廣東省東莞外國語學校(523430) 黃 威

一、形如數(shù)列不等式

例1(2022年新高考I卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性;

(2)當x ＞0 時,f(x)＜-1,求a的取值范圍;

(3)設n ∈N*,證明:

綜上所得,原不等式成立.

例2(2019年高考浙江卷第20 題)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3, 數(shù)列{bn}滿足: 對每n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

綜上所得,原不等式成立.

二、形如＜f(n)(ai ＞0)數(shù)列不等式

例3(2020年高考新課標Ⅱ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在(0,π)上的單調性;

(3)設n ∈N*, 證明: sin2xsin22xsin24x···sin22nx≤

分析(1)略.(2)|f(x)|≤(過程從略).(3)

注意到不等式左邊可以看作數(shù)列{an}的前n+1 項積,an=sin22nx,這并不是形如＜c(c為常數(shù))數(shù)列不等式證明題,因此,問題的關鍵在于將不等式左邊前n+1項積轉化為前n項積形如＜c(c為常數(shù))數(shù)列不等式證明題.

本質上,將不等式左邊放縮為

例4(2009年高考山東卷第20 題)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 已知對任意的n ∈N+, 點(n,Sn), 均在函數(shù)y=bx+r(b ＞0 且b≠1,b,r均為常數(shù)的圖像上.

(I)求r的值;

解(1)r=-1.(過程從略)

綜上所述,可得不等式恒成立.

例5已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)(i)當x ＞1 時,f(x)＞0 恒成立,求正整數(shù)k的最大值;

(ii)證明: (1+1×2)(1+2×3)...[1+n(n+1)]＞

解(1)略;(2)(i)正整數(shù)k的最大值為3.(過程從略)(ii)證明: 兩邊取對數(shù)得

綜上所述,可得不等式恒成立.

三、形如 ＜c(c 為常數(shù))數(shù)列不等式

例8(2012年高考廣東卷)證明: 對一切正整數(shù)n, 有