華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 肖阿春

廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

一、問題背景

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)平面解析幾何的核心內(nèi)容,其中圓錐曲線定點定值問題是高考、競賽命題的重點、熱點,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.這類問題綜合性強(qiáng),解法靈活,能夠很好的考查學(xué)生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的掌握程度,檢驗學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平.解題時應(yīng)“先用幾何眼光觀察與思考,再用代數(shù)法解決”[1],即要結(jié)合試題所表示的幾何圖形特點進(jìn)行解題.如此,不僅可以規(guī)避復(fù)雜和繁瑣的代數(shù)運算,還能提高解題效率.尤其是對一些與平面幾何重要結(jié)論緊密相連的圓錐曲線試題,運用幾何方法進(jìn)行解題能夠事半功倍,例如本文所探究的試題就與廣義蝴蝶定理息息相關(guān).

廣義蝴蝶定理是蝴蝶定理在二次曲線中的推廣,在平面幾何中,蝴蝶定理是一個重要而優(yōu)美的結(jié)論,因其涉及到的幾何圖形類似蝴蝶而得名,其定理內(nèi)容如下:

蝴蝶定理如圖1所示,M是⊙O的弦AB的中點,CD、EF是過M點的兩條弦, 連接CF、DE分別交AB于P、Q兩點, 則MG=MH.

圖1

蝴蝶定理自提出以來, 眾多學(xué)者對其進(jìn)行了多種形式的推廣與應(yīng)用.

美國人坎迪首次對蝴蝶定理進(jìn)行推廣[2],將蝴蝶定理中的弦AB的中點M推廣為弦AB上任意一點M從而得到相應(yīng)結(jié)論,后人稱為坎迪定理.之后的學(xué)者主要是從以下三個方面對蝴蝶定理進(jìn)行推廣: 一是將圓變?yōu)槠渌麍D形;二是將AB的中點M推廣至AB上任意一點M; 三是將連接CF、DE變?yōu)檫B接CE、DF.本文所運用到的廣義蝴蝶定理是前人將蝴蝶定理中的圓變?yōu)槎吻€后證明得到的,具體內(nèi)容如下:

廣義蝴蝶定理[2-3]如圖2(圖3、4), 若M是二次曲線(含退化二次曲線)的弦AB的中點, 過CD、EF是過M的兩條弦,CF、DE分別交直線AB于點H、G,則MG=MH.

圖2

圖3

圖4

二、試題賞析

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)過點D(1,0)的動直線l交橢圓C于E、F兩點(點E在x軸上方),M、N分別為直線A1E、A2F與y軸的交點,求的值.

分析本題第二問以橢圓為載體考查直線過定點問題,通常用代數(shù)法解決,解題思路是: 引入?yún)?shù)表示,結(jié)合題目條件利用韋達(dá)定理對其進(jìn)行化簡,從而得到答案.但過程較為復(fù)雜,化簡過程繁瑣、運算量大.于是把目光轉(zhuǎn)向幾何法,問題表示的幾何圖形如圖5,觀察可發(fā)現(xiàn)其是廣義蝴蝶定理的一種特殊情況: 二次曲線為橢圓,AB為垂直橢圓長軸的弦.但本題的題目條件將垂直橢圓長軸的弦AB隱去,給出了弦AB的中點D.因此可用廣義蝴蝶定理進(jìn)行解答,只需過點D作垂直橢圓長軸的弦AB,利用簡單的三角形相似可以將轉(zhuǎn)化為已知線段的比,即可得出的值.

圖5

解析(1)=1(過程略);

解法2如圖6, 作直線x=1 與橢圓交于A、B兩點,則線段AB是橢圓的弦并且點D是線段AB的中點, 直線A1E、A2F與直線AB分別交于點T、S.依題意可得,ΔA1OM∽ΔA1DT,ΔA2DS∽ΔA2ON,則有

圖6

因為點D是弦AB的中點, 直線EF、A1A2都過點D, 直線A1E、A2F與直線AB分別交于點T、S, 符合廣義蝴蝶定理的條件, 由廣義蝴蝶定理可知|DT|=|DS|, 因此

三、試題推廣

由上知本文試題可以用廣義蝴蝶定理進(jìn)行快速解答,并且廣義蝴蝶定理對所有的二次曲線都成立,因此我們不禁想進(jìn)一步對本文試題進(jìn)行探究推廣.

問題1當(dāng)試題題干中的橢圓為一般的橢圓,點D是x軸上的任意一點時,還是定值嗎?

圖7

圖8

我們知道圓錐曲線具有統(tǒng)一定義,橢圓中的許多性質(zhì)可類比推廣至雙曲線、拋物線中,因此想嘗試將本文試題結(jié)論推廣至雙曲線、拋物線.為了減少圓錐曲線分類探究所帶來的重復(fù)繁瑣證明,同時更好地探究本文試題的更一般推廣形式,接下來我們從一般的二次曲線入手進(jìn)行本文試題的探究.

問題2一般的二次曲線與廣義蝴蝶定理結(jié)合有何定值、定點結(jié)論?

結(jié)論2已知二次曲線Γ:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,動點G(m,0)、H(n,0)(m≠n),過點G作斜率不為0 的直線與Γ 相交于M′、N′兩點,直線M′H、N′H與Γ 分別相交于P′、Q′兩點,直線M′N′、P′Q′與y軸分別相交于M、N兩點,記M′N′、P′Q′的斜率為k1、k2.若D=0,則

證明(1)(2)(3)①動點H在二次曲線內(nèi), 如圖9, 作直線x=n與Γ 交于A、B兩點,則線段AB是二次曲線Γ 的弦并且點H是線段AB的中點.因為點H是弦AB的中點,直線M′Q′、P′N′都過點H,直線M′N′、P′Q′與弦AB分別交于T、S兩點,符合廣義蝴蝶定理的條件,由廣義蝴蝶定理可得|HS|=|HT|;

圖9

②動點H在二次曲線外, 如圖10(圖中括號內(nèi)的字母表示該點在引理圖中的位置),作直線x=n與直線N′P′、M′Q′分別交于A、B兩點,通過計算可知點H是線段AB的中點(設(shè)出直線N′P′、M′Q′的方程, 分別計算|AH|、|BH|的值, 具體過程略).因為點H是線段AB的中點,直線N′Q′、M′P′均過點H,直線M′N′、P′Q′與直線AB分別交于T、S兩點, 符合廣義蝴蝶定理條件, 由廣義蝴蝶定理可得|HS|=|HT|.設(shè)直線P′Q′與x軸的交點為I, 依題意由圖可得: ΔGOM∽ΔGHT,ΔIHS∽ΔION,,從而

圖10

(4)聯(lián)立直線M′N′與直線P′Q′的方程消去y,即可得直線M′N′與直線P′Q′的交點在定直線上.(具體過程略,感興趣的讀者可自證)

四、反思感悟

為何學(xué)生平時已對圓錐曲線定點定值題目進(jìn)行大量訓(xùn)練,但這類問題還是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點? 原因是學(xué)生并沒有真正明白解析幾何的本質(zhì),認(rèn)為解決解析幾何問題只能用代數(shù)方法,并且將代數(shù)方法簡單化為“算”.而代數(shù)方法的要點確實是通過代數(shù)運算和推理研究幾何圖形,但這里的運算是具有幾何特征的運算[4].因此如果學(xué)生遇到解析幾何問題只是盲目地假設(shè)、建立關(guān)系式,而后硬算,即使最后能得到化簡結(jié)果,也須得費九牛二虎之力.

那么如何才能真正掌握解決圓錐曲線定點定值問題的方法呢,首先應(yīng)該明確的是這類問題的考查本質(zhì).圓錐曲線定點定值問題屬于高中平面解析幾何主題的內(nèi)容,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》平面解析幾何主題指出:“本主題的研究對象是幾何圖形,所用的研究方法是代數(shù)方法…借助幾何圖形的特點,形成解決問題的思路,通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果,并給出幾何解釋,解決問題[5].”解析幾何既有“代數(shù)”也有“幾何”,其本質(zhì)是用數(shù)形結(jié)合思想研究幾何問題,這說明解決解析幾何問題要幾何、代數(shù)二法并舉.

因此在解析幾何的教學(xué)中,教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解其本質(zhì),使學(xué)生真正掌握解決解析幾何問題的方法.用于解題教學(xué)的題目應(yīng)該精挑細(xì)選、具有代表性,還應(yīng)有較強(qiáng)的可拓展性,使學(xué)生能夠進(jìn)一步對問題探究推廣.解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先用幾何眼光看待問題,結(jié)合幾何圖形的特征探索解決問題的思路,并且不能僅僅滿足于得到答案,還應(yīng)該給出答案的合理幾何解釋.教師還應(yīng)鼓勵學(xué)生進(jìn)行一題多解,提高學(xué)生的發(fā)散性思維;鼓勵學(xué)生對試題進(jìn)行推廣,從一道題看一類題.只有在教學(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣、掌握正確的學(xué)習(xí)方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),學(xué)生才能在考場上游刃有余、從容不迫.