廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

1 引言

橢圓中的定點定值問題是高考的熱門考點,學(xué)生在引參探究時設(shè)點還是設(shè)線的選擇思路往往不清晰,加上這類問題對運算能力要求較高,故一直是高三復(fù)習(xí)備考階段較難逾越的一個知識點.查閱相關(guān)資料時,發(fā)現(xiàn)較多相關(guān)文章均是關(guān)于對此類問題的解法技巧, 缺乏對其性質(zhì)生成背景的分析,只注重解題的教學(xué)活動很容易造成學(xué)生就題論題從而導(dǎo)致備考效果不佳.這些性質(zhì)是孤立存在的嗎? 能否統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到一個基本性質(zhì)模型從而梳理出一個清晰的解題思路? 經(jīng)過探究筆者發(fā)現(xiàn)此類問題源于橢圓的兩個小性質(zhì),以此為基礎(chǔ)再進(jìn)行一些拓展即能產(chǎn)生一些新的結(jié)論,以下就從該性質(zhì)展開說明.

問題1如圖1,已知橢圓C:b ＞0)的右頂點為M, 過P(m,0)(m≠a)的直線l與橢圓交于A,B兩點, 記MA,MB的斜率分別為k1,k2,證明:

圖1

證明(分類討論)若直線l斜率k存在, 設(shè)直線為y=k(x-m),代入橢圓方程,整理得

當(dāng)Δ＞0 時,記A(x1,y1),B(x2,y2),則有

綜上,命題成立.

利用上述問題的推導(dǎo)過程,可以發(fā)現(xiàn)橢圓存在如下兩個性質(zhì):

性質(zhì)1在問題1 的條件下, 若P(m,0)(m≠a)為定點,則MA,MB的斜率之積為定值

2 命題背景探究

圍繞上述兩個基本性質(zhì),重新審視一些高考真題和模擬試題中與之相關(guān)的問題,分析其考查特點后大致可分為如下幾類:

2.1 結(jié)合平面幾何背景考查定點定值問題

問題2如圖2,已知橢圓過右焦點F2的直線l與C交于A,B兩點,點P為橢圓的右頂點,直線PA,PB與直線x=4 相交于M,N,求證: 以MN為直徑的圓經(jīng)過點F2.

圖2

圖3

問題3(2018 全國新課標(biāo)I卷第19 題)如圖4,設(shè)橢圓的右焦點為F, 過F的動直線l與C交于A,B兩點, 點M坐標(biāo)為(2,0), 設(shè)O為坐標(biāo)原點, 證明:∠OMA=∠OMB.

圖4

圖5

若MB是橢圓的切線, 記B(x0,y0), 則MB方程為代入M(2,0)可知x0=1,即表明AB⊥x軸,利用對稱性可知∠OMA=∠OMB.

2.2 結(jié)合橢圓中的基本性質(zhì)來考查定點定值問題

橢圓有一個關(guān)于斜率之積為定值的的基本性質(zhì), 其具體形式如下:

圖7

圖8

圖9

圖10

2.3 利用幾個性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化考查定點定值問題

問題6(2020年高考新課標(biāo)I卷第20 題)如圖11,已知A,B分別為橢圓的左右頂點,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.證明: 直線CD過定點.

圖11

圖12

圖13

圖14

3 考查方式拓展

通過對上述幾個問題的的背景探究,將某些問題中條件和結(jié)論簡單置換,還可以作如下考查.

問題8如圖15,已知橢圓左右頂點分別為A,B,動點S在直線x=1 上,連結(jié)AS,BS分別與橢圓交于P,Q兩點,求證: 直線PQ過定點.

圖15

命題思路記直線SA斜率為kSA,其余直線斜率表示類似,由S在直線x=1 上,設(shè)S(1,t),由

圖16

圖17

數(shù)學(xué)家波利亞曾說,問題真正獲得解決的評判標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是我們對原問題的理解比剛開始時更完整和準(zhǔn)確.對上述定點定值問題的研究若不深刻,極易將與之相關(guān)的解題教學(xué)活動變成題海訓(xùn)練,一旦問題情境發(fā)生變化就無法識別其本質(zhì)導(dǎo)致束手無策.因此在解題探究中不僅要幫助學(xué)生總結(jié)歸納方法,還要充分剖析這些問題的命制背景,最終實現(xiàn)多題一解,若學(xué)生在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中不斷地經(jīng)歷類似的深度思考與類比遷移,在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中亦能自發(fā)產(chǎn)生類似的深層次疑問并主動嘗試交流或解決這些困惑,從而有效提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).