文貴雙

(甘肅省天水市一中 741000)

問題1 如圖1，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)，返回點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P走過的路程為x，將線段AP的長表示成x的函數(shù)f(x).

圖1

解析當(dāng)0≤x<4時(shí)，f(x)=x.

當(dāng)12≤x<16時(shí)，AP=16-x.

這是2019年湘教版必修第一冊(cè)習(xí)題3.1的15題的第一問.得到f(x)表達(dá)式后，可以知道函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，還有什么特性？一時(shí)不知道.利用幾何畫板作出函數(shù)圖象，如圖2，圖象類似鋼筆的筆頭，我們稱為“筆頭線”.圖象的對(duì)稱軸為直線x=8.我們?cè)倩氐絾栴}情境，通過思考點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段AP長度的變化情況，也可得出圖象的對(duì)稱軸.由函數(shù)的圖象歸納性質(zhì)是研究函數(shù)的一種方法，但不能只依賴圖象歸納性質(zhì)，因部分圖象得出結(jié)論未必可信，所以要提高利用函數(shù)解析式獲得性質(zhì)的能力.

圖2

問題1可以得到如下變式：

如圖3，正五邊形的邊長為1，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CD→DE→EA運(yùn)動(dòng)，返回點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P走過的路程為x，將線段AP的長表示成x的函數(shù)f(x).

圖3

解析正五邊形的內(nèi)角為108°，點(diǎn)H為邊CD.

當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)=x.

當(dāng)1≤x<2時(shí)時(shí)，

當(dāng)2≤x<3時(shí)，AC2=2-2cos108°，

當(dāng)3≤x<4時(shí)，

當(dāng)4≤x<5時(shí)，f(x)=5-x.

由問題1的解題經(jīng)驗(yàn)，可以根據(jù)題意得出圖象的對(duì)稱軸是x=2.5，但函數(shù)的圖象還不太明了，利用幾何畫板可以作出來，如圖4.

圖4 圖5

圖6

當(dāng)P,Q同時(shí)在線段AD上時(shí)，結(jié)論同上.

點(diǎn)P,Q中一個(gè)點(diǎn)在線段上，一個(gè)點(diǎn)在圓弧上時(shí)，

圖7 圖8

問題2的變式如下：

當(dāng)點(diǎn)P在線段EC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在線段DF上運(yùn)動(dòng)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(1，tanθ)，則點(diǎn)Q(-1，tan(60°-θ))，15°≤θ≤45°.2a+b=(1,2tanθ+tan(60°-θ))，

圖9

當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)重復(fù)上面情況.

圖10

幾何畫板可以將一些抽象問題具象化呈現(xiàn)出來，使我們更加直觀地了解問題本質(zhì)；幾何畫板，讓思維的過程可視化，探究的過程不斷深入，我們?cè)诓粩鄤?dòng)手動(dòng)腦、學(xué)思結(jié)合、數(shù)形互補(bǔ)中，思維能力得到了深度發(fā)展.