熊學(xué)輝，楊書(shū)羽，朱春蓮

（1.江漢大學(xué)光電材料與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430056；2.武漢墨光科技有限公司，湖北 武漢 430074）

0 引言

透鏡本質(zhì)是一種可實(shí)現(xiàn)空間相位變換的元件，不僅具有成像功能，還具有空間傅里葉變換功能［1-2］。透鏡的傅里葉變換性質(zhì)使得傅里葉分析方法在光學(xué)信息處理中得到廣泛應(yīng)用。而4f系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)物體準(zhǔn)確的傅里葉頻譜，通過(guò)在該系統(tǒng)中的頻譜面上進(jìn)行有目的的處理可改變物體的像，基本的4f系統(tǒng)進(jìn)行一些特定的改進(jìn)可被廣泛應(yīng)用于光學(xué)檢測(cè)和光學(xué)圖像處理等領(lǐng)域［3-6］。韓亮課題組［3］為將光學(xué)小波變換應(yīng)用于圖像壓縮，分析了光學(xué)4f系統(tǒng)中圖像實(shí)現(xiàn)方式和圖像采集對(duì)圖像空間頻率特性的影響。其研究結(jié)果表明，利用光學(xué)4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)光學(xué)小波變換理論，可以極大地減少小波變換所花的時(shí)間，具有理論和實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)［4］指出，利用4f系統(tǒng)的階躍響應(yīng)對(duì)峰峰信噪比和結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)都有很好的復(fù)原效果，其分別提高了5 dB和6%左右?？旖菘煽康臏y(cè)量技術(shù)一直是非線性光學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一，文獻(xiàn)［5］綜述了利用4f相位相干成像技術(shù)分析測(cè)量材料光學(xué)非線性系數(shù)的原理、方法等。王悅等［6］研究了緊湊型矢量光場(chǎng)發(fā)生器中4f系統(tǒng)在橫向和縱向上的精確對(duì)齊方法，通過(guò)相位圖對(duì)系統(tǒng)中的透射式4f系統(tǒng)和反射式4f系統(tǒng)進(jìn)行縱向?qū)R，以確保生成光場(chǎng)的清晰程度，減小了光場(chǎng)的衍射反應(yīng)，對(duì)于其他含4f系統(tǒng)的光路有借鑒意義。4f系統(tǒng)也一直應(yīng)用于激光散斑干涉系統(tǒng)研究［7-9］中。筆者在基于4f系統(tǒng)的散斑干涉法實(shí)現(xiàn)圖像相減實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)利用4f系統(tǒng)制備的二次曝光散斑全息圖能得到散斑干涉的條紋圖，從而實(shí)現(xiàn)后面的濾波和圖像相減；而利用元件個(gè)數(shù)少、光路簡(jiǎn)單的單透鏡4f成像系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的二次曝光全息散斑圖卻不能得到干涉條紋。基于該實(shí)驗(yàn)，筆者對(duì)這兩個(gè)都能成等大倒立實(shí)像系統(tǒng)的成像差別進(jìn)行了研究，利用標(biāo)量衍射理論詳細(xì)計(jì)算推導(dǎo)了這兩種成像系統(tǒng)像面光場(chǎng)的分布。

1 兩種成像系統(tǒng)比較

光學(xué)信息處理系統(tǒng)中，廣泛使用的標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)可以得到物體準(zhǔn)確的傅里葉頻譜，經(jīng)過(guò)兩個(gè)傅里葉變換透鏡，在第二個(gè)傅里葉變換透鏡的像方焦平面上得到物體等大倒立的實(shí)像。而當(dāng)物體放在單透鏡的2倍物方焦距處時(shí)也能在2倍像方焦距平面上成等大倒立的實(shí)像。標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)（見(jiàn)圖1（a））由兩個(gè)大口徑傅里葉變換透鏡L1和L2組成，物平面（x0，y0）放在第一個(gè)傅里葉變換透鏡L1的物方焦平面，此時(shí)物平面到透鏡L1的距離為f，即第一個(gè)f距離。物方光場(chǎng)經(jīng)傅里葉透鏡L1后，L1的像方焦平面也就是物方光場(chǎng)的頻譜面（x′，y′），透鏡L1到物方頻譜面的距離也為f，即第二個(gè)f距離。該頻譜面距離傅里葉透鏡L2也恰好為焦距距離，為第三個(gè)f距離，物方頻譜經(jīng)過(guò)第二個(gè)透鏡L2的傅里葉變換，在其焦平面處得到物體的像平面，為第四個(gè)f距離。因此，物面和像面的距離為4f。圖1（b）為只含有1個(gè)成像透鏡L的4f系統(tǒng)，當(dāng)物平面（x0，y0）放在透鏡的二倍物方焦距處時(shí)，成像在二倍像方焦距平面（x，y）處，物平面和像平面間的距離也是4f。

在圖1中標(biāo)注了各面的特性和坐標(biāo)符號(hào)，也利用幾何光學(xué)作圖法畫(huà)出了兩種系統(tǒng)光路示意圖。對(duì)于探測(cè)光強(qiáng)的成像光學(xué)系統(tǒng)，這兩種系統(tǒng)所成像的性質(zhì)一樣，都成等大倒立的實(shí)像。但是對(duì)于信息光學(xué)系統(tǒng)，特別是相干光學(xué)系統(tǒng)，需要使用系統(tǒng)的像面光場(chǎng)復(fù)振幅分布特性進(jìn)行分析。本文將從波動(dòng)光學(xué)出發(fā)，利用標(biāo)量衍射理論計(jì)算推導(dǎo)兩種系統(tǒng)的像面光場(chǎng)分布。

圖1 兩種等大倒立實(shí)像系統(tǒng)光路圖Fig.1 Optical path diagrams of two equal size inverted real image systems

2 單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場(chǎng)復(fù)振幅推導(dǎo)

首先根據(jù)標(biāo)量衍射理論，利用光線在相距有限距離遠(yuǎn)的面間傳播時(shí)的菲涅耳衍射模型，推導(dǎo)圖1（b）所示的單透鏡4f成像系統(tǒng)物像光場(chǎng)關(guān)系。設(shè)單位平行光垂直照射到物平面，光波從物平面?zhèn)鞑サ酵哥R前表面，兩面間隔兩倍焦距距離d=2f，可以用菲涅耳衍射模型；由于透鏡元件的相位轉(zhuǎn)換性質(zhì)，透鏡后表面的光場(chǎng)與透鏡前表面的光場(chǎng)并不相同；透鏡后表面到像平面距離也是2f，光波的傳播滿足菲涅耳衍射模型。

具體推導(dǎo)如下：

第一區(qū)間從物面（x0，y0）到透鏡前表面（xl，yl），發(fā)生菲涅耳衍射，z=2f，代入菲涅耳衍射公式，可求得透鏡前表面的光場(chǎng)復(fù)振幅分布

式中，k表示波數(shù)；λ表示波長(zhǎng)；U0(x0,y0)表示物平面光場(chǎng)。

第二區(qū)間從透鏡前表面到透鏡后表面，利用理想透鏡的二次相位變換作用得到透鏡后表面光場(chǎng)

將（1）式求得的透鏡前表面光場(chǎng)Ul(xl,yl)代入（2）式，得透鏡后表面光場(chǎng)

第三區(qū)間從透鏡后表面（xl，yl）到像平面（x，y）也是菲涅耳衍射，于是像面光場(chǎng)

將（3）式代入（4）式得

（5）式體現(xiàn)了物平面光場(chǎng)分布與像面光場(chǎng)的關(guān)系，經(jīng)歷了四重積分，對(duì)（5）式展開(kāi)，并對(duì)兩個(gè)平面上的積分變量（xl，yl）和（x0，y0）分別進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)，不參與積分的項(xiàng)提出積分外，

化簡(jiǎn)式（6）得

將式（7）中

湊成

該項(xiàng)的積分項(xiàng)是常數(shù)1的傅里葉變換，得到脈沖函數(shù)(2fλ)×(2fλ)δ(x0+x,y0+y)，將該積分結(jié)果應(yīng)用到（7）式，得

對(duì)于（8）式，還需對(duì)物平面上（x0，y0）進(jìn)行積分，其中被積函數(shù)二次項(xiàng)對(duì)像面光場(chǎng)有影響的必定只是物面上以幾何成像所對(duì)應(yīng)的物點(diǎn)為中心的微小區(qū)域［1-2］。設(shè)物面像面放大率為M，則在這個(gè)微小區(qū)域（x0，y0）可近似為x0=x/M，y0=y/M，在本例中，放大倍數(shù)為M=-1，代入得

這樣該被積項(xiàng)近似與積分變量無(wú)關(guān)，可以提到積分外，（8）式繼續(xù)化簡(jiǎn)為

對(duì)于（9）式積分項(xiàng)，利用δ函數(shù)的篩選性質(zhì)得到

則（9）式最終可化簡(jiǎn)得到像面光場(chǎng)復(fù)振幅分布關(guān)系式

由（10）式可知，當(dāng)物體放在兩倍焦距時(shí)，像面光場(chǎng)復(fù)振幅U(x,y)中前面的負(fù)號(hào)表示物像放大倍數(shù)為-1，成等大倒立的實(shí)像，有一個(gè)常數(shù)相位因子exp(j4kf)項(xiàng)，以及隨像面不同坐標(biāo)位置（x，y）變化的相位因子，像方光場(chǎng)含有U0(-x,-y)，說(shuō)明在像面的光場(chǎng)與物面光場(chǎng)相似，只是像面的坐標(biāo)系統(tǒng)和物面的坐標(biāo)系統(tǒng)成鏡像。

以上利用標(biāo)量衍射理論中光波傳播的菲涅耳衍射模型詳細(xì)推導(dǎo)出單透鏡4f系統(tǒng)物像光場(chǎng)關(guān)系（10）式，該式充分體現(xiàn)了像方光場(chǎng)與物方光場(chǎng)函數(shù)相似，只是多了相位因子。幾何成像系統(tǒng)探測(cè)的是光強(qiáng)I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對(duì)光強(qiáng)分布沒(méi)有影響。

3 標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)像面光場(chǎng)的復(fù)振幅推導(dǎo)

由于標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)完成兩次傅里葉變換，所以本節(jié)推導(dǎo)可以不利用最基本的菲涅耳衍射模型，不需要逐面利用菲涅耳衍射模型和透鏡的相位變換特性來(lái)推導(dǎo)。很多信息光學(xué)教材［1-2］都推導(dǎo)了當(dāng)平行光束垂直照射物平面，物體放在物方焦平面時(shí)，經(jīng)過(guò)單個(gè)透鏡的傅里葉變換，在該透鏡的像方焦平面上得到物體的準(zhǔn)確頻譜，這一基本傅里葉變換表達(dá)式如公式（11）所示。本節(jié)推導(dǎo)就是按標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)布局的兩個(gè)透鏡實(shí)現(xiàn)兩次傅里葉變換來(lái)展開(kāi)。

在標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)中，物體放在傅里葉透鏡L1的前焦平面，設(shè)物面光場(chǎng)為U0(x0,y0)，則在L1的后焦平面上得到物體的準(zhǔn)確傅里葉變換，即物體的頻譜。頻譜面(x′,y′)上的光場(chǎng)復(fù)振幅數(shù)學(xué)表達(dá)式為

表明物平面信息U0(x0,y0)經(jīng)透鏡L1的傅里葉變換作用得到物體的頻譜信息U′(x′,y′)。而頻譜U′(x′,y′)再經(jīng)傅里葉透鏡L2變換到像平面（x，y）又完成一次傅里葉變換，得到物體的像平面光場(chǎng)分布U(x,y)，即

將（11）式代入（12）式，得到四重積分，

將上述四重積分函數(shù)里被積指數(shù)函數(shù)變形為傅里葉變換的標(biāo)準(zhǔn)核形式

先將x′,y′積分變量湊成形式，積分變?yōu)?/p>

對(duì)被積函數(shù)中含有積分變量x′,y′的項(xiàng)進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)，得

對(duì)于x′,y′積分，上式相當(dāng)于原函數(shù)為1的傅里葉變換，得到δ函數(shù)

利用δ函數(shù)的性質(zhì)得

上面利用傅里葉變換式詳細(xì)推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)像面和物面光場(chǎng)的關(guān)系式（13），前面的負(fù)號(hào)表示物像放大倍數(shù)為-1，即成等大倒立的像；像面的坐標(biāo)系統(tǒng)和物面的坐標(biāo)系統(tǒng)成鏡像，物、像光場(chǎng)只相差一個(gè)常數(shù)相位因子exp(j4kf)。

幾何成像系統(tǒng)探測(cè)的是光強(qiáng)I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對(duì)光強(qiáng)分布沒(méi)有影響。

綜合對(duì)比單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場(chǎng)復(fù)振幅關(guān)系（10）式和標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)像面光場(chǎng)復(fù)振幅關(guān)系（13）式，發(fā)現(xiàn)兩種系統(tǒng)的像面分布僅僅相差一個(gè)相位因子。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用標(biāo)量衍射理論研究了標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)和單透鏡4f系統(tǒng)像面光場(chǎng)復(fù)振幅分布。結(jié)果表明，兩種系統(tǒng)的像面光場(chǎng)都含有因子-exp(j4kf)U0(-x,-y)，但單透鏡4f系統(tǒng)比標(biāo)準(zhǔn)4f系統(tǒng)多了一個(gè)隨像面不同坐標(biāo)位置（x，y）變化的二次相位因子。這兩種成等大倒立實(shí)像系統(tǒng)，用人眼或探測(cè)器去檢測(cè)時(shí)，探測(cè)的是光強(qiáng)，不受像面光場(chǎng)相位因子的影響，所以這兩種成像沒(méi)有差別。但是在更精密的相干信息光學(xué)系統(tǒng)中，如果要用像面光場(chǎng)與另一相干光干涉，那么這時(shí)候的相位因子影響就不能忽略，比如散斑干涉二次曝光全息圖，利用單透鏡成像系統(tǒng)制備的干版不能得到預(yù)期的干涉條紋。通過(guò)本文的分析，不僅有利于指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，還可以加深學(xué)生對(duì)光場(chǎng)復(fù)振幅分布和光強(qiáng)關(guān)系的理解，有助于學(xué)生理解干涉時(shí)相位因子的重要性。