曹倫 耿滔

摘要：以徑向偏振圓對稱Airy光束為例，基于Rayleigh Sommerfeld矢量衍射理論，探討了矢量圓對稱Airy光束的傳輸特性。隨著光束波長增大其自聚焦焦距減小，光束等效數(shù)值孔徑增大。與傍軸理論計算結果比較后發(fā)現(xiàn)，當?shù)刃?shù)值孔徑大于0.09時，傍軸理論不再適用，因為此時傍軸理論低估了光波的衍射效應和矢量性。

關鍵詞：圓對稱艾里光束； 自聚焦； 徑向偏振

中圖分類號： O 436.1 文獻標志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005 5630.2018.03.009

Abstract： In this paper，the vector propagation dynamics of the radially circular Airy beams have been studied based on Rayleigh Sommerfeld integration.With the increase of the wavelength the focal length of self focusing will decrease and the equivalent numerical aperture will increase.It is found that the paraxial theory is valid when the equivalent numerical aperture is less than 0 . 09 by comparing with the calculation results of Rayleigh Sommerfeld integration.The paraxial theory under estimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，paraxial theory can t be used for tightly focused systems.

Keywords：circular Airy beams； self focusing； radial polarization

引 言

圓對稱Airy光束（circular Airy beams，CAB）因在傳輸過程中有自加速、無衍射、自修復的特性[1]，使其在生物醫(yī)學、光學微操縱、表面等離子等領域有著廣泛的應用。相比于高斯光束等非無衍射光束， 圓對稱Airy光束的無衍射特性是指其在傳輸過程中一直保持較低能量并在焦點處能量突然增加。自修復特性是指即使在部分光束被遮擋的情況下，圓對稱Airy光束在傳播一段距離后還會恢復原有的光場分布。圓對稱Airy光束的自加速和軌道自彎曲特性可以躲避直線傳輸過程中的障礙物，巧妙地利用和改造Airy光束的自加速特性，還可以構造出新型光束，例如具有復雜軌道的光束。

在過去的幾年里，人們對圓對稱Airy光束已經(jīng)進行了大量的研究，如通過遮擋Airy光束主光瓣[2]，加載光學渦旋[3]和對Airy光束進行調(diào)制[4]等方法來提高Airy光束自聚焦特性，探索Airy光束對微粒的輻射力影響[5]以及如何實驗獲得Airy光束等等。

然而到目前為止，絕大部分的研究都是使用傍軸理論來研究光束的傳輸特性，有關矢量理論的研究少有報道。因此，本文基于Rayleigh Sommerfeld（R S）積分的矢量衍射理論來探討圓對稱Airy光束自聚焦的矢量傳輸特性。因徑向偏振光最適合產(chǎn)生超分辨光斑，本文以徑向偏振光為例進行研究。

由于圓對稱Airy光束的自聚焦性質(zhì)會受到初始光束尺寸的限制，因此，在保持初始光束尺寸不變的情況下，通過改變光束波長來改變其等效數(shù)值孔徑，研究自聚焦情況下傍軸理論和R S矢量衍射理論的適用范圍。

假設入射光為氦氖激光，波長λ為632.8 nm，光束的尺寸為：r0=1 mm，w=0.08，α=0.1。根據(jù)計算得到光束束寬為1.307 2 mm，此時傍軸理論和R S矢量衍射理論計算出的焦距f都為462.462 5 mm，NA約為0.002 8。

圖1給出了當NA為0.002 8時，兩種方法計算的z軸的總光強分布，圖2給出了圖1中虛線對應位置x軸總光強分布，其中Im/I0表示出射光束最大光強與初始光束最大光強的比值。從圖中可以看出：由于偏振奇點的存在，徑向偏振圓對稱Airy光束在焦點處為暗焦斑；在等效數(shù)值孔徑特別小的情況下兩種理論計算結果吻合得非常好。因此在等效數(shù)值孔徑較小的情況下兩種理論都適用。

我們將波長更改為0.02 mm，初始光束尺寸不變。此時兩種理論計算出的焦距都為14.464 5 mm，等效數(shù)值孔徑NA約為0.09。此時焦點處的縱向分量占總光強的比值相較于NA為0.002 8時已經(jīng)有所增大。

圖3給出了等效數(shù)值孔徑為0.09時，兩種理論沿著z軸和x軸的總光強分布，圖4給出了焦點處x軸的徑向分量、縱向分量光強分布（已歸一化處理）。從圖中我們可以看出：隨著等效數(shù)值孔徑增大，縱向分量光強占總光強比例增加，此時兩種理論開始出現(xiàn)差異；雖然傍軸理論和R S矢量衍射理論計算結果仍然都為暗焦斑，但是R S矢量衍射理論計算出最大光強要比傍軸理論大一些。由此可見，在NA為0.09時，傍軸理論就開始表現(xiàn)出對縱向分量地位的估計不足。

圖5和圖6給出了當λ等于0.1 mm時的計算結果，此時NA約為0.47，等效數(shù)值孔徑近一步增大后，縱向分量繼續(xù)增大。比較兩種理論的計算結果，可以發(fā)現(xiàn)傍軸理論計算出的自聚焦焦距為2.772 8 mm，R S矢量衍射理論計算出的自聚焦焦距為2.912 9 mm。傍軸理論計算出的光場仍然為暗焦斑，但是R S矢量衍射理論計算出的光場已經(jīng)不再是暗焦斑，此時聚焦光束的縱向分量最大值已經(jīng)遠大于徑向分量最大值。

通過上述的比較可以發(fā)現(xiàn)，傍軸理論和R S矢量衍射理論在等效數(shù)值孔徑為0.09時開始出現(xiàn)差異，并且隨著等效數(shù)值孔徑增大，這兩種理論的差異越來越大。究其原因是因為傍軸理論在推導過程中采用傍軸近似，忽略了光束傳輸過程中的矢量特性。在等效數(shù)值孔徑非常小的情況下，聚焦光場的縱向分量非常小可以忽略，但是隨著等效數(shù)值孔徑逐漸增大，聚焦光場的縱向分量占總光強比例增加，縱向分量不可再忽略，傍軸理論就不再適用。同時我們還發(fā)現(xiàn)在初始光束尺寸不變的情況下，聚焦光束徑向分量形成的暗斑尺寸也不會發(fā)生變化。

3 結 論

本文通過類比定義了Airy光束的等效數(shù)值孔徑，并以此來表征其聚焦狀態(tài)。經(jīng)對比R S矢量衍射理論與傍軸理論，我們發(fā)現(xiàn)：當?shù)刃?shù)值孔徑小于0.09時兩種理論都可以用于研究矢量原對稱Airy光束的傳輸特性；當?shù)刃?shù)值孔徑增大后，聚焦光場的縱向分量占總光強比例增加，縱向分量不可忽略，此時傍軸理論不再適用。因此，在探討Airy光束自聚焦矢量特性時，我們可以采用R S矢量衍射理論。

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（編輯：劉鐵英）