許森東

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

引 言

1979年， BERRY在解量子力學(xué)方程時(shí)，首次引入了艾里(Airy)函數(shù)[1]。當(dāng)時(shí)，Airy函數(shù)并未得到相關(guān)科研人員的跟進(jìn)研究,直到2007年，SIVILOGLOU等人對有限能量Airy光束進(jìn)行了專門研究[2-3]。此后，科研人員發(fā)現(xiàn)Airy光束擁有許多奇特的傳輸性質(zhì)，Airy光束的研究迅速成為熱點(diǎn)[4-8]。在此基礎(chǔ)上，將渦旋疊加在Airy光束的研究也成為了研究熱點(diǎn)。例如Airy渦旋光束的漂移[9]、在手征材料中的傳輸特性[10]、單軸晶體中的傳輸特性[11]、M2因子與傳輸特性[12]、部分相干 Airy渦旋光束的特性[13]等。

另一方面，負(fù)折射率自1968年被VESELAGO在理論上證明[14]后也獲得了科研人員大量關(guān)注和研究[15-16]。目前，科研人員可以通過多種方法實(shí)現(xiàn)負(fù)折射率介質(zhì)(negative index medium，NIM)[17-20]，并且可以制造可見光范圍的NIM[21]。由于NIM具有其它介質(zhì)不具有的電磁特性，科研人員利用NIM獲得了多種反常效應(yīng)[22-23]。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文作者對Airy渦旋光束通過新型人工復(fù)合電磁介質(zhì)即NIM的傳輸特性進(jìn)行了研究。與普通介質(zhì)不同，Airy渦旋光束在NIM中具有獨(dú)特的特性。利用Collins公式推導(dǎo)出了Airy渦旋光束通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸方程，并具體研究了通過NIM的傳輸特征。

1 Airy渦旋光束通過NIM的傳輸方程

2維有限能量Airy光束加載渦旋后，在初始平面(z=0) ，場分布為[10，24-25]：

[(x-xd)+i(y-yd)]l

(1)

式中，wx和wy為x和y方向橫向尺度比例參數(shù)；a為指數(shù)截?cái)嘁蜃?，其大小決定了光束衰減快慢；xd和yd為原始位置，l為拓?fù)浜蓴?shù)；fA(·)即為Airy函數(shù)：

(2)

當(dāng)Airy渦旋光束通過NIM時(shí)，根據(jù)Collins公式得到Airy渦旋光束通過NIM的傳輸動力學(xué)方程：

(3)

由于拓?fù)浜蓴?shù)對光束的傳輸特性沒有明顯影響[26]，為便于研究，選取單位拓?fù)浜蓴?shù)。把(1)式代入(3)式，選取渦旋的拓?fù)浜蓴?shù)l=1，經(jīng)積分整理可得：

(4)

式中，

Q(x,y,z)=

(5)

[x-Axd-2xc+i(y-Ayd-2yc)]

(6)

(7)

(8)

Airy渦旋光束通過NIM介質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

Fig.1 Geometry of a vortex Airy beam passing through a negative index medium

根據(jù)矩陣光學(xué)理論可知，當(dāng)Airy渦旋光束通過NIM時(shí)，光學(xué)傳輸系統(tǒng)的ABCD矩陣為：

(9)

式中，n為NIM的折射率。由于Airy渦旋光束的主峰是自加速偏轉(zhuǎn)的，偏轉(zhuǎn)加速度與wx,wy和λ有關(guān)。此外，渦旋位置也隨著傳輸距離增加而偏轉(zhuǎn)。在某一特定傳輸距離處，Airy渦旋光束的渦旋位置和Airy光束主峰位置重疊，此時(shí)：

(10)

根據(jù)(9)式和(10)式， 渦旋與主峰重疊時(shí)的z為：

(11)

2 Airy渦旋光束通過NIM的數(shù)值計(jì)算與分析

利用(4)式即可得到Airy渦旋光束通過NIM的光強(qiáng)和相位等傳輸特性。光源參數(shù)設(shè)定為：a=0.05，λ=632.8nm，wx=0.15mm，wy=0.15mm，xd=yd=-0.3mm。

當(dāng)n=-1.1時(shí)，根據(jù)(11)式可知，特殊傳輸距離z0=695mm。圖2為傳輸距離是z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0時(shí)光強(qiáng)和相位分布圖。從圖2a～圖2d看出:當(dāng)z=z0時(shí)，Airy光束主峰被渦旋破壞；隨著傳輸距離z的增加，Airy光束的主峰又立刻恢復(fù)，渦旋重新出現(xiàn)。這說明渦旋位置和Airy光束主峰的軌跡是不相同的，只有在某一特定傳輸距離時(shí)二者重合，重合時(shí)渦旋會破壞Airy光束的主峰。此外，圖2a～圖2d還顯示Airy光束主峰沿x=y軸加速偏轉(zhuǎn)，主峰的位置始終在x軸和y軸的對角線上。圖2e～圖2h為傳輸距離是z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0時(shí)對應(yīng)的相位分布。圖中箭頭所指的位置相位出現(xiàn)樹杈型分布，這就由渦旋的奇異性所致，該樹杈的交叉點(diǎn)即為渦旋的位置。從相位分布圖可以看出:當(dāng)傳輸距離為z0時(shí)渦旋被破壞，隨著傳輸距離的增加，渦旋重新出現(xiàn)。此外，同其它文獻(xiàn)[5]的相位分布對比發(fā)現(xiàn)，本樹杈同其它參考文獻(xiàn)中樹杈的方向是相反的，這說明負(fù)折射會導(dǎo)致渦旋的方向轉(zhuǎn)向。

圖3為z=2200mm、NIM的折射率n為-1,-1.5,-2和-2.5時(shí)Airy渦旋光束光強(qiáng)分布圖。從圖3中可知,當(dāng)z固定時(shí)，可以通過改變NIM的折射率控制Airy渦旋光束的主峰位置。

Fig.2 Intensity and phase distributions at the positions z0,1.8z0,2.6z0,3.4z0

Fig.3 Propagation dynamics of vortex Airy beams passing through the negative index medium

圖4為NIM的折射率n為-1,-1.5,-2和-2.5時(shí)Airy渦旋光束主峰位置和渦旋中心位置隨傳輸距離變化圖。從圖4中可以看出,Airy渦旋光束主峰位置和渦旋中心位置都隨傳輸距離呈拋物線加速偏轉(zhuǎn)，但渦旋比主峰加速快。在一個特殊傳輸距離處，Airy渦旋光束主峰位置和渦旋中心位置重疊。從圖4中還能看出,可以通過改變NIM的折射率控制該重疊位置在傳輸方向的位置，但x軸的位置是不變的。

Fig.4 Center lobe and the vortex of vortex Airy beams change with the propagation distance

3 結(jié) 論

Airy渦旋光束通過NIM的傳輸動力學(xué)特性研究表明：Airy渦旋光束的渦旋中心位置同主峰一樣隨傳輸距離呈拋物線加速偏轉(zhuǎn)，但渦旋比主峰加速快;在特定位置，Airy渦旋光束的渦旋與主峰位置重疊，此時(shí)，Airy光束主峰被渦旋破壞，渦旋也同時(shí)被Airy光束主峰破壞;隨著z增加，渦旋與主峰分離，渦旋再次出現(xiàn)，Airy光束主峰恢復(fù)。由于NIM的獨(dú)特光學(xué)性質(zhì)，導(dǎo)致Airy渦旋光束通過NIM時(shí)渦旋的方向與常規(guī)介質(zhì)中渦旋的方向相反。此外，通過調(diào)節(jié)NIM的折射率可實(shí)現(xiàn)對Airy 渦旋光束光強(qiáng)、主峰位置和重疊位置的控制。研究顯示,可以通過NIM控制激光光束的偏轉(zhuǎn)、強(qiáng)度等特性。此研究對應(yīng)用物理光學(xué)對生物系統(tǒng)進(jìn)行檢測、治療、加工和改造等方面具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。