劉玨夙

（廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 廣州 510520）

0 引言

易腐品的特點(diǎn)是使用壽命短，在超過一定的時間后，這類商品就會失去部分甚至全部價值。這樣的商品特點(diǎn)導(dǎo)致過多或過少的訂購量都會使決策者損失一定的收益，因此訂購量的合理確定具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。報(bào)童問題是關(guān)于易腐品的庫存訂購決策問題。在傳統(tǒng)報(bào)童問題的研究中，都假定需求的統(tǒng)計(jì)信息是可知的。而在現(xiàn)實(shí)的決策情景中，決策者往往難以準(zhǔn)確掌握需求的分布情況。Scarf[1]首先提出了未知需求分布的決策方法，該方法在已知均值方差的情況下，給出了模型最優(yōu)解。Gallego，等[2]在文獻(xiàn)[1]的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化了訂購規(guī)則，且考慮了更多的實(shí)際因素來擴(kuò)展其分析。Chan，等[3]結(jié)合這一方法提出了一個配貨優(yōu)化模型，使得決策者能在不對任何一個產(chǎn)品的需求分布做具體假設(shè)的情況下，對訂貨種類和訂貨量進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。陳淮莉[4]研究了隨機(jī)需求下多產(chǎn)品、多周期的生鮮品訂購問題，從零售商的角度給出了最優(yōu)訂購量以及最優(yōu)折扣。然而，這些研究仍然要求需求分布的均值和方差是可知的，并沒有完全脫離統(tǒng)計(jì)假設(shè)。

在線算法僅依靠歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，而不需要再對未來的輸入序列做出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，能夠用它來研究報(bào)童問題的在線訂購策略。張桂清，等將在線算法引入到報(bào)童問題中進(jìn)行了競爭比分析，在概率預(yù)期[5]和一般預(yù)期[6]兩種情況下分別給出了風(fēng)險算法。Abdel-Aal，等[7]在需求不確定的情況下結(jié)合市場選擇理論，用魯棒優(yōu)化方法建立了選擇性報(bào)童模型。2008年Kalnishkan，等[8]提出了一種基于專家意見的在線預(yù)測方法——弱集成算法（WAA）。該算法僅憑借歷史信息對專家意見進(jìn)行集成，并將集成結(jié)果用以決策。Levina，等[9]將弱集成算法應(yīng)用于無統(tǒng)計(jì)假設(shè)的多期報(bào)童問題中，為報(bào)童提供了一個具體的在線訂購策略。Zhang，等[10]進(jìn)一步研究了非平穩(wěn)環(huán)境的報(bào)童問題，采用策略切換的思想，將弱集成算法應(yīng)用于動態(tài)專家意見，給出了具體的在線訂購策略。在之后的研究中，Zhang，等[11]構(gòu)建了針對兩產(chǎn)品、多周期報(bào)童問題的在線訂購策略，并證明了該策略具有理論保證。

在實(shí)際生活中，有相當(dāng)一部分易腐品的需求會受到人類社會活動的影響，這使得我們在考慮易腐品需求變動時有跡可循。O’Neil，等[12]應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)算法解決需求沖擊下的無分布報(bào)童問題。王海燕，等[13]探討了需求分布規(guī)律變化情況下的報(bào)童訂購決策問題。此外，有一些易腐品的需求會隨著節(jié)假日和季節(jié)交替呈現(xiàn)出顯著的周期性特征，例如電影票的訂票需求。由于大多數(shù)人的閑暇時間都集中在非工作日（如周末或者節(jié)假日），因此電影院的觀影人數(shù)往往是非工作日多、工作日少，從而導(dǎo)致電影票的非工作日需求高、工作日需求低；與這一情況相反的是寫字樓和學(xué)校周邊的餐飲店，這類餐飲店受到主要消費(fèi)人群的活動規(guī)律影響，其需求規(guī)律通常表現(xiàn)為工作日高需求，而非工作日低需求。在上述兩個例子中，需求都以某一固定的時間段為變動周期，在每一個變動周期內(nèi)，需求表現(xiàn)出低-高或高-低的交替變化。將這類需求稱作周期性變動需求，本文以低-高需求為例研究了需求周期性變動下多階段報(bào)童問題的在線訂購決策方法。在需求的周期性變動規(guī)律可獲取前提下，本文應(yīng)用WAA算法，基于歷史需求數(shù)據(jù)給出了具體的訂購策略，并理論分析策略的競爭性能。

1 基于弱集成算法的在線訂購策略

弱集成算法[9]根據(jù)專家的歷史表現(xiàn)來調(diào)整其權(quán)重，以提高在線決策者的競爭性能。給定各個專家的初始權(quán)重，在每一個決策期對專家的收益進(jìn)行重新計(jì)算，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果更新專家在下一決策期的權(quán)重。沿用以往研究中的記號，表1給出了主要記號及其含義。

表1 WAA使用的主要記號及其含義

在每個決策期t=1,2,...,T，專家的標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)重由式（1）給出。

算法1弱集成算法（WAA）輸入：實(shí)際決策值?1,?2,...,?T；輸出：最終累積收益GT。(0)在線決策者和專家決策體的初始收益皆為0，即G0=0，Gθ 0=0；(1)在每個決策期t=1,2,...,T進(jìn)行步驟（2）-（7）循環(huán)計(jì)算；(2)計(jì)算各專家的標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)重；(3)專家決策體給出專家預(yù)測意見γθ t；(4)在線決策者在集成專家意見后做出預(yù)測：γt=∫Θ γθ t pt(dθ)；(5)得到實(shí)際決策者的結(jié)果ωt；(6)計(jì)算在線決策者和各專家的收益gt，gθ t；(7)更新在線決策者和專家的累計(jì)收益Gt，Gθ t；(8)重復(fù)步驟(2)-(7)，直至所有決策期結(jié)束。

當(dāng)決策總周期數(shù)為T時，引理1給出了弱集成算法實(shí)現(xiàn)的累積收益下界。

引理1當(dāng)收益函數(shù)g的界為-L≤g≤0（L為一個固定常數(shù)）時，對于任意的期數(shù)T，WAA的累積收益均滿足：

在需求呈周期性變動的多階段報(bào)童問題中，假定報(bào)童在每一期的期初決定當(dāng)期訂購量，且此時當(dāng)期的實(shí)際需求量尚不可知。在報(bào)童確定訂購量后，實(shí)際需求也隨之獲得。對報(bào)紙這類易腐品而言，一旦報(bào)童確定當(dāng)期訂購量，在這一期中途不能進(jìn)行補(bǔ)訂，在這一期結(jié)束后，訂購的剩余量也不具備回收價值。

以一個特定的時間段ρ作為規(guī)律性變動的最小周期，根據(jù)需求特征的不同，進(jìn)一步將每個變動周期劃分為不同的部分。以低-高交替變化的周期性需求為例，每一個變動周期中均包含低需求期和高需求期。用d表示低需求期時的實(shí)際需求量，d′表示高需求期的實(shí)際需求量，x和y分別表示在低需求期和高需求期中報(bào)童對產(chǎn)品的訂購量，x和y分別通過集成專家意見獲得。用Θ(Θ=Θ1?Θ2)表示專家池，其中低需求期專家池Θ1的專家索引為θ，高需求期專家池Θ2的專家索引為θ′。第t期的產(chǎn)品具體需求量無法確定，但可知在低需求期時，產(chǎn)品的需求量d和報(bào)童的訂購量x為區(qū)間[B1,B1′]中的任意實(shí)數(shù)，在高需求期時，產(chǎn)品的需求量d′和報(bào)童的訂購量y為區(qū)間[B2,B2′]中的任意實(shí)數(shù)，且有B1′≤B2。

設(shè)每一天為一個決策期，T為總的決策天數(shù)。為方便論述，設(shè)在前T天中共包含N個完整的需求變動周期，其中N∈?。在每個需求變動周期中，包含ρ個決策天數(shù)，且有ρ=μ+ν。其中，μ表示一個周期內(nèi)包含的低需求天數(shù)，ν表示一個周期內(nèi)包含的高需求天數(shù)，在周期性變化的需求中，ρ、μ和ν均為確定的常數(shù)。將低需求期構(gòu)成的決策天數(shù)總和記為T1，將高需求期構(gòu)成的決策天數(shù)總和記為T2，則有T=T1+T2。從初始決策期開始，需求做低-高交替變化，記：

即有A=A1?A2。對于任何的t∈A，設(shè)需求為dt。當(dāng)t=nρ+i,i=1,2,...,μ時，t∈A1，且 有t1=nρ+i-nν，則此時專家意見集為Θ1。當(dāng)Θ1中的專家θ的訂購量為時，該專家在第t期的收益為：

在前t1個低需求期的累積收益為因此，報(bào)童在第t期的訂購量為xt1時，其收益為：

在前t1個低需求期的累積收益為

類似地，當(dāng)t=nρ-j，j=ν-1,...,0時，t∈A2，且有t2=nρ-i-nμ，則此時專家意見集為Θ2。當(dāng)Θ2中的專家θ′的訂購量為時，該專家在第t期的收益為：

在前t2個高需求期的累積收益為因此，報(bào)童在第t期的訂購量為yt2時，其收益為：gt=gt2′=pmin(yt2,dt2′)-cyt2；在前t2個高需求期的累積收益為

定理1在收益函數(shù)式（4）和式（5）的基礎(chǔ)上，應(yīng)用弱集成算法對靜態(tài)專家意見進(jìn)行集成，可得到需求呈低-高周期性變化報(bào)童問題的在線訂購策略。

證明：考慮到低需求期和高需求期的需求差異，對低需求期和高需求期分別設(shè)置對應(yīng)專家池，每個專家在任何一期總是推薦一個固定訂購量，每一期選擇對應(yīng)的專家池中的靜態(tài)專家意見進(jìn)行集成，在選擇專家池前，需要先判斷當(dāng)前決策期處于周期中的低需求期還是高需求期。根據(jù)弱集成算法的決策流程，可知當(dāng)?shù)趖期為低需求期(t∈A1)，且對應(yīng)低需求期序列的第t1期時，報(bào)童的訂購量為：

當(dāng)?shù)趖期為高需求期( t∈A2)，且對應(yīng)高需求期序列的第t2期時，報(bào)童的訂購量為：

當(dāng)q(dx)和q′(dy)分別為[B1,B1′]和[B2,B2′]上的均勻分布時，采用Levina，等[9]給出的求解方法。若第t期為低需求期，則第t期時可獲得前t1-1個低需求期的歷史需求序列d1,d2,...,dt1-1，令其順序統(tǒng)計(jì)量為d(1),d(2),...,d(t1-1)，且d(0)=B1，d(t1)=B1′。

同理可得：

采用類似的方法，若第t期為高需求期，則在第t期時可知前t2-1個高需求期的歷史需求序列。令其順序統(tǒng)計(jì)量為且。令k′=1,2,...,t2-1?？傻茫?/p>

綜上，針對需求呈低-高周期性變化的報(bào)童問題，本文給出了具體的在線訂購策略，即若第t期為低需求期，訂購量為xt=at1/bt1，若第t期為高需求期，訂購量為yt=at2/bt2，并將此策略記為ASP。

2 在線訂購策略的競爭性能分析

對于定理1給出的在線訂購策略ASP，應(yīng)用引理1，定理2給出了以最優(yōu)專家策略的累積收益為基準(zhǔn)時該策略競爭性能的理論保證。

定理2對于需求低-高周期性變動的多階段報(bào)童模型，按照在線策略ASP進(jìn)行決策時，報(bào)童的累積收益滿足：

其中，Li=(Bi′-Bi)p，i=1,2，Λ=max(p-c,c)。

證明：由收益函數(shù)的定義式可知，對于低需求期而言，訂購量等于需求量且為最大值B1′時，收益達(dá)到最大值；當(dāng)實(shí)際需求為最小值B1而報(bào)童的訂購量為最大值B1′時，收益取到最小值，即有：

不失一般性，令g=g-B1′(p-c)，則有：

因此，在應(yīng)用引理1分析在線策略的競爭性能時可知：

考慮任意兩個專家策略的累積收益差值，若有兩個專家的固定訂購量分別為θ1和θ2，由前面的分析可知，經(jīng)過T1期后，這兩個專家實(shí)現(xiàn)的累積收益和滿足關(guān)系式：

令Λ=max(p-c,c)，則根據(jù)引理1和文獻(xiàn)[9]的方法，有：

同理，對于高需求期而言，有：

由式（10）可知，隨著總決策天數(shù)T的增大，在線策略的平均累積收益逐漸接近低需求期固定訂購量x和高需求期固定訂購量y的平均累積收益。由于x和y是任意的，因此它們分別可以是使得累積收益和達(dá)到最優(yōu)的固定訂購量策略。事實(shí)上，當(dāng)T→∞時，易得：

當(dāng)需求不呈現(xiàn)周期性變動，即B1′=B2′=B，B1=B2=0，T1=T，T2=0時，有L2=L1=Bp，式（10）變成式（3），該結(jié)果退化成Levina，等[9]的研究結(jié)果，因此本文是文獻(xiàn)[9]的推廣研究。

3 數(shù)值算例分析

本節(jié)運(yùn)用數(shù)值算例進(jìn)一步驗(yàn)證策略ASP的競爭性能，記ASP對應(yīng)的最優(yōu)專家策略為BASP。為方便對比分析，將Levina，等在文獻(xiàn)[9]中構(gòu)建的策略記為AS，對應(yīng)的最優(yōu)專家策略記為BAS。在計(jì)算訂購量時，先判斷第t期屬于哪一種需求期，再根據(jù)判斷結(jié)果來選擇式（6）或（7）進(jìn)行計(jì)算，即可得出相應(yīng)的訂購量xt或yt。為了便于計(jì)算，對需求量和報(bào)童的訂購量進(jìn)行整數(shù)化處理，即有：

根據(jù)需求周期的變化規(guī)律，依次在[0，50]和[50，100]間隨機(jī)生成90個隨機(jī)整數(shù)，作為前90天的實(shí)際需求序列。隨機(jī)產(chǎn)出10組不同的隨機(jī)需求序列進(jìn)行試驗(yàn)，表2給出了每次試驗(yàn)中在線策略ASP與其對應(yīng)的最優(yōu)專家策略BASP的累積收益比較，其中RAT表示ASP與BASP實(shí)現(xiàn)的累積收益比值。從表2中的30次試驗(yàn)結(jié)果來看，ASP與BASP的比值都大于0.94，且在第7次的試驗(yàn)下得到了最大值0.970 675，由此可見，ASP具有較強(qiáng)的競爭性能。

表2 不同隨機(jī)需求下ASP與BASP的累積收益

為了觀察ASP對AS的改進(jìn)效果，以第1次試驗(yàn)中所用的需求序列為例，比較ASP和AS的日累積收益，結(jié)果如圖1所示，其中叉號符表示ASP的日累積收益，圓圈表示AS的日累積收益。由圖1可知，ASP和AS在前90天的日累積收益分別為7 606和4 012。ASP的累積收益明顯大于AS的累積收益，說明在原有算法的基礎(chǔ)上考慮需求的周期波動能提高決策者的收益。

圖1 ASP與AS的日累積收益比較

第一次試驗(yàn)中ASP和BASP的日累積收益比較如圖2所示。由圖2可知，本次試驗(yàn)中ASP和BASP的前90天的日累積收益分別達(dá)到7 606和7 849，二者的日累積收益非常接近，進(jìn)一步證明了該策略相對于基準(zhǔn)策略最優(yōu)專家策略具有較強(qiáng)的競爭性能。

圖2 ASP與BASP的日累積收益比較

當(dāng)歷史數(shù)據(jù)越充分時，ASP決策的結(jié)果就會越接近固定的最優(yōu)專家的決策方案。調(diào)整決策的期數(shù)，計(jì)算ASP和BASP的累積收益，結(jié)果見表3。由表3可知，ASP的競爭性能會隨著決策期數(shù)的增加而增強(qiáng)，當(dāng)決策天數(shù)為600時，競爭比已經(jīng)大于0.99，此時ASP的累積收益已經(jīng)基本等于最優(yōu)專家的累積收益。

表3 不同決策周期下ASP與BASP的累積收益

4 結(jié)語

本文在傳統(tǒng)報(bào)童問題的基礎(chǔ)上，結(jié)合現(xiàn)實(shí)因素，研究了需求呈周期性變動情形下的訂購決策方法。采用集成專家意見的弱集成算法對固定的專家意見進(jìn)行集成，給出了具體的在線訂購策略。從理論上對該在線策略的競爭性能進(jìn)行了證明，用數(shù)值算例進(jìn)一步說明了策略能追蹤到最優(yōu)專家策略且獲得與最優(yōu)專家策略相當(dāng)接近的累積收益，并對參數(shù)的敏感性進(jìn)行了分析。這為與報(bào)紙具有相似特征的易逝品庫存控制問題提供了一定的管理啟示：首先，在考慮需求周期變動的情況下，為易逝品零售商的訂購決策提供了參考，有利于零售商快速有效地通過歷史信息進(jìn)行訂購決策，在滿足市場需求的同時充分發(fā)揮現(xiàn)有資源的作用以達(dá)到自身收益的最大化；其次，對于易逝品的零售商而言，該在線決策方法可作為他們在長期持續(xù)決策中調(diào)整訂購計(jì)劃的根據(jù)，并能保證零售商在長期決策中可獲取到具有競爭性的收益。本文研究周期性變動需求情形下的多階段報(bào)童在線決策問題，其中用于學(xué)習(xí)參照的專家意見是靜態(tài)的。但是，在面對復(fù)雜多變的市場環(huán)境時，專家的意見也會隨著市場披露信息的變動而調(diào)整其推薦訂購量。因此，考慮到在多階段報(bào)童中專家意見可以依據(jù)專家自身對市場信息的敏感程度動態(tài)地調(diào)整，如何學(xué)習(xí)動態(tài)的專家意見并為零售商在市場中制定出更優(yōu)的訂購決策是需要進(jìn)一步思考和研究的問題。