萬曉英，陶雙平，楊東升

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070; 2.國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院公共基礎(chǔ)訓(xùn)練教研室，陜西 西安 710000)

0 引言

設(shè)0≤α1)為n上的零階齊次函數(shù), 其中n-1表示n中的單位球面. 粗糙核分?jǐn)?shù)次積分定義為:

(1)

(2)

近年來，變指標(biāo)函數(shù)空間上算子的有界性受到人們的廣泛關(guān)注[1-4]. 2015年, Tan-Liu 得到了TΩ,α在變指標(biāo)Lebesgue, Hardy和Herz型Hardy空間上的有界性[5]. 隨后,TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在變指標(biāo)Morrey空間上的有界性由文獻[6]得到. 2021年, Shao-Tao 得到了變量核分?jǐn)?shù)次積分及其交換子在廣義消失變指標(biāo)Morrey空間上的加權(quán)估計[7]. 更多的結(jié)果可參見文獻[8-10]. 2020 年, Aykol-Badalov-Hasanov 證明了無界集上的位勢算子及其交換子在局部“互補”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性[11]. 受上面研究啟發(fā), 本文中將研究無界集上粗糙核分?jǐn)?shù)次積分TΩ,α及其交換子[b,TΩ,α]在局部“互補”廣義變指標(biāo)Morrey空間上的有界性.

設(shè)D?n,用(D)表示滿足下面條件的可測函數(shù)p(·)構(gòu)成的集合:

變指標(biāo)Lebesgue空間定義為:

其上的Luxemburg-Nakano范數(shù)為:

定義2[11]變指標(biāo)BMOp(·)(D)空間定義為:

定義3[12]設(shè)D?n,p(·)∈(D).如果存在常數(shù)C>0, 成立

(3)

(4)

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)D?n是一個無界開集，且n-1)(1

(5)

那么對任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得

(6)

定理2設(shè)D?n是一個無界開集，如果非負可測函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足條件

(7)

定理3設(shè)D?n是一個無界開集，且n-1)(1

(8)

那么對任意的f∈Lp(·)(D),存在與f,x0和t無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得

(9)

定理4在定理3的條件下,如果非負可測函數(shù)ω1(r)和ω2(r)滿足

(10)

2 定理的證明

為了證明定理, 我們需要以下引理.

引理1[6]設(shè)D?n是一個無界開集，且則算子TΩ,α是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界的.

引理2[13]設(shè)D?n是一個無界開集，p(x)滿足式(3), 且<∞.那么存在與x和r無關(guān)的常數(shù)C>0, 有

引理3[11]設(shè)D?n是一個無界開集，則范數(shù)‖·‖BMOp(·)(D)與‖·‖*是相互等價的, 其中‖·‖*為經(jīng)典有界平均振蕩空間BMO(D)的范數(shù), 即

則Mb是Lp(·)(n)上有界算子的充分必要條件是b∈BMO(n).

引理5[6]設(shè)b∈BMO(n),D?n是一個無界開集，且則[b,TΩ,α]是從Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界算子, 即

[b,TΩ,α]f‖Lq(·)(D)≤C‖b‖*‖f‖Lp(·)(D).

引理6[15]設(shè)b∈BMO(D), 則

其中,C>0為與b,x,r和t無關(guān)的常數(shù).

則有

由引理1,

因此,

當(dāng)z∈B(x0,h)時，有

因此, 由引理 2 得

綜合上面的估計, 即完成了定理 1 的證明.

利用(7)式, 得到

即定理 2 得證.

有

由引理 5 可知

≤C‖b‖*‖f1‖Lp(·)(D)

因此，

=I1+I2.

先估計I1.由于

=H1+H2.

由引理2得

≤Chθm(x0,h)‖b‖*.

由定理 1 的證明, 有

因此，

結(jié)合H1,H2的估計, 有

最后估計I2.由廣義H?lder不等式得

結(jié)合I1,I2的估計，并利用引理 2 和引理 4, 得

綜合上面的估計, 得

定理3證畢.

因此，利用條件(10)得

因此, 定理4得證.