李 斌，王思思，郝亞賽，李洪鳳

（天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072）

隨著現(xiàn)代航天、軍事、化工、工業(yè)自動化和智能機器人等領(lǐng)域的發(fā)展，對多自由度運動的需求越來越多[1]．常規(guī)電機只能產(chǎn)生單自由度運動，需將多個電機以串聯(lián)、并聯(lián)或串并混聯(lián)等方式來產(chǎn)生多自由度運動[2-4]．球形電機可在一個關(guān)節(jié)實現(xiàn)三自由度旋轉(zhuǎn)運動，有體積小、響應(yīng)速度快、工作空間非奇異等優(yōu)點，成為消除傳統(tǒng)多自由度裝置缺點的一種有效解決方案，在過去幾十年中成為國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究的課 題[5]．相比永磁球形電機，球形感應(yīng)電機轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)更加簡單，且均勻球體各方向轉(zhuǎn)動慣量相同，有助于減小多自由度運動時的轉(zhuǎn)速波動，減小控制系統(tǒng)設(shè)計 難度．

文獻[6]設(shè)計了一種兩自由度球形感應(yīng)電機，分別由兩個方向上的勵磁繞組驅(qū)動轉(zhuǎn)子在各方向上的轉(zhuǎn)動．文獻[7-8]設(shè)計了一種單自由度磁懸浮球型電機，在z軸方向通過線圈與轉(zhuǎn)子之間的吸力保持懸浮力控制，在O-xy平面通過兩套繞組控制轉(zhuǎn)子運動．文獻[9]中的球形感應(yīng)電機僅有兩組定子線圈，轉(zhuǎn)子鍍銅，其優(yōu)點在于線圈數(shù)量少，控制簡單，缺點在于輸出轉(zhuǎn)矩小，應(yīng)用范圍有限．文獻[10-11]的電機轉(zhuǎn)子采用表面鍍銅空心鐵球殼，定子由4個相互獨立線圈組成，能夠在轉(zhuǎn)子表面產(chǎn)生推力，使得球形轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動．文獻[12-13]設(shè)計的殼狀球形感應(yīng)電機將軟磁復(fù)合材料運用到電機中，轉(zhuǎn)子球外層為導(dǎo)電材料，內(nèi)層為軟磁復(fù)合材料，定子層為軟磁復(fù)合材料，內(nèi)層為無槽的定子線圈．文獻[14]提出的磁懸浮球形感應(yīng)電機轉(zhuǎn)子表面有互相垂直的槽，槽內(nèi)安裝相互交錯的鋁條，內(nèi)表面鍍鋁膜，外表面的鋁條和內(nèi)表面的鋁膜用鋁條連接，定子由硅鋼片疊壓而成，安裝三相繞組來產(chǎn)生懸浮電流與旋轉(zhuǎn)電流，但該電機只能產(chǎn)生一個自由度的轉(zhuǎn)動．文獻[15]研制了一種基于球軸承多點支撐的球形感應(yīng)電機，定子采用兩個半圓的定子鐵芯組合而成，3組定子繞組兩兩正交分布，以實現(xiàn)三自由度運動．球形轉(zhuǎn)子采用空心球殼，轉(zhuǎn)子表面鍍銅，再鍍一層鉻以減少鍍銅層的損傷．文獻[16]利用傳遞矩陣?yán)碚撛O(shè)計了一種新型感應(yīng)球形電機，構(gòu)造出擴展的簡化直線感應(yīng)電動機模型(ESLIM)．將傳遞矩陣?yán)碚搼?yīng)用于直線感應(yīng)電機的各層，得到兩個邊界處磁場的關(guān)系，給出了邊界條件，推導(dǎo)了磁場的解析模型．

本文提出一種定子軛、定子齒及轉(zhuǎn)子采用SMC材料的球形感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)并對其磁場進行分析，利用定子線圈排布方式和電機結(jié)構(gòu)在空間中的對稱性，提出用單組線圈產(chǎn)生的磁場經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換合成電機整體磁場的方法；進一步將球形感應(yīng)電機單組線圈三維磁場簡化為單組線圈二維模型，建立了二維模型的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型并求解氣隙磁密分布，用三次樣條插值法擬合得到等效磁網(wǎng)絡(luò)模型的磁密曲線，對比單組線圈三維磁場仿真結(jié)果，驗證了等效磁網(wǎng)絡(luò)模型的正確性．本文提出的磁場分析方法將三維磁場簡化為二維磁場，在滿足計算精度的前提下減少磁場計算數(shù)據(jù)量，提高了磁場計算速度，克服了電機線圈數(shù)量多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜帶來的困難．

1 球形感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)

本文提出的電機結(jié)構(gòu)如圖1所示．電機的定子軛和轉(zhuǎn)子均為球殼型，圓柱形定子齒和線圈均勻排布在定子軛球殼內(nèi)．線圈通入交變電流后產(chǎn)生一個旋轉(zhuǎn)磁場，磁場與轉(zhuǎn)子發(fā)生相對運動，轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢．在感應(yīng)電動勢的作用下，轉(zhuǎn)子導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生感應(yīng)電流并與定子磁場相互作用，產(chǎn)生了電磁轉(zhuǎn)矩，驅(qū)動轉(zhuǎn)子隨旋轉(zhuǎn)磁場做同向運動．

圖1 SMC球形感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of SMC spherical induction motor

電機共有24個線圈，兩個關(guān)于球心對稱的線圈為一組，共分為12組，從z軸正負半軸俯視各組標(biāo)號如圖2所示．

圖2 SMC球形感應(yīng)電機的定子線圈Fig.2 Stator coils of SMC spherical induction motor

通過控制球形感應(yīng)電機各組線圈通電電流可以激勵出Y32階次的旋轉(zhuǎn)磁場．

2 球形感應(yīng)電機二維等效模型建立

2.1 單組線圈球形感應(yīng)電機模型

在分析球形感應(yīng)電機定子磁場時，如果直接對整體磁場進行分析，需要考慮通電后齒與齒之間的磁場交鏈，增加了分析的復(fù)雜度．考慮到球形感應(yīng)電機的結(jié)構(gòu)具有對稱性，可通過關(guān)于球心對稱的單組線圈的磁場合成整個電機的磁場． 單組線圈通電時，其他11組定子齒都為磁場提供了閉合路徑，磁場的等效磁路如圖3所示．、Rgap和Rroad分別表示通電線圈所在齒的磁阻，不通電線圈所在齒的磁阻，每個齒對應(yīng)的氣隙磁阻及磁通所經(jīng)磁路的磁阻(包括定子軛和轉(zhuǎn)子)．理想狀態(tài)下SMC材料磁導(dǎo)率遠大于空氣磁導(dǎo)率，定子齒的結(jié)構(gòu)相同且氣隙均勻，所以每個齒下的氣隙磁阻大小近似相同，根據(jù)基本的電路分析，圖3圓圈部分支路 沒有電流流過，兩個電壓源的效果疊加作用于電路上端的兩個黃色電阻，可以認為單組線圈通電時，所產(chǎn)生的磁動勢僅作用到對應(yīng)齒磁路上，其磁場分布不受其余定子齒的影響．

圖3 單組線圈通電磁場的等效磁路Fig.3 Equivalent magnetic circuit of the magnetic field of the single-coil group

基于此，可以通過如圖4所示的僅含位于z軸正負半軸的單組線圈電機模型代替12組線圈電機模型，從而簡化分析，方便磁路解耦．

圖4 單組線圈球形感應(yīng)電機模型Fig.4 Model of the spherical induction motor with the single-coil group

2.2 單組線圈球形感應(yīng)電機模型二維等效

單組線圈通電后磁場在定子齒、氣隙、轉(zhuǎn)子及定子軛之間形成θ＝[0，180°]的閉合磁路，氣隙磁密的主要分量為徑向分量Br．圖5為單組線圈通電產(chǎn)生的Br在球坐標(biāo)系中的分布．

圖5 單組線圈通電的Br分布Fig.5 Distribution of Br of the single-coil group

可以看出球形感應(yīng)電機氣隙球面上不同φ值Br在θ＝[0，180°]內(nèi)的波形相同，可以將單組線圈三維磁場分析簡化為任意φ值二維截面的磁場分析，定義二維截面為單組線圈二維模型，如圖6所示．其中Dcop為線圈底面直徑，Dsmc為SMC定子齒底面直徑，Hcop為線圈高度，Rsi為定子軛內(nèi)半徑，ds為定子軛厚度，Rri轉(zhuǎn)子內(nèi)半徑，dr為轉(zhuǎn)子厚度．

圖6 單組線圈二維模型示意Fig.6 Schematic diagram of a two-dimensional model of the single-coil group

3 二維模型磁場的等效磁網(wǎng)絡(luò)法求解

3.1 單組線圈二維模型中線圈的等效

單組線圈二維模型中線圈形狀如圖7(a)所示， 建模時將線圈的形狀等效為扇形，將定子軛內(nèi)徑處的線圈弧長近似等于Dcop，齒的弧長近似等于Dsmc，線圈高度不變，如圖7(b)所示．

圖7 線圈等效示意Fig.7 Equivalent diagram of the coil

這種等效方法保證了同一個剖分單元中磁阻計算采用同一個相對磁導(dǎo)率，并能根據(jù)Rsi計算出每一個剖分單元的圓心角為

3.2 剖分單元磁阻及磁動勢推導(dǎo)

對單組線圈二維模型沿徑向和周向進行剖分，建立其等效磁網(wǎng)絡(luò)模型．基于單個節(jié)點磁路模型中各個節(jié)點之間的連接關(guān)系和磁通連續(xù)條件，可以將單元方程表示為

式中：φ為支路的磁通量；u為節(jié)點磁勢；F為支路上的磁動勢；R為磁阻；上標(biāo)φ和r分別表示周向和徑向兩個方向；下標(biāo)i和j分別表示對應(yīng)的節(jié)點在二維空間中的位置．

單組線圈二維模型僅采用磁阻元件的周向分量Rφ和徑向分量Rr，分別表示為

式中：νe為剖分單元的磁阻率；qe為軸向長度，本文取qe＝1 mm；rout,e為剖分單元扇面外徑；rin,e為內(nèi)徑；αe為扇面角．

電機的激勵源為定子線圈，定義線圈產(chǎn)生的磁動勢Fcoil為每個電磁線圈的安匝數(shù)NI．假設(shè)整個線圈區(qū)域電流密度分布均勻，磁動勢源增量ΔFe為

式中：Ae為磁阻元件載流區(qū)面積；Acoil為線圈在槽中的總面積；Ncoil為線圈數(shù)；Na,coil為線圈中并聯(lián)導(dǎo)體數(shù)；比值Neff,coil為線圈中有效導(dǎo)體數(shù)，本文中 Neff,coil＝1；Icoil為電流值．磁動勢源在SMC定子齒頂部處為0，在線圈區(qū)域內(nèi)隨線圈高度線性增長最終達到最大值Fcoil，并且在定子軛中恒等于Fcoil．

3.3 磁通密度求解

利用節(jié)點電壓分析法求解單組線圈二維等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，將式(2)中的單元方程式應(yīng)用于所有節(jié)點組成式(7)中的系統(tǒng)矩陣，其中P為磁導(dǎo)納矩陣，u為節(jié)點標(biāo)量磁勢矩陣，F(xiàn)為驅(qū)動矩陣．

若整個分析區(qū)域在徑向和周向兩個方向上分別剖分成s和t個節(jié)點，總節(jié)點數(shù)n為s和t的乘積，任意節(jié)點(i，j)的順序即n(i，j)可以表示為

任意節(jié)點(i，j)的單元方程式屬于系統(tǒng)矩陣的第n(i，j)行．屬于第n(i，j)行的u、P和F元素表示 如下.

磁能和支路磁通、磁阻的關(guān)系可表示為

用三次樣條插值的方法對磁密數(shù)據(jù)進行擬合，得到等效磁網(wǎng)絡(luò)法求解的r＝31.1 mm氣隙處Br隨弧長變化曲線如圖8所示．

圖8 三次樣條插值的Br曲線

擬合曲線誤差平方和SSE＝0.001682，證明三次樣條插值對等效磁網(wǎng)絡(luò)求得的磁密數(shù)據(jù)擬合準(zhǔn)確．

4 球形感應(yīng)電機整體磁場合成

單組線圈球形感應(yīng)電機通單位電流后，氣隙磁密徑向分量Br表示為不同階數(shù)球諧函數(shù)相加的形式為

式中：l∈N表示函數(shù)階數(shù)；m∈[0，l]表示函數(shù)的次．

假設(shè)磁場不飽和，球諧函數(shù)的空間旋轉(zhuǎn)可以基于球諧波系數(shù)變換進行[17]，基于此能夠通過單組線圈通單位電流的氣隙磁密獲取電機12組不同位置線圈產(chǎn)生的氣隙磁密．結(jié)合球諧函數(shù)形式的單組線圈產(chǎn)生的氣隙磁密徑向分量表達式，通過空間磁場的疊加定理，可得球形電機某氣隙面上各點的磁密徑向分量表達式[18]為

式中ik為各組線圈通電電流，k＝1，2，…，12．

5 仿真與實驗

5.1 單組線圈球形感應(yīng)電機有限元仿真

表1給出了球形感應(yīng)電機的一組尺寸參數(shù)．

表1 SMC球形感應(yīng)電機尺寸參數(shù)Tab.1 Size parameters of SMC spherical induction motormm

為說明SMC球形感應(yīng)電機單組線圈通電時齒與齒之間的磁場交鏈情況，依據(jù)表1建立電機12組線圈僅第1組線圈通電的有限元仿真模型，對比兩種情況Br在球坐標(biāo)系的分布及球諧波系數(shù)如圖9和10所示．

圖9 第1組線圈通電后Br分布對比Fig.9 Comparison of the Br distribution with electrified Group1 coils

情況1為保留第1組定子齒材料為SMC，其余齒材料設(shè)為空氣；情況2為保留所有定子齒材料為SMC．可以看到兩種情況下磁密幅值和球諧波系數(shù)組成基本相同，且球諧波系數(shù)和的幅值相同．對比了情況1和情況2的球諧波系數(shù)中幅值最大的10組數(shù)據(jù)，如表2所示．

表2 兩種情況球諧波系數(shù)對比Tab.2 Comparison of SHC in two cases

5.2 有限元仿真結(jié)果與等效磁網(wǎng)絡(luò)對比

依據(jù)表1建立單組線圈三維磁場模型和單組線圈二維磁場有限元模型，設(shè)置NI＝300 AN，電流產(chǎn)生的磁場指向z軸負方向，獲得r＝31.1 mm氣隙處磁密徑向分量Br在θ＝[0，180°]范圍內(nèi)隨弧長ξ變化的幅值圖．在等效磁網(wǎng)絡(luò)模型中設(shè)置NI＝300安匝，計算得到Br數(shù)據(jù)并進行三次樣條插值擬合．

圖10 Br的球諧波系數(shù)組成對比Fig.10 Comparison of SHC of Br

圖11中3條曲線分別代表單組線圈三維磁場模型、單組線圈二維磁場模型和等效磁網(wǎng)絡(luò)模型在 NI＝300 AN時的Br分布，圖11(b)和圖11(c)將圖11(a)磁密絕對值大于0的A、B兩部分進行了放大．

圖11 3種模型的Br（NI＝300安匝）Fig.11 Br of the three models（NI＝300 AN）

3條曲線的趨勢相同，磁密較大區(qū)間內(nèi)三者相對誤差最大不超過4.50%．隨著漏磁影響的增強三者相對誤差有所增大，在磁密趨近于0時相對誤差又逐漸減?。刃Т啪W(wǎng)絡(luò)模型同單組線圈三維磁場模型和單組線圈二維磁場模型相對誤差的平均值分別為13.34%和18.53%．

5.3 樣機磁場測量實驗

本次實驗選用了Hoganas公司生產(chǎn)的SMC標(biāo)準(zhǔn)件進行樣機加工，實驗樣機尺寸如表3所示．

表3 實驗樣機尺寸參數(shù)Tab.3 Size parameters of experimental prototype mm

實驗樣機如圖12所示．受限于SMC標(biāo)準(zhǔn)件的尺寸和加工工藝，轉(zhuǎn)子由兩個半球拼接而成，定子軛由均分的6個單元拼接而成，拼接處做輕微打磨方便繞組穿出，塑料線圈骨架固定繞組于定子齒上，支撐底座起固定并支撐樣機的作用．圖12(a)未顯示頂部定子軛單元以展示樣機內(nèi)部結(jié)構(gòu)．

圖12 SMC球形感應(yīng)電機樣機Fig.12 SMC spherical induction motor prototype

5.3.1 靜態(tài)磁場測量實驗

本實驗搭建的樣機實驗平臺如圖13所示，包括上位機、直流電源、FPGA電路、信號驅(qū)動電路、樣機、霍爾信號采集電路等模塊．上位機完成FPGA程序的編譯，F(xiàn)PGA電路采用EP4CE6E22C8N芯片，輸出12路電流數(shù)字信號分別進入12路信號驅(qū)動電路．信號驅(qū)動電路包括DA轉(zhuǎn)換、運放電路、功放電路以及電流采樣4個模塊．電流數(shù)字信號經(jīng)過DAC7571數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片轉(zhuǎn)化為模擬信號，經(jīng)運放電路的LM258芯片縮小10倍后再由功放電路芯片LM1875放大，提高電路整體帶載能力，設(shè)計了滑動變阻器實現(xiàn)時時調(diào)節(jié)放大倍數(shù)的功能，最后經(jīng)過ASC712-05B電流傳感器芯片后加載到樣機12組線圈上．霍爾信號采集電路采用AH49H線性霍爾，用來采集霍爾元件輸出的電壓信號，結(jié)合霍爾元件磁場 計算公式獲得磁場數(shù)據(jù)．

圖13 實驗平臺Fig.13 Experimental platform

首先測量了樣機在單組線圈通靜態(tài)電流時r＝31.1 mm處的氣隙磁場．選擇了位于z軸正負半軸上的2號和-2號線圈，在兩線圈間θ＝[0，180°]的弧線上貼滿霍爾元件，每個霍爾元件的測量平面與定子線圈底面相切，使其可以測得定子線圈激勵出的徑向磁密，同時確?；魻栐行奶幱趓＝31.1 mm的球面上，如圖14(a)所示．

圖14 霍爾元件位置Fig.14 Location of the Hall components

實驗中線圈實際匝數(shù)為105匝．在2號和-2號線圈中通入產(chǎn)生磁場指向z軸負方向的直流電，得到NI＝210 AN時r＝31.1 mm處氣隙靜態(tài)磁場徑向分量Br，并對比NI＝210 AN時等效磁網(wǎng)絡(luò)模型和有限元仿真的電機單組線圈靜態(tài)磁場Br．

圖15為NI＝210 AN時實驗樣機單組線圈通電、單組線圈三維磁場有限元仿真和二維等效磁網(wǎng)絡(luò)模型得到的Br在θ＝[0，180°]內(nèi)的曲線，3條曲線的趨勢相同，且由于實驗樣機定子軛上不可避免地存在部分氣隙，使得實驗值較其他兩組數(shù)值的幅值偏?。?/p>

圖15 NI＝210 AN靜磁場實驗的Br對比Fig.15 Comparison of Br in the static experiment when NI＝210 AN

計算了NI＝210 AN時實驗同其他兩組數(shù)值間的相對誤差．實驗與等效磁網(wǎng)絡(luò)模型的平均相對誤差為18.44%，實驗與有限元仿真的平均相對誤差為15.14%．誤差來源主要為樣機存在的氣隙、霍爾元件測量靈敏度以及霍爾元件表貼位置的偏差．

5.3.2 整體磁場測量實驗

本實驗測量了球形感應(yīng)電機12組線圈依據(jù)通電策略通電后r＝31.1 mm處的整體磁場，每個線圈底面圓心處表貼一個霍爾元件，共24個霍爾元件，如圖14(b)所示(未顯示頂部定子軛單元)．

選擇Y32型磁場沿z軸旋轉(zhuǎn)的運動軌跡，電流頻率f＝500 Hz，通過分相通電策略[19]計算出12組線圈電流的表達式為

實驗選取了6 ms和7 ms時12組電流的瞬時值通入電機線圈，得到樣機依據(jù)通電策略通電后兩個時刻下的磁場數(shù)據(jù)．同時利用有限元仿真得到電機通入12組電流后的氣隙磁場徑向分量Br．

對實驗得到的Br數(shù)據(jù)進行可視化處理，如圖16和圖17所示．將t＝6 ms和t＝7 ms時上半球各線圈的霍爾元件檢測磁場在對應(yīng)時刻的Y32磁場分布圖中標(biāo)出，可以看出測量磁場的幅值和分布與Y32旋轉(zhuǎn)磁場一致．

圖16 上半球12個線圈檢測磁場的幅值與分布（t＝6 ms）Fig.16 Amplitude and distribution of the magnetic field of 12 coils in the upper hemisphere（t＝6 ms）

圖17 上半球12個線圈檢測磁場的幅值與分布（t＝7 ms）Fig.17 Amplitude and distribution of the magnetic field of 12 coils in the upper hemisphere（t＝7 ms）

6 結(jié) 語

本文以SMC材料球形感應(yīng)電機為研究對象，對其磁場分析方法進行了研究，通過分析電機單組線圈通電的磁場特性引出單組線圈球形電機模型，基于球諧函數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換簡化了球形感應(yīng)電機整體磁場計算；提出將單組線圈球形電機三維磁場模型簡化為二維模型的磁場分析方法，建立其等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，推導(dǎo)了剖分單元的磁阻及磁動勢表達式并計算得到磁網(wǎng)絡(luò)模型氣隙磁密分布；通過對比單組線圈球形感應(yīng)電機三維磁場和單組線圈二維模型的有限元仿真，結(jié)合樣機靜態(tài)磁場測量實驗結(jié)果證明了等效磁網(wǎng)絡(luò)模型的正確性，說明本文提出的SMC材料球形感應(yīng)電機磁場分析方法具有實用價值．該方法對其他鐵磁材料球形電機的分析工作具有參考意義，同時為轉(zhuǎn)矩分析和控制策略的研究奠定基礎(chǔ)．