華利新

江蘇省無錫市羊尖中學(xué) 214105

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是重要的一環(huán)，那么如何有效地進(jìn)行概念教學(xué)呢？以下，筆者將結(jié)合“銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）”，談一談對(duì)概念教學(xué)的一些思考.

教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1：請(qǐng)同學(xué)們閱讀有關(guān)比薩斜塔的材料，如果把塔身中心線與鉛垂線的夾角作為比薩斜塔的傾斜程度，如何根據(jù)材料中的數(shù)據(jù)求出這個(gè)角度呢？

問題2：梳理上述問題，你可以抽象出什么幾何圖形？上述現(xiàn)實(shí)問題可以轉(zhuǎn)化成什么數(shù)學(xué)問題？

問題3：對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)研究了三邊關(guān)系即勾股定理，研究了兩銳角互余以及斜邊中線的性質(zhì)，研究了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，我們還可以研究直角三角形的什么性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖通過閱讀材料，引導(dǎo)學(xué)生了解本章學(xué)習(xí)的主體知識(shí)，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題做好鋪墊.

2.設(shè)置探究情境，引入概念

（1）結(jié)合情境，首次感知.

問題情境：如圖1所示，在山坡上植樹，已知山坡的傾斜角α是30°，小明種植的兩棵樹之間的坡面距離AB是6米，要求相鄰兩棵樹之間的鉛垂距離BC在2.7～3.2米范圍內(nèi)，問小明種植的這兩棵樹是否符合這個(gè)要求？

圖1

問題4：請(qǐng)?jiān)囍脭?shù)學(xué)語言表達(dá)這個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，但如何解答這個(gè)現(xiàn)實(shí)問題呢？如果相鄰兩棵樹之間的坡面距離是7米，那么小明種植的這兩棵樹是否符合要求？

設(shè)計(jì)意圖在真實(shí)的生活情境中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程.

（2）去除現(xiàn)實(shí)意義，提煉概念.

問題5：如果一個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角是30°，那么30°銳角所對(duì)的直角邊與這個(gè)直角三角形的斜邊有何數(shù)量關(guān)系？試用一個(gè)算式予以表達(dá).

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于數(shù)學(xué)化后的問題，去掉了具體情境，讓學(xué)生形成共識(shí)：任何一個(gè)直角三角形，只要其有一個(gè)角是30°，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊就是斜邊的一半.

（3）同類比較，明晰概念.

問題6：任意畫一個(gè)等腰直角三角形ABC，如果∠C為直角，那么∠A，∠B都是45°，試計(jì)算∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比值；任意畫一個(gè)直角三角形ABC，∠C為直角，∠A=60°，試計(jì)算∠A所對(duì)的直角邊與斜邊的比值.

師：由上述兩個(gè)問題的討論我們可以看出，在直角三角形ABC中，當(dāng)銳角A為30°時(shí)，它所對(duì)的直角邊與斜邊的比值為；當(dāng)銳角A為45°時(shí)，它所對(duì)的直角邊與斜邊的比值為；當(dāng)銳角A為60°時(shí)，它所對(duì)的直角邊與斜邊的比值為.由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖先探究直角三角形ABC的特殊角，學(xué)生可以從中發(fā)現(xiàn)當(dāng)銳角A是某一特殊角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)特殊的固定不變的值；同時(shí)，初步感受銳角三角函數(shù)就是研究直角三角形中的兩邊與角度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（4）推理論證，得到概念.

問題7：如圖2所示，兩個(gè)大小不等但形狀相同的直角三角形ABC和A′B′C′，且∠C，∠C′都是直角，∠A=∠A′，請(qǐng)?zhí)骄坑惺裁搓P(guān)系，你能解釋一下嗎？

圖2

生：因?yàn)椤螩=∠C′，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得

師：從這里可以看出，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角固定時(shí)，那么它的對(duì)邊與斜邊的比值也就固定了.在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫作∠A的正弦，記作sinA；也就是說，sinA=.在正弦概念中最重要的四個(gè)要素是什么？

剖析正弦概念：①概念的名稱是正弦；②概念的定義：在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫作∠A的正弦，記作sinA，sinA=；③本質(zhì)屬性：正弦是∠A的度數(shù)與∠A的對(duì)邊、斜邊之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在直角三角形ABC中，直角邊小于斜邊，因此sinA的取值范圍是0＜sinA ＜1；④特殊值：sin30°=

設(shè)計(jì)意圖從四個(gè)方面剖析正弦概念，讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握正弦.

3.辨析概念，深化理解

例1如圖3所示，求圖中各直角三角形銳角的正弦值.

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過例題訓(xùn)練，學(xué)生可以看到，求一個(gè)銳角的正弦值需要確定的要素，進(jìn)而把正弦概念具體化，深化對(duì)正弦概念的理解.

例2判斷下列說法是否正確：①在直角三角形DEF中，把直角三角形DEF的各邊都擴(kuò)大10倍后，銳角E的正弦值也擴(kuò)大了10倍.②如圖4所示，△ABC為格點(diǎn)三角形，那么sinB=

圖4

分析①此說法錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)直角三角形DEF的各邊都擴(kuò)大10倍后，擴(kuò)大前后的兩個(gè)直角三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，所以銳角E的正弦值沒有變化；②此說法錯(cuò)誤，因?yàn)榍笠粋€(gè)銳角的正弦值必須放在直角三角形中，而不是任意的三角形中，所以sinB正確的結(jié)果為

設(shè)計(jì)意圖通過第一個(gè)反例，旨在說明一個(gè)銳角的正弦值不是邊長，而是邊長與邊長的比值；通過第二個(gè)反例，旨在說明求一個(gè)銳角的正弦值必須放在直角三角形中.

4.變式訓(xùn)練，加強(qiáng)應(yīng)用

例3在直角三角形ABC 中，∠C為直角，a，b，c 分別是各角的對(duì)邊，當(dāng)c=12，sinA=時(shí)，求a，b 的長.

分析在直角三角形ABC中，sinA=，設(shè)a=x，則c=3x；因?yàn)閏=12，所以3x=12，解得x=4，所以a=4.由勾股定理得

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生利用正弦概念得到邊與邊的比值，通過方程求得直角邊a的長，然后利用勾股定理求得直角邊b的長.這種變式訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)了從知識(shí)到能力的轉(zhuǎn)化，為解直角三角形積累了經(jīng)驗(yàn).

5.自我反思，總結(jié)評(píng)價(jià)

問題8：（1）什么叫作銳角的正弦？（2）我們是如何構(gòu)建研究正弦函數(shù)的思路的？

設(shè)計(jì)意圖梳理本課知識(shí)，進(jìn)一步歸納探究數(shù)學(xué)活動(dòng)的思路.

教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

1.重視概念的基礎(chǔ)性作用

數(shù)學(xué)概念是組成數(shù)學(xué)大廈的基石，是進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理與邏輯論證的基礎(chǔ).因此，教師應(yīng)重視概念教學(xué)的基礎(chǔ)性作用.在本節(jié)課教學(xué)中，教師先通過四個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生掌握概念，即感受—提煉—類比—證明，這也是探究概念的一般規(guī)律，凸顯了本節(jié)課的重點(diǎn)；然后通過概念解讀、正反例辨析、變式訓(xùn)練等活動(dòng)，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)概念的理解.

2.體驗(yàn)概念形成的過程

數(shù)學(xué)概念是對(duì)生活的抽象化與符號(hào)化，方便了人們研究客觀世界的共性.從發(fā)展的角度來看，概念教學(xué)不僅要關(guān)注其結(jié)果，更要關(guān)注其形成過程.在本節(jié)課教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了三個(gè)步驟促進(jìn)學(xué)生形成概念：一是從小明植樹的具體情境中提出概念；二是從30°，45°，60°中識(shí)別共性；三是去掉具體情境，提煉正弦符號(hào)sinA.這樣，能使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念形成的過程.

3.認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵與外延

如何準(zhǔn)確把握正弦概念是本節(jié)課的關(guān)鍵，也是學(xué)生能否正確使用正弦的前提.在本節(jié)課教學(xué)中，教師從四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生去把握正弦概念：一是正弦的名稱，二是正弦的定義，三是正弦的屬性，四是針對(duì)正弦舉例.對(duì)于符號(hào)sinA，學(xué)生比較陌生，為了防止學(xué)生在理解與使用上出現(xiàn)偏差，教師通過求一個(gè)直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值，深化了學(xué)生對(duì)正弦的理解；又通過兩個(gè)反例，強(qiáng)調(diào)了正弦中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而使學(xué)生全面準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)了銳角的正弦概念.

4.提煉概念的表現(xiàn)形式

學(xué)習(xí)是為了進(jìn)一步應(yīng)用，特別是銳角三角函數(shù)，一定要轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的算式.在變式訓(xùn)練中，已知直角三角形的斜邊與一銳角的正弦，如何求其他兩條直角邊呢？必須把銳角的正弦轉(zhuǎn)化為直角邊與斜邊的比值，由此先求出一條直角邊，再用勾股定理求出另一條直角邊.需要注意的是，已知一銳角的正弦，要轉(zhuǎn)化為直角三角形中直角邊與斜邊的比值才能應(yīng)用.