陳南，倪程杰

（1+1）維混合KdV方程的Painlevé截?cái)嗾归_和精確解

陳南，倪程杰

（廈門工學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

（1+1）維混合KdV方程為

1　Painlevé截?cái)嗾归_

假設(shè)方程（1）有

可以得到

將式（10）代入式（12），得

由式（13）解得

將式（10）（14）代入式（15），得

由式（16）解得

將式（10）（14）代入式（18），得

由式（19）解得

將式（10）（14）代入式（4），得到方程（1）的精確解為

結(jié)合式（11），得

黨的十八大以來，習(xí)近平總書記在多個(gè)不同場(chǎng)合的講話中都強(qiáng)調(diào)弘揚(yáng)愛國(guó)主義精神，強(qiáng)調(diào)要讓愛國(guó)主義成為每一個(gè)中國(guó)人的堅(jiān)定信念和精神依靠，彰顯了習(xí)近平總書記的愛國(guó)情懷和責(zé)任擔(dān)當(dāng)。整理和學(xué)習(xí)習(xí)近平總書記關(guān)于愛國(guó)主義的重要論述，對(duì)我們準(zhǔn)確把握新時(shí)代愛國(guó)主義的科學(xué)內(nèi)涵，正確認(rèn)識(shí)新時(shí)代弘揚(yáng)愛國(guó)主義的價(jià)值作用，有效動(dòng)員每一個(gè)中國(guó)人都以實(shí)際行動(dòng)踐行愛國(guó)主義，以及新時(shí)代實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)，具有重大意義。

由式（24）可求得

結(jié)合式（11）（25），得

（26）

結(jié)合式（11）（25），得

（27）

因此滿足方程（1），即是方程（1）的解．又由于也是方程（1）的解，所以有

（28）

式（28）即為方程（1）的B?cklund變換，且滿足式（26）（27）．

為深入貫徹落實(shí)《老年教育規(guī)劃（2016-2020）》，提升老年教育現(xiàn)代化水平，響應(yīng)黨中央“積極開展應(yīng)對(duì)人口老年化行動(dòng)”號(hào)召，與會(huì)專家就加快推進(jìn)老年教育現(xiàn)代化提出了諸多寶貴意見，使得老年人不僅獲得健康、快樂、照顧，而且獲得更多的參與、獨(dú)立和尊嚴(yán)。

2 （1+1）維混合KdV方程的精確解

假設(shè)具有指數(shù)形式的解

雖然本試驗(yàn)篩選出了致病力較高的優(yōu)良菌株，但其快速致死效應(yīng)并不顯著，這也是生物制劑應(yīng)用經(jīng)常被詬病的問題[19-20]。因此，在篩選高致病力菌株的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究白僵菌制劑與高效低毒農(nóng)藥的復(fù)配劑，提高殺蟲速度同時(shí)增加白僵菌的侵染率，達(dá)到增效的目的，是一個(gè)重要的研究方向，不同學(xué)者在這方面已經(jīng)開展了一些有意義的工作[19-20]。

短期政策創(chuàng)新建議：在繼續(xù)維持現(xiàn)有住房調(diào)控政策不變基礎(chǔ)上，確保房?jī)r(jià)穩(wěn)定和住房金融穩(wěn)定、安全，滿足生存型、剛需型、改善型住房消費(fèi)對(duì)金融支持的需求，抑制奢侈型、投機(jī)型住房投資對(duì)金融秩序的擾亂，為構(gòu)建新時(shí)代上海市住房金融中長(zhǎng)期長(zhǎng)效機(jī)制贏得時(shí)間、創(chuàng)造條件，有效減緩新時(shí)代上海市住房風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)上行幅度。

（29）

式中：為待定常數(shù)；為任意常數(shù)．將式（29）代入式（17）（20），得

大麥、春小麥、莜麥3種作物，苗期時(shí)遙感上識(shí)別更是個(gè)難題，本試驗(yàn)通過大田里實(shí)測(cè)3中作物的光譜信息及葉片葉綠素含量，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取位置變量特征、面積變量特征、光譜深度變量特征，對(duì)比分析3中作物不同參數(shù)區(qū)別，給遙感識(shí)別提供了新的思路。

（30）

（31）

將方程（30）（31）聯(lián)立，得

（32）

（33）

將式（32）（33）代入式（29），得

（34）

將式（10）（25）（34）代入式（4），可以得到分支I下方程的精確解

專業(yè)人才隊(duì)伍的建設(shè)對(duì)于保障I/M制度實(shí)施極為重要。首先要加強(qiáng)管理隊(duì)伍建設(shè)，強(qiáng)化法治思維，提升監(jiān)管能力，其次要加快建設(shè)專業(yè)化、職業(yè)化、高素質(zhì)的檢測(cè)與維修治理技術(shù)隊(duì)伍。開展崗前培訓(xùn)，定期進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn)和繼續(xù)教育培訓(xùn)，提升全行業(yè)尾氣排放維修技術(shù)能力和服務(wù)水平。

由于分支II下推導(dǎo)出所滿足的方程（26）和方程（27）與分支I下推導(dǎo)出所滿足的方程（17）和方程（20）等價(jià)，所以分支I下所求出的的精確解也可作為方程（26）和方程（27）的精確解．分支II下，方程（1）的精確解為

3 結(jié)語(yǔ)

非線性偏微分方程求解一直是一個(gè)重要的問題．本文利用Painlevé截?cái)嗾归_法對(duì)（1+1）維混合KdV方程進(jìn)行求解，得到了指數(shù)形式的精確解．后續(xù)，可推廣至其他方程．

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭玉翠．非線性偏微分方程引論[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2] 范恩貴，張鴻慶．非線性孤子方程的齊次平衡法[J]．物理學(xué)報(bào)，1998，47（3）：353-362．

[3] 張金順，李華夏．2+1維Levi孤子方程的Darboux變換[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，23（3）：13-17．

[4] WEISS J，TABOR M，CARNEVALE G．The Painlevé property of partial differential equations[J]．Journal of Mathematical Physics，1983，24（6）：522-526．

[5] 陳美同．Painlevé方法構(gòu)造非線性微分方程的精確解[D]．錦州：渤海大學(xué)，2015.

[6] 肖玲風(fēng)，斯仁道爾吉．變系數(shù)李方程組的Painlevé分析、Lax對(duì)及自Bucklund變換[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2016，45（5）：624-627．

[7] 徐濤，張金順．兩個(gè)孤子方程的高階Painlevé截?cái)嗾归_[J]．廈門理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，24（1）：100-105.

[8] 曾琦．（G'/G）展開法求解（3+1）維廣義淺水波方程新的精確解[J]．南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（理科版），2020，44（1）：10-15．

[9] 斯仁道爾吉．輔助方程法與非線性發(fā)展方程的孤立波解[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2003，32（1）：1-6．

[10] 李向正，王明亮，李曉燕．應(yīng)用F展開法求KdV方程的周期波解[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2005（2）：130-134．

[11] 葉彩兒．幾個(gè)非線性發(fā)展方程（組）的精確解與Painlevé分析[D]．杭州：浙江大學(xué)，2003．

[12] 翟子璇，李琪．（1+1）維混合KdV方程的精確解[J]．江西科學(xué)，2021，39（1）：22-24．

[13] SHU Ji，ZHANG Jia，LIAO Ou．The ( G'/G)-expansion Method and Exact Solutions of Mixed KdV Equation[J]．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，40 （1）：55-60．

Painlevé truncated expansion and exact solutions of （1+1）-dimensional mixed KdV equation

CHEN Nan，NI Chengjie

（School of Data Science and Intelligent Engineering，Xiamen Institute of Technology，Xiamen 361021，China）

Abstrat：Using Painlevé truncated expansion method to solve the dimensional mixed KdV equation ，whereis an unknown function of time variableand space variable，，，，．It is assumed that the- dimensional mixed KdV equation has a solution in the form of Laurent series，is a natural number．Through principal term analysis，the assumed solution in the form of Laurent series is only expanded to the zeroth power of the undetermined function．After substituting the above solution into the equation，the equations satisfied byand are obtained by comparing the coefficients of the same power term，and the relationship betweenandis obtained by solving it．On this basis，assuming that the equation has an exponential solution，through the undetermined coefficient method，is solved，then the exact exponential solutions of the equation are obtained.

Key words：（1 + 1）-dimensional mixed KdV equation；Painlevé truncated expansion；exact solution

文章編號(hào)：1007-9831（2022）10-0001-05

中圖分類號(hào)：O174.55

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2022.10.001

收稿日期：2022-03-12

基金項(xiàng)目：福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（JAT190958）；廈門工學(xué)院校級(jí)科研基金項(xiàng)目（KYT2019021，KYT2022002）

作者簡(jiǎn)介：陳南（1985-），女，河北保定人，講師，碩士，從事孤立子理論與可積系統(tǒng)研究．E-mail：516833347@qq.com