華 耀,沈惠平,李 菊,李 濤,陳炳偉,鄧嘉鳴

（常州大學 現(xiàn)代機構(gòu)學研究中心,江蘇 常州 213164）

0 引 言

由于驅(qū)動元件少、制造方便,兩自由度（DOF）的一平移一轉(zhuǎn)動（1T1R）并聯(lián)機器人機構(gòu)具有較高的實用價值。

目前,國內(nèi)外對2-DOF 1T1R并聯(lián)機構(gòu)的研究較少。陳海等人[1]通過特殊布置驅(qū)動,綜合了各向同性的兩支鏈空間1T1R并聯(lián)機構(gòu),其具有運動完全解耦的特性,但未對其進行過多的運動分析。尹小琴等人[2]通過添加輔助支鏈,得到了一種四支鏈1T1R空間機構(gòu),并對其進行了位置和精度分析;但對其位置的分析只進行了反解模型求解。LI Ju等人[3]采用基于POC的拓撲結(jié)構(gòu)綜合方法,設計了較多的1T1R空間并聯(lián)機構(gòu);但沒有分析該機構(gòu)的特性（例如,是否運動解耦、是否含有輔助支鏈、移動軸線與轉(zhuǎn)動軸線的方位關系,等）。DALLALIBERA F等人[4]設計了含被動支鏈的空間三支鏈1T1R并聯(lián)機構(gòu),其移動軸線與轉(zhuǎn)動軸線不存在平行、垂直等特殊關系,使其運動分析較為困難,且不具有運動解耦特性。吳巍[5]提出了一種四支鏈空間1T1R并聯(lián)機構(gòu),并對其進行了位置分析;但該研究并未對其運動學進行深入研究（如奇異性分析、工作空間分析等）。

因此,還有待于對新型1T1R并聯(lián)機構(gòu)做進一步的深入研究。

動力學研究方法主要有Hamilton正則方程[6]、Kane方法[7]、Lagrange方程[8-10]、Newton-Euler法[11,12]、虛功原理[13-15]等。其中,虛功原理方法能簡潔直觀地建立動力學模型,且冗雜信息較少。

WANG Jie-gao等人[16]基于虛功原理法,對Gough-Stewart機構(gòu)進行了動力學分析,該方法比傳統(tǒng)的Newton-Euler法更具優(yōu)越性。LI Meng等人[17]基于虛功原理法,提出了Tricept和TriVariant機器人的逆動力學公式,并進一步完善了動力學的研究體系。KAlANI H等人[18]基于虛功原理,改進了動力學普遍方程,減少了動力學計算時間,且提高了動力學方程的準確性。劉曉飛等人[19]基于虛功原理,建立了6PUS機構(gòu)的動力學模型,并對該機構(gòu)動力學性能進行了分析,為機構(gòu)的研發(fā)提供了理論基礎。黃凱偉等人[20]運用基于虛功原理的序單開鏈法動力學建模方法,對全由轉(zhuǎn)動副組成的空間兩平移一轉(zhuǎn)動（2T1R）并聯(lián)機構(gòu)進行了動力學建模與求解;該方法以子運動鏈（SKC）為基本單元,因而思路清晰,而傳統(tǒng)的虛功原理無法直接得到機構(gòu)運動副的支反力。

為研發(fā)和推廣應用一平移一轉(zhuǎn)動（1T1R）并聯(lián)機構(gòu),筆者根據(jù)基于方位特征（POC）方程的并聯(lián)機構(gòu)拓撲設計理論,提出一種2-DOF空間1T1R并聯(lián)機構(gòu);同時,對該機構(gòu)進行拓撲、奇異性、工作空間分析;最后,運用基于虛功原理的序單開鏈法建立該機構(gòu)動力學模型,對該機構(gòu)的驅(qū)動力矩以及子運動鏈（SKC）連接處的運動副反力進行求解。

1 機構(gòu)設計及拓撲分析

1.1 機構(gòu)設計

筆者設計的2-DOF平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)（1T1RPM）,它由一條混合支鏈I和一條約束支鏈II并聯(lián)地連接于動平臺1、靜平臺0之間組成[21],如圖1所示。

混合支鏈Ⅰ中的子鏈一（R11‖R12‖R13）與子鏈二（R21‖R22‖R23）,并聯(lián)連接為一個空間子并聯(lián)機構(gòu)（記為:3R-3R機構(gòu)）,其靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副R11的軸線經(jīng)過子鏈二的運動平面,且R11⊥R21;再在空間子并聯(lián)機構(gòu)輸出桿2的垂直桿上用轉(zhuǎn)動副R4與動平臺1的一端連接,即轉(zhuǎn)動副R4軸線的方向,同時垂直靜平面0及轉(zhuǎn)動副R13的軸線。

約束支鏈Ⅱ包含一個由4個轉(zhuǎn)動副組成的平行四邊形（Ra1Rb1Rc1Rd1）,記作pa,其一條短邊上串聯(lián)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動副R32與R31,轉(zhuǎn)動副R31又與靜平臺0連接;另一條短邊上串聯(lián)軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動副R33與R34,R34連接動平臺1的另一端。

靜平臺0上三個轉(zhuǎn)動副的關系是:R11⊥R21‖R31,動平臺1上兩個轉(zhuǎn)動副的關系是:R4‖R34。

1.2 機構(gòu)拓撲分析

1.2.1 機構(gòu)的POC集計算

（1）POC集的計算公式[22]59-60

串、并聯(lián)機構(gòu)POC方程分別為:

（1）

（2）

式中:MJi—第i個運動副的POC集;Mbi—第i條支鏈末端POC集;MPa—機構(gòu)動平臺的POC集。

（2）機構(gòu)POC集的計算

①兩條支鏈的拓撲結(jié)構(gòu)分別為:

bⅠ:（R11‖R12‖R13⊥R23‖R22‖R21-R4;

bⅡ:R31‖R32（-Pa）‖R33⊥R34。

②支鏈末端的POC集

筆者取基點為轉(zhuǎn)動副R4軸線上一點,則兩支鏈末端構(gòu)件POC集由式（1,2）分別為:

Mb=

Mb=

③動平臺的POC集由式（2）得:

Mpa=MbMb=

因此,動平臺1具有沿平行于R4軸線方向的一維平移,以及繞R4軸線一維轉(zhuǎn)動的輸出特性。

1.2.2 機構(gòu)的自由度

（1）并聯(lián)機構(gòu)的全周DOF公式[22]77為:

（3）

（4）

（2）機構(gòu)的DOF確定

①第1回路（第1子并聯(lián)機構(gòu)）為混合支鏈Ⅰ中的3R-3R回路,其ξL1由式（3）得:

②第2回路（第2子并聯(lián)機構(gòu),即本機構(gòu)）由第1子并聯(lián)機構(gòu)、轉(zhuǎn)動副R4與約束支鏈Ⅱ構(gòu)成,其ξL2由式（3）得:

ζL2=

故當取靜平臺0上2個轉(zhuǎn)動副,例R11（或R21）、R31為驅(qū)動副時,動平臺1可產(chǎn)生沿平行于R4軸線方向的一平移以及繞轉(zhuǎn)動副R4方向的一轉(zhuǎn)動。

1.2.3 機構(gòu)耦合度

（1）耦合度計算公式[22]109

由基于單序開鏈（SOC）的機構(gòu)組成原理知,任一機構(gòu)可分解為約束度為正、零、負的三種有序單開鏈（SOC）,第j個SOCj的約束度定義為:

（5）

式中:mj—第j個SOCj的運動副數(shù);Ij—第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù)。

因此,一組有序的v個SOC可組成1個獨立回路數(shù)為v的子運動鏈SKC[23]44-45,SKC耦合度為:

（6）

（2）機構(gòu)的耦合度確定

因此,兩個SKC可分別求得符號式位置正解。

2 機構(gòu)位置分析

2.1 坐標系建立及參數(shù)標注

機構(gòu)的運動學建模如圖2所示。

筆者設長方形靜平臺0的短長邊分別為AD=2a,AT=2b,J為TR中點;設動平臺1的長HM=2c,點P為HM的中點;同時設AB=BC=l1,DE=EF=l2,CF=AD=2a,GH=l3,JK=l4,KL=l5,LM=l6,QN=2d;

設靜坐標系O-XYZ原點為靜平臺短邊AD的中點o,X軸沿OD方向為正,Y軸沿OJ連線方向為正;H點為動坐標系o-xyz原點,x軸與靜坐標系X軸平行且方向一致,y軸與靜坐標系Y軸平行且方向一致（其中,Z、z軸由螺旋法則確定）;

設動平臺1繞動坐標系z軸正方向逆時針轉(zhuǎn)動的輸出角度為α;2個驅(qū)動副R11、R31輸入角度分別為θ1、θ2。其中,θ1為AB與Y軸正向之間的夾角,θ2為JK與X軸正向之間的夾角。

2.2 機構(gòu)位置正解求解

該機構(gòu)位置正解的求解,可轉(zhuǎn)換為兩個SKC內(nèi)回路位置的求解[23]64-67,即:已知2個輸入轉(zhuǎn)動副分別為θ1、θ2,求動平臺的位置z及轉(zhuǎn)角α。

2.2.1SKC1位置求解

第1回路（A-B-C-F-E-D）上各點坐標為:

A=（-a,0,0）;D=（a,0,0）;B=（-a,l1cosθ1,l1sinθ1）,

C=（-a,0,z-l3）;G=（0,0,2l1sinθ1）。

由幾何約束BC=l1建立位置方程,并解得:

z=2l1sinθ1+l3

（7）

2.2.2SKC2位置求解

第2回路（H-M-L-N-K-Q-J）上各點坐標為:

J=（0,2b,0）;H=（0,0,z）;

P=（csinα,ccosα,2l1sinθ1+l3）;

M=（2csinα,2ccosα,z）;

L=（2csinα,2ccosα,z-l6）;

K=（l4cosθ2,2b,l4sinθ2）。

由幾何約束KL=l5建立位置方程,并解得:

（8）

由式（7,8）可知:z有一個解,而α有兩個解,故正解有兩組數(shù)值。

2.3 機構(gòu)位置反解求解

機構(gòu)位置逆解為:已知動平臺1的位置z及轉(zhuǎn)角α,求θ1、θ2。

由式（7）得:

（9）

由式（8）得:

（10）

其中:R=2l4（z-l6）;S=2l4（2ccosα-2b）;T=4c2+4b2-l52+l42-8bccosα+（z-l6）2。

由式（9,10）可知:θ1有1個解,而θ2有2個解,故該機構(gòu)反解求解時有2種構(gòu)型。

2.4 正逆解驗算

設機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為:a=30 mm,b=50 mm,c=40 mm,d=20 mm,l1=50 mm,l2=60 mm,l3=5 mm,l4=60 mm,l5=45 mm,l6=15 mm;設驅(qū)動副輸入角為:θ1=45.367 0°、θ2=66.619 1°。

筆者用MATLAB算出機構(gòu)正解,如表1所示。

表1 機構(gòu)位置正解

筆者將表1中的No.1位置正解數(shù)值代入式（9,10）,用MATLAB求解得機構(gòu)反解,如表2所示。

表2 機構(gòu)位置反解數(shù)值

由此可見,表2中No.1*的逆解數(shù)值,與正解計算給定的值一致。

3 機構(gòu)奇異性分析

避免機構(gòu)的奇異位形是保證機構(gòu)正常工作的基本要求之一,筆者采用Jacobian法分析該機構(gòu)的奇異位形[24]375-376。

JPv=Jqω

（11）

f11=2（ZC-ZB）;f12=0;f21=2（ZL-ZK）;

f22=4ccosα（XL-XK）-4csinα（YL-YK）;

g11=2l1cosθ1（l3-z）;

g22=2l4sinθ2（XL-XK）-2l4cosθ2（ZL-ZK）。

根據(jù)JP、Jq矩陣是否奇異,機構(gòu)的奇異位形可以分為如下3類:

（1）當det（Jq）=0時,會發(fā)生輸入奇異,有兩種情況:

①當θ1=90°即BA垂直于靜平臺0時,機構(gòu)存在奇異位置,如圖3所示。

②當θ2=0°或者180°時,驅(qū)動桿2達不到該位置,所以該奇異位置不存在。

（2）當det（Jp）=0時,會發(fā)生輸出奇異,也有兩種情況:

①B、C點的Z軸坐標相等時,即BC∥DO,由于桿件之間干涉達不到該位置,因此,該奇異位置不存在;

②K、L點的Y軸坐標相等時,即滿足KL∥DO時,機構(gòu)存在奇異位置,如圖4所示。

（3）det（JP）=det（Jq）=0不存在,即該機構(gòu)不存在綜合奇異位置。

4 位置正解工作空間分析

并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間是研究并聯(lián)機構(gòu)工作性能的一個重要指標。相比基于位置反解公式計算空間,基于位置正解公式計算具有計算量小、計算過程快等優(yōu)點[24]376-377,故筆者采用基于機構(gòu)位置正解公式計算工作空間,即預先估計設定驅(qū)動副范圍,通過搜索所有滿足約束條件的點,由這些點組成的三維圖,即為該機構(gòu)的工作空間。

設兩個驅(qū)動副輸入范圍分別為:1/4π≤θ1≤3/4π、0≤θ2≤3/4π,根據(jù)式（7,8）,通過MATLAB計算（耗時848.6 s）,可得到該機構(gòu)動平臺1中點p的工作空間,如圖5所示。

采用式（9,10）的反解公式計算工作空間耗時1 225.2 s。由此可見,相比基于位置反解計算工作空間,基于符號式位置正解計算的效率提高了30.7%。

5 機構(gòu)的速度與加速度分析

5.1 動平臺的速度和加速度

當機構(gòu)不存在奇異位置時,Jp可逆,由式（11）得動平臺原點的輸出速度為:

（12）

為便于后續(xù)計算,筆者將動平臺的速度矩陣分解為移動矩陣和轉(zhuǎn)動矩陣,即:

Z=[0 0z]和α=[0 0α]。

由此,移動矩陣和轉(zhuǎn)動矩陣與原矩陣的關系可表示為:Z=G1v,α=G2v。

這樣,動平臺的移動和轉(zhuǎn)動速度矩陣可表示為:

Z=G1Jω=J1ω,α=G2Jω=J2ω

（13）

然后,筆者將式（11）對時間t求導,得到動平臺o′點加速度與輸入加速度之間的映射關系為:

（14）

其中:k=[k1k2]T,k1和k2分別為:

（15）

（16）

5.2 桿件的速度與加速度

筆者擬求出機構(gòu)各桿件的速度與加速度。

5.2.1 桿件AB的速度與加速度

B點的速度為:

vB=vA+ωAB×（l1cAB）

（17）

式中:vA=0,ωAB—驅(qū)動桿AB的角速度;cAB—桿件的單位矢量。

筆者對式（17）進行求導,得B點加速度為:

aB=aA+l1εAB×cAB+l1ωAB×（ωAB×cAB）

（18）

式中:aA=0,εAB—驅(qū)動桿AB的角加速度。

于是,桿件AB質(zhì)心的速度/加速度分別為:

（19）

5.2.2 桿件BC的速度與加速度

vC=vB+ωBC×（l1cBC）

（20）

對式（18）兩邊叉乘cBC,得BC的角速度為:

（21）

將式（20）兩邊對時間t求導,可得:

aC=aB+l1εBC×cBC+l1ωBC×（ωBC×cBC）

（22）

對式（22）兩邊叉乘cBC,得桿件BC角加速度為:

（23）

由式（20,22）得,桿件BC質(zhì)心的速度、加速度為:

（24）

5.2.3 其余構(gòu)件的速度與加速度

其余構(gòu)件的速度與加速度的求法類似,故此處不再贅述,直接給出結(jié)果。

桿件DE質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（25）

vE=vD+ωDE×（l2cDE）

（26）

aE=aD+l2εDE×cDE+l2ωDE×（ωDE×cDE）

（27）

式中:cDE,ωDE,εDE—分別為相應構(gòu)件的單位矢量、角速度和角加速度。

桿件EF質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（28）

（29）

式中:vF，aF—點F的已知速度和加速度。

桿件JK質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（30）

vK=vJ+ωJK×（l4cJK）

（31）

aK=aJ+l4εJK×cJK+l4ωJK×（ωJK×cJK）

（32）

式中:cJK,ωJK,εJK—相應構(gòu)件的單位矢量、角速度和角加速度。

桿件KL質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（33）

（34）

式中:vL，aL—點L的已知速度和加速度。

桿件ML質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（35）

（36）

式中:vM，aM—點M的已知速度和加速度。

桿件HM質(zhì)心的速度與加速度分別為:

（37）

（38）

式中:vH，aH—點H的已知速度和加速度。

5.3 算例與仿真

筆者給定兩個驅(qū)動副的運動規(guī)律分別為:θ1=pi/18*t+69×pi/180,θ2=pi/10*t+45*pi/180。

根據(jù)式（12,14）,筆者用MATLAB編程得到動平臺基點的速度曲線,如圖6所示。

動平臺的位姿加速度曲線如圖7所示。

由圖7可知:

（1）在0～5 s內(nèi),動平臺o點的線速度隨時間變化成線性下降;

（2）在0～0.2 s內(nèi),動平臺的角速度急速上升;在0.2 s～5 s內(nèi),動平臺的角速度趨于平緩上升。

從以上兩點可知,該機構(gòu)運行穩(wěn)定性較好。

筆者進一步將機構(gòu)導入ADAMS軟件,對其進行了仿真分析,結(jié)果表明理論值與仿真值一致,因此驗證了上述運動學模型的正確性。

6 機構(gòu)的動力學分析

6.1 序單開鏈法

筆者擬采用基于虛功原理的序單開鏈法,對1T1R機構(gòu)進行動力學建模分析。

設驅(qū)動桿的輸入角定義為廣義坐標q=（θ1,θ2）T,所對應的廣義虛位移為δq=（δθ1,δθ2）T。

對自由度為f、廣義速度為qf=[q1q2…qf]T的機械系統(tǒng),筆者按照拓撲結(jié)構(gòu)分解路線,將其分成若干個SKC,而SKC又可分解為若干個SOC（Δj-）、SOC（Δj0）、SOC（Δj+）;被解除約束處的運動副支反力,轉(zhuǎn)化為新系統(tǒng)上的力;最后,通過虛功原理,建立動力學分析方程,求解出相應的驅(qū)動力（矩）。

6.2 受力分析

桿件質(zhì)心上的力有重力和慣性力,而力矩僅存在慣性力矩。

對于動平臺,作用在質(zhì)心上的力和力矩分別為:

FP1=f+mp1g-mp1X
MP1=Γ-OIP1α-α×（OIp1α）

（39）

對于各支鏈,假設重力是唯一的外力,則作用在各構(gòu)件上的力和力矩分別為:

（40）

式中:OIP—在靜坐標系{o}中各桿件質(zhì)心處的慣量矩陣。

6.3 動力學方程的生成

（1）對于SKC2,解除運動副H和J處的約束,于是,支反力FH和FJ轉(zhuǎn)化為未知外力,由虛功原理有:

（41）

（2）對于SKC1,由虛功原理有:

（42）

最終,由式（41,42）可求得機構(gòu)的驅(qū)動力矩M1、M2,以及運動副H處的支反力FH。

6.4 數(shù)值仿真算例

根據(jù)各構(gòu)件的尺寸參數(shù),筆者選取各桿件質(zhì)量分別為:mAB=6.739 g,mDE=7.839 g,mEF=7.839 g,mCF=8.844 g,mJK=7.752 g,mKL=7.337 g,mAB=6.739 g,mLM=1.945 g;動平臺的質(zhì)量為:42.734 g。

筆者僅考慮動平臺上的垂直向下載荷,即f=0,τ=0;采用與5.3節(jié)相同的運動規(guī)律,通過MATLAB編程計算,得到那驅(qū)動力矩M關于時間t的曲線,如圖8所示。

運動副H處的支反力,如圖9所示。

從圖（8,9）可知:

（1）驅(qū)動力矩1上升平穩(wěn),驅(qū)動力矩2在0～0.2 s內(nèi)先是平穩(wěn)上升,在0.2 s～5 s內(nèi)平穩(wěn)下降;

（2）H點處,支反力X、Y、Z分量變化都比較平穩(wěn),即X和Y方向支反力在0～0.2 s內(nèi)從負值上升到0,在0.2 s～5 s內(nèi)沒有變化,而Z方向支反力在0～0.2 s內(nèi)下降,在0.2 s～5 s沒有變化。

筆者將虛擬Solid works模型導入到Adams中進行動力學仿真,添加機構(gòu)運動副的約束和重力,仿真時間為5 s,則得到驅(qū)動力矩仿真曲線和H點支反力仿真曲線分別與圖（8,9）的一致,這表明動力學建模的正確性[25]。

6.5 與傳統(tǒng)虛功原理建模方法的比較

由傳統(tǒng)虛功原理可知[26]:

（43）

其中:各參數(shù)的意義與6.1節(jié)中一致,且MT=[M1,M2]T。

進一步,化簡式（43）可得:

（44）

由于式（44）對任意的δq都成立,可得到機構(gòu)的動力學逆解方程為:

（45）

由式（45）得到的結(jié)果,與圖8所示一致。

分析式（43～45）可以發(fā)現(xiàn):傳統(tǒng)的虛功原理建模方法采用的是整體建模思路,不區(qū)分建模的先后順序,方程中沒有體現(xiàn)求解有關支反力這一要素。

7 結(jié)束語

筆者提出了一種新型1T1R并聯(lián)機構(gòu),先對其進行了拓撲分析,然后對其進行了運動學分析（包括:位置正反解求解、奇異位置分析、工作空間和桿件的速度與加速度分析）,最后進行動力學性能分析,求得了該機構(gòu)的驅(qū)動力矩和子運動鏈連接處的運動副支反力。

研究結(jié)果表明:

（1）全鉸一平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)具有制造簡單、符號式位置正解,且運動解耦等優(yōu)勢;

（2）根據(jù)基于拓撲特征的運動學建模方法,求解了機構(gòu)的符號式位置正反解;

（3）基于Jacobian法分析機構(gòu)的奇異位形,可以避免機構(gòu)在初始狀態(tài)下處于奇異位置,導致機構(gòu)運行卡死或損壞;

（4）基于符號式位置正解與基于位置反解計算的工作空間分別耗時848.6 s、1 225.2 s,計算效率提高了30.7%?？梢?基于符號式位置正解計算工作空間可大大減少計算量;

（5）該機構(gòu)動平臺的線速度和角速度變化平緩;又其驅(qū)動力矩和運動副H處的支反力變化平穩(wěn),因此,機構(gòu)具有良好的動態(tài)性能;

（6）與傳統(tǒng)虛功原理建模方法相比,基于虛功原理的序單開鏈法同時具有Newton-Euler法和Lagrange法的優(yōu)點,即不僅能求解驅(qū)動力矩,而且能求出子運動鏈連接處運動副處的支反力。

由于該機構(gòu)的設計分析尚未考慮運動副摩擦等因素對動力學模型的影響,在后續(xù)的研究中,筆者將分析該因素對實際機器工作精度的影響,以提高機器的動力學性能;同時,將對該機構(gòu)進行機械結(jié)構(gòu)設計,以研發(fā)出相應的樣機。