張俊杰,安 巖,2* ,董科研,2,高 亮,2,李 響,2,張紫浩,陳亞楠

(1.長春理工大學 光電工程學院,長春 130022,中國;2.長春理工大學 空間光電技術(shù)研究所,長春 130022,中國;3.電磁空間安全國家重點實驗室,天津 300308,中國)

0 引 言

隨著有限能量Airy光束的生成,因其具有無衍射性、自加速性、自愈性的特點[1-3],引起了研究人員的廣泛興趣。近年來,在Airy光束的傳輸軌跡、光束強度、無衍射傳輸距離、光束特性、光束生成方法等方面[4-11]有了進一步的研究成果,其中具有自聚焦特性Airy光束的實驗實現(xiàn)[12-13]推進了Airy光束在強度方面的研究。自聚焦Airy光束在傳播過程中強度幾乎保持不變,但在接近焦點(Airy光束自聚焦強度最大的位置)時峰值強度可突然增加幾個數(shù)量級。Airy光束陣列[14]是自聚焦光束的一類,同樣具有強度突增的特性,合成方式簡單高效,對其強度方面的研究也是科研人員研究的重點方向。

2010年,HU等人[15]通過仿真和實驗證明高斯光束在頻域的位移,可以實現(xiàn)對2-D Airy光束峰值強度位置的調(diào)控,但對Airy光束陣列強度的調(diào)控需要進一步研究。2013年,ZHANG等人[14]在實驗上實現(xiàn)了1-D Airy光束陣列合成自聚焦光束,實現(xiàn)了光束強度在焦點的擴展。2014年,CHEN等人[16]研究發(fā)現(xiàn)橫向尺度因子可以控制Airy光束陣列自聚焦位置處強度的大小。2016年,EZ-ZARIY等人[17]推導了高斯光束陣列,生成了Airy光束陣列的表達式,并仿真實現(xiàn)了高斯光束陣列到Airy光束陣列的轉(zhuǎn)換。2018年,WU等人[18]通過控制橫向尺度因子實現(xiàn)了2-D Airy光束陣列自聚焦位置的移動。2019年,DAFNE等人[19]通過仿真和實驗證明:施加線性和二次擾動因子,可以對Airy光束陣列能量分布實現(xiàn)控制。2022年,XU等人[20]通過對衰減因子、縮放因子的研究,實現(xiàn)了對自聚焦Airy光束強度、聚焦位置等的控制。以上研究表明,通過對光束或相位圖不同參數(shù)的控制,實現(xiàn)Airy光束陣列強度的控制,在仿真或?qū)嶒炦^程中,需要通過軟件實時編碼控制光束參數(shù)或相位圖參數(shù)、在液晶空間光調(diào)制器上實時更換相位圖,過程復雜,并且對于一定焦點處Airy光束陣列強度的增強還需要進一步的研究。

本文作者研究了高斯光束在頻域上的移動對2-D Airy光束陣列焦點處強度的控制。首先介紹了Airy光束陣列的研究背景、意義;然后理論分析了高斯光束對2-D Airy光束陣列焦點處強度調(diào)控的原理;最后分別對2-D Airy光束峰值強度位置的調(diào)控、光束陣列的初始光強以及自聚焦過程、2-D Airy光束陣列焦點處強度的增強進行了數(shù)值仿真和討論。該光束陣列調(diào)控方法操作簡單,在激光光束能量的擴展,以及激光通信信號的穩(wěn)定、激光醫(yī)療等方面具有一定的研究價值。

1 理論分析

2-D Airy光束陣列如圖1所示。由4個單獨的2-D Airy光束組成,其中間隔距離2c[21]表示2-D Airy光束陣列的光束間距。

圖1 2-D Airy光束陣列示意圖Fig.1 Schematic diagram of 2-D Airy beam array

以點(c,c)為中心的2-D Airy光束的有限能量函數(shù)方程為[1]:

φ(sx,sy,ξ)=φ(sx,ξ)×φ(sy,ξ)=

(1)

式中:φ()為電場包絡(luò);A[·]為Airy函數(shù);sx=(x+c)/x0和sy=(y+c)/y0為無量綱的橫向坐標;x0和y0為橫向尺度因子;ξ=z/(kx02)為歸一化的傳輸距離,k=2π/λ為波束,λ為真空中波長;α為衰減因子,且0<α<<1。

因此,根據(jù)式(1),基于旋轉(zhuǎn)矩陣理論[22]生成2-D Airy光束陣列,其函數(shù)方程為:

Φ(sx,sy,ξ)=φ(sx,sy,ξ)+φ(sx,-sy,ξ)+

φ(-sx,sy,ξ)+φ(-sx,-sy,ξ)

(2)

通過高斯光束在頻域的位移原理,實現(xiàn)2-D Airy光束陣列焦點處強度的調(diào)控。為了便于理解高斯光束位移的理論,首先考慮1-D Airy光束生成高斯光束的位移,根據(jù)式(1)對于1-D有限能量Airy光束在頻域的傅里葉譜[1]可以表示為:exp(-αω2)exp[i(ω3-3α2ω-iα3)/3],其中ω是頻域歸一化的波數(shù)。在頻域上移動高斯光束,其傅里葉譜變?yōu)閑xp[-α(ω-ωG)2]×exp[i(ω3-3α2ω-iα3)/3],而ωG表示高斯光束在頻域的歸一化位移。因此產(chǎn)生的1-D有限能量Airy光束新的電場包絡(luò)φ1(sx,z)[15]為:

論歐盟家事訴訟中的不方便法院原則——以Chind and Family Agency案為中心…………………………………………………劉 陽（6）：72

(3)

(4)

從式(3)可以看出,1-D有限能量Airy光束新的峰值強度位置為ξ-2ωG=0,當ωG=0時,在z=0處光強最大;當高斯光束的位移ωG≠0時,對峰值強度的位置產(chǎn)生變化,所以在頻域移動高斯光束對1-D Airy光束的強度分布會產(chǎn)生影響。

Φ1(sx,sy,ξ)=φ1(sx,sy,ξ)+φ1(sx,-sy,ξ)+

φ1(-sx,sy,ξ)+φ1(-sx,-sy,ξ)

(5)

2 數(shù)值仿真

2.1 2-D Airy光束峰值強度的調(diào)控

典型的Airy光束生成系統(tǒng)如圖2所示。高斯光束首先由液晶空間光調(diào)制器加載的相位圖調(diào)制,然后通過傅里葉變換透鏡,焦距為f,在傅里葉透鏡的后焦面上生成Airy光束。通常高斯光束、相位圖和傅里葉透鏡被設(shè)置為沿z軸同軸,在傅里葉透鏡的后焦面放置CCD相機,用于記錄Airy光束的強度模式。如圖3所示,可通過在液晶空間光調(diào)制器上加載2-D Airy光束的相位圖,在傅里葉透鏡的后焦面上生成2-D Airy光束。圖中紅點表示高斯光束的位置。

圖2 Airy光束生成系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of Airy beam generation system

圖3 單個2-D Airy光束相位圖及高斯光束在頻域的位置示意圖Fig.3 2-D Airy beam phase diagram and the position of Gaussian beam in frequency domain

根據(jù)式(3)和式(4),對高斯光束在頻域位移對2-D Airy光束強度的影響進行仿真分析。圖4為不移動高斯光束(DG,x=DG,y=0),2-D Airy光束分別在z為0 mm、125 mm、190 mm、250 mm時,光束強度仿真以及對應(yīng)的3-D圖。仿真參數(shù)設(shè)定為:高斯光束波長λ=1550 nm,x0=80 μm,y0=80 μm,α=0.01,c=0 mm。

圖4 高斯光束無位移時的2-D Airy光束強度Fig.4 Intensity of 2-D Airy beam without Gaussian beam displacement

如圖4a所示,當在頻域不移動高斯光束(DG,x=DG,y=0)時,z=0 mm處無衍射峰值光束強度為0.28,此時2-D Airy光束強度最強;如圖4b所示,2-D Airy光束傳播到z=125 mm時,2-D Airy光束強度為0.25,光束強度衰減約10%,2-D Airy光束仍可無衍射傳播一段距離;如圖4c所示,2-D Airy光束傳播到z=190 mm時,2-D Airy光束強度為0.21,光束強度衰減約25%,此時光束強度衰減超過無衍射傳播距離的18%,對于在激光通信應(yīng)用研究中,光束強度受大氣湍流影響[23-27],接收端光束強度減弱,影響信號的接收;如圖4d所示,2-D Airy光束傳播到z=250 mm時,2-D Airy光束強度為0.17,相較于圖4a,此時光束強度衰減了約40%。從圖4e～圖4h的3-D仿真圖可以明顯地看出,隨著傳播距離的增加,2-D Airy光束強度在衰減。通過對高斯光束在頻域的位移仿真了2-D Airy光束峰值強度位置的變化,在激光通信應(yīng)用中,可以在一定距離內(nèi)使峰值光束強度傳播到接收端。

圖5為移動高斯光束(DG,x=DG,y=4),2-D Airy光束分別在z為0 mm、125 mm、190 mm和250 mm時,光束強度仿真以及對應(yīng)的3-D圖。將初始光強衰減18%時的傳輸距離,作為2-D Airy光束的無衍射傳輸距離[23]。如圖5a所示,當移動高斯光束(DG,x=DG,y=4)時,在z=0 mm處峰值光束強度為0.20,與圖4a相比,光束強度衰減,峰值光束強度的位置發(fā)生了改變,不再位于初始距離處;如圖5b所示,調(diào)控后的2-D Airy光束傳播到z=125 mm時,此時2-D Airy光束強度為0.26,光束強度隨傳播距離的增加而增加;如圖5c所示,在z=190 mm時,2-D Airy光束強度為0.28,恢復峰值光束強度,通過高斯光束在頻域的位移實現(xiàn)了2-D Airy光束峰值強度位置的變化,利用高斯光束的位移調(diào)控,可以將峰值強度傳播到目標點;如圖5d所示,調(diào)控后的2-D Airy光束傳播到z=250 mm時,2-D Airy光束強度為0.27,仍然保持了2-D Airy光束的特性,可在此基礎(chǔ)上繼續(xù)無衍射傳播一段距離。從圖5e～圖5h對應(yīng)的3-D仿真圖可以明顯地看出,高斯光束位移后2-D Airy光束峰值強度位置的變化,并且峰值光強恢復后2-D Airy光束繼續(xù)無衍射傳播,不影響2-D Airy光束的特性。

圖5 高斯光束有位移時的2-D Airy光束強度Fig.5 Intensity of 2-D Airy beam with Gaussian beam displacement

圖6 高斯光束的不同位移對2-D Airy光束強度影響Fig.6 Effect of different displacements of Gaussian beam on the intensity of 2-D Airy beam

2.2 2-D Airy光束陣列的初始強度及自聚焦特性

圖7 2-D Airy光束陣列的相位圖Fig.7 Phase diagram of 2-D Airy beam array

根據(jù)式(5)對2-D Airy光束陣列自聚焦過程進行仿真,c=1 mm,DG,x=DG,y=0,如圖8所示。圖8分別是z為0 mm、125 mm、180 mm和190 mm時,2-D Airy光束陣列強度的仿真以及對應(yīng)的3-D圖,可以更直觀地對光束強度進行觀察。

圖8 2-D Airy光束陣列自聚焦過程示意圖Fig.8 Schematic diagram of the self-focusing process of 2-D Airy beam array

圖8a在z=0 mm處,2-D Airy光束陣列的4個2-D Airy光束主瓣都指向陣列中心,且每個主瓣中心到陣列中心的距離相同,從圖8a對應(yīng)的3-D圖可以看出,每個2-D Airy光束強度為0.28,與圖4a中2-D Airy光束在z=0 mm時的光束強度一致,2-D Airy光束陣列中的單個2-D Airy光束仍然保持了2-D Airy光束的特性。

圖8b為傳播一段距離后,在z=125 mm處的光束聚焦情況,可以看出,相較于在z=0 mm,光束間隔變小,但光束還未接觸,4個2-D Airy光束仍保持各自的光學特性,繼續(xù)向陣列中心傳播。將圖8e和圖8f做比較,在傳播125 mm后,因2-D Airy光束的無衍射性,在聚焦之前,4個2-D Airy光束基本保持其初始強度。

如圖8c所示,在光束傳播到z=180 mm時,4個2-D Airy光束相互接觸,但還未融合;如圖8g所示,此時Airy光束陣列強度還未突增。

如圖8d所示,在光束傳播到z=190 mm時,4個2-D Airy光束相互融合完成了自聚焦,此時光束強度突增為0.56,與圖4c和圖5c相比,實現(xiàn)了2-D Airy光束陣列強度在焦點的提高。此時,在經(jīng)過4個2-D Airy光束傳輸一段距離后實現(xiàn)的自聚焦光束初始強度為0.85。

2.3 2-D Airy光束陣列焦點處強度的調(diào)控

從圖4和圖5可以看出,通過對高斯光束在頻域的位移調(diào)控,仿真實現(xiàn)了2-D Airy光束峰值強度位置的變化;從圖8可以看出,2-D Airy光束陣列的自聚焦可以在焦點實現(xiàn)光束強度的突增,相比單個2-D Airy光束強度更高,但在焦點完成自聚焦之前,陣列中每個2-D Airy光束仍要傳播一段距離才能完成自聚焦,隨著陣列中每個2-D Airy光束的傳播,光束強度會損失一部分,通過對高斯光束在頻域的位移調(diào)控可實現(xiàn)2-D Airy光束陣列焦點的強度的增強。圖9為高斯光束在2-D Airy光束陣列頻域的位移示意圖。圖中紅點表示高斯光束的位置,箭頭表示高斯光束的位移方向。

圖9 高斯光束在2-D Airy光束陣列頻域的位移示意圖Fig.9 Schematic diagram of the displacement of Gaussian beam in frequency domain of 2-D Airy beam array

在頻域移動高斯光束時,2-D Airy光束陣列各象限光束強度調(diào)控的仿真結(jié)果如圖10所示。在第一象限沿45°方向移動高斯光束(DG,x=DG,y=d,d>0),當高斯光束發(fā)生位移時,對于4個象限中每個2-D Airy光束的位移都不同。下面首先仿真了高斯光束位移(DG,x=

圖10 高斯光束位移DG,x=DG,y=1時,2-D Airy光束陣列各象限強度的仿真Fig.10 Intensity of each quadrant of 2-D Airy beam array at Gaussian beam displacement DG,x=DG,y=1

DG,y=1)時,在z=0 mm初始平面處,對每個象限中的2-D Airy光束強度的影響,圖10分別是2-D Airy光束陣列在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的光束強度仿真圖,以及對應(yīng)的2-D Airy光束陣列強度的3-D圖。

如圖10所示,高斯光束位移DG,x=DG,y=1時,第一象限的2-D Airy光束強度為0.281;第二象限2-D Airy光束強度為0.270;第三象限2-D Airy光束強度為0.259;第四象限2-D Airy光束強度為0.271,高斯光束位移對2-D Airy光束陣列中的每個光束強度產(chǎn)生不同的影響,從而在頻域位移不同距離的高斯光束對焦點處自聚焦的2-D Airy光束陣列強度產(chǎn)生不同影響。

通過高斯光束的位移可以控制2-D Airy光束陣列焦點的強度,圖11為移動高斯光束,即(DG,x,DG,y)取不同值時,在z=190 mm 2-D Airy光束陣列自聚焦處,Airy光束陣列強度的仿真結(jié)果以及對應(yīng)的3-D仿真結(jié)果。

圖11 高斯光束位移后2-D Airy光束陣列焦點的強度仿真Fig.11 2-D Airy beam array intensity in focus simulation after Gaussian beam displacement

從圖8d可以看出,在不移動高斯光束,即DG,x=DG,y=0、z=190 mm時,2-D Airy光束陣列強度為0.85。

如圖11a所示, 移動高斯光束,DG,x=DG,y=1,2-D Airy光束陣列自聚焦強度為0.96;如圖11b所示,DG,x=DG,y=2,2-D Airy光束陣列自聚焦強度為1.04;如圖11c所示,DG,x=DG,y=3,2-D Airy光束陣列自聚焦強度為1.1。隨著高斯光束的移動,對焦點處自聚焦的2-D Airy光束陣列強度進行了調(diào)控,實現(xiàn)了2-D Airy光束陣列強度的增強。

因2-D Airy光束陣列中每個光束在自聚焦之前保持了Airy光束的光學特性,通過高斯光束位移對每個2-D Airy光束強度的調(diào)控,實現(xiàn)了2-D Airy光束陣列焦點處強度的調(diào)控,在2-D Airy光束陣列焦點固定的情況下,可靈活方便地對2-D Airy光束陣列強度進行調(diào)控,且過程簡單。

2.4 模擬大氣湍流條件下2-D Airy光束陣列強度調(diào)控的效果

因Airy光束的無衍射特性,對大氣湍流具有一定的抑制能力,2-D Airy光束陣列強度的調(diào)控使焦點匯聚的能量更強,為光束抵抗大氣湍流提供了一種新的方法,通過模擬2-D Airy光束陣列強度在大氣湍流中的調(diào)控,分析了此方法對2-D Airy光束陣列光強的影響,如圖12所示,模擬了湍流條件下2-D Airy光束陣列強度調(diào)控的效果。

圖12 中等湍流條件下,2-D Airy光束陣列焦點強度的仿真圖Fig.12 Simulation of focal intensity of 2-D Airy beam array under moderate turbulence conditions

通過功率譜反演法生成隨機湍流相位屏,將2-D Airy光束陣列通過生成的隨機湍流相位屏,進行大氣湍流的強度仿真,仿真參數(shù)為:大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)Cn2=8×10-14m-2/3,x0=11 mm,y0=11 mm,λ=1550 nm,c=1 mm,α=0.01,光束在1 km處聚焦。圖12為中等湍流強度下,在z=1 km 2-D Airy光束陣列自聚焦處,Airy光束陣列強度仿真圖以及對應(yīng)的3-D仿真結(jié)果。如圖12a所示,沒有湍流、不移動高斯光束、DG,x=DG,y=0和z=1 km時,2-D Airy光束陣列強度為1.09;此時在不移動高斯光束的情況下,加入湍流,光束強度仿真結(jié)果如圖12b所示,2-D Airy光束陣列強度為0.85,因為大氣湍流的影響,光束強度降低;通過移動高斯光束,使DG,x=DG,y=1.43,如圖12c所示,在z=1 km處,加入湍流的情況下,2-D Airy光束陣列自聚焦強度增強為1.03,提高了2-D Airy光束陣列抵抗大氣湍流的能力,使光束在焦點處的強度增強。

3 結(jié) 論

理論分析了2-D Airy光束陣列焦點處強度調(diào)控的原理,并對其進行了仿真研究。通過仿真發(fā)現(xiàn):在高斯光束的調(diào)控下,2-D Airy光束峰值強度可以由初始位置z=0 mm處調(diào)控到z=190 mm處,實現(xiàn)了對2-D Airy光束峰值強度位置的調(diào)控;在2-D Airy光束峰值強度調(diào)控的基礎(chǔ)上,對2-D Airy光束陣列焦點處的強度實現(xiàn)了增強,在未調(diào)控的情況下,2-D Airy光束陣列焦點處的初始光強為0.85,經(jīng)過高斯光束在頻域的調(diào)控,焦點處的光強增加為1.1,實現(xiàn)了2-D Airy光束陣列焦點處強度的增強;大氣湍流條件下,通過強度調(diào)控,在z=1 km處2-D Airy光束陣列強度由0.85增強到1.03,對抵抗大氣湍流具有一定的作用,在激光通信增強接收端信號方面具有重要的研究價值。