不在。院?？梢越M織“一個(gè)月讀一本書”活動(dòng)，讓教師有意識(shí)地將理論的學(xué)習(xí)融入自己的思維和行動(dòng)中，并逐漸成為一種習(xí)慣。