王穎

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），意為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識，由數(shù)學(xué)學(xué)科知識（MK）、一般教學(xué)法知識（PK）、學(xué)生學(xué)習(xí)知識（CK）三者相互融合而成，是衡量數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的核心指標，亦為影響數(shù)學(xué)教與學(xué)的關(guān)鍵因素。幾何直觀主要是指學(xué)生運用圖表描述和分析問題的意識和習(xí)慣，它不僅是一種意識，也是一種技能，更是一種思維方式。本文基于MPCK理論，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與思考，探索幾何直觀培養(yǎng)路徑，通過對教師專業(yè)素養(yǎng)的提升與教學(xué)過程的優(yōu)化實現(xiàn)學(xué)生幾何直觀的發(fā)展。

一、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，激活幾何直觀意識

MK主要是指教師具備的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識。為提高MK水平，教師要研讀數(shù)學(xué)教材，準確把握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)。具備較強MK水平的教師，在教學(xué)中能主動借助幾何直觀把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)換成形象的具體知識，讓學(xué)生感受到運用圖表描述和分析問題的意義與價值，愿意動手實踐，有效激活學(xué)生的幾何直觀意識。

例如，教學(xué)“倍的認識”單元（人教版，下同），由于倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，學(xué)生不易理解。教學(xué)本單元時，教師應(yīng)注重幾何直觀的作用，通過多種直觀形式幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。一方面，在本單元倍的概念建立過程中，教師注重將所比較的事物的數(shù)量關(guān)系直觀化。學(xué)生通過活動情境，把蘿卜每兩根為一組圈出來，并對蘿卜的圈圖進行比較，直觀形象地展示出兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，溝通抽象的新知識“倍”與自己熟悉的“幾個幾”之間的聯(lián)系，建立起倍的直觀模型，從而深刻理解倍的本質(zhì)，即一個量里包含了幾個另一個量就是它的幾倍。另一方面，在本單元解決問題（求一個數(shù)的幾倍是多少）教學(xué)中，為了讓學(xué)生明確“求一個數(shù)的幾倍是多少，就是求幾個幾是多少”，教師注重啟發(fā)學(xué)生借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，可以從畫形象的實物圖出發(fā)，再慢慢過渡到畫線段圖。當然，對于第一次接觸線段圖的低年級學(xué)生來說，教師需要加強方法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)會用線段的長度來表示數(shù)量，并且能夠表示出兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生在理解基本數(shù)量關(guān)系的同時，感受幾何直觀的作用，借助圖形分析和思考的意識得以激活。

從MK角度分析，教師能夠靈活調(diào)用自身儲備的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，準確把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，并借助幾何直觀手段引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生自主運用圖表分析和解決數(shù)學(xué)問題，促進學(xué)生幾何直觀意識的養(yǎng)成。

二、構(gòu)建教學(xué)策略，提升幾何直觀技能

PK主要是指教師具備的關(guān)于教學(xué)策略的知識。擁有不同PK水平的教師在教學(xué)策略方面的知識儲備量有所不同，面對同樣的數(shù)學(xué)知識就會有不同的教學(xué)設(shè)計，從而形成不同的教學(xué)效果。教學(xué)中教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標靈活、恰當?shù)貥?gòu)建教學(xué)策略，并在運用教學(xué)策略的過程中助力學(xué)生養(yǎng)成運用圖表描述和分析問題的技能。

例如，教學(xué)“植樹問題”時，為了讓學(xué)生形成深刻的植樹問題模型，教學(xué)中教師巧妙采用建模、固模、用模、拓模等教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生不斷借助線段圖描述和分析植樹問題，積累活動經(jīng)驗，逐步深化對植樹問題認識的同時，實現(xiàn)對學(xué)生幾何直觀技能的提升。在建模中，對于相同的總長、相同的間隔長、相同的間隔數(shù)，不同的植樹情況（兩端都栽、兩端不栽、只栽一端）得到不同的植樹棵數(shù)。通過觀察線段圖，學(xué)生能夠清晰地看到：植樹棵數(shù)不同的主要原因在于兩端的植樹情況不同。教師進一步引導(dǎo)學(xué)生自己畫出線段圖并分析三種植樹情況中間隔數(shù)與棵數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。線段圖的呈現(xiàn)有效地幫助學(xué)生建立植樹問題模型并積累幾何直觀經(jīng)驗。在固模中，教師出示不同情況的植樹棵數(shù)，學(xué)生根據(jù)植樹情況和棵數(shù)快速找到所對應(yīng)的間隔數(shù)。當學(xué)生判斷出現(xiàn)混淆時，自己能借助線段圖重新找尋對應(yīng)關(guān)系。有些學(xué)生甚至能夠借助線段圖小結(jié)三種植樹情況的結(jié)構(gòu)化關(guān)系：只栽一端間相等、兩端都栽間減1、兩端不栽間加1，從而實現(xiàn)鞏固模型的效果。在用模中，學(xué)生運用模型尋找生活中各種各樣的“樹”，包括看得見的“真的樹”（如路旁植樹問題）、看得見的“假的樹”（如鋸木頭問題）、不容易看見卻能“想象的樹”（如公交車站點問題）、看不見卻能“聽得見的樹”（如鐘聲問題）等，每一種生活中形象的“樹”，學(xué)生都能借助線段圖呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)中抽象的“樹”，層層推進，實現(xiàn)模型的靈活運用。在拓模中，教師出示圓形池塘邊植樹問題，引發(fā)學(xué)生思考封閉曲線上植樹問題的棵數(shù)和間隔數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生通過化曲為直，再次借助線段圖分析，實現(xiàn)由直邊植樹模型向閉環(huán)植樹模型拓展。

從PK的角度分析，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師選擇適當?shù)慕虒W(xué)策略實施教學(xué)，借助教學(xué)策略適時地對學(xué)生進行針對性引導(dǎo)，有效地將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，促進學(xué)生幾何直觀活動經(jīng)驗的積累，提升學(xué)生的幾何直觀技能。

三、探明學(xué)習(xí)思路，發(fā)展幾何直觀思維

CK主要是指教師具備的關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識，包括對學(xué)生學(xué)習(xí)困難及學(xué)習(xí)思路的認識。擁有較高CK水平的教師能夠準確辨別學(xué)生感到困難的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并借助幾何直觀實現(xiàn)思維外顯，明晰思維路徑，化解學(xué)習(xí)難點，促使學(xué)生主動從直觀層面展開思考，進而形成良好的幾何直觀思維。

例如，教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”一課，在解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…的求和問題中，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即第一個加數(shù)是1/2，后面每個加數(shù)是前一個加數(shù)的1/2，并計算發(fā)現(xiàn)算式和的規(guī)律，即和為1減去最后一個加數(shù)，且隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近于1。但這個無限接近于1的數(shù)的具體值是多少？這是一個極其抽象的極限問題，學(xué)生很難理解其結(jié)果就是1。此時教師出示一個正方形，學(xué)生根據(jù)分數(shù)的意義，用陰影在正方形上有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當這個過程無止境地持續(xù)下去時，陰影部分就會把整個正方形占滿。用畫圖的方式來表示計算的過程和結(jié)果，且正方形易于分割觀察，學(xué)生直觀地看到這些數(shù)相加之和為1。此時，學(xué)生在理解上可能還存在困難，教師還可以借助圖形進行反推，幫助學(xué)生直觀地理解：1=1/2+1/2=1/4+1/4+=1/2+1/4+1/8+1/8=…在整個教學(xué)過程中，教師借助圖形為學(xué)生解決問題提供探索和思考的路徑，學(xué)生在體會推理和極限思想的同時，充分感受到利用圖形探索解決問題思路的重要性，助力自身幾何直觀思維的發(fā)展。

從 CK的角度分析，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有全面深入地探明學(xué)生的具體學(xué)情，才能關(guān)注到學(xué)生的個體差異，預(yù)測學(xué)生可能會遇到的困難，并根據(jù)學(xué)生的認知盲點巧借圖表來解決，引發(fā)學(xué)生借助幾何直觀進行有理有據(jù)地思考。

（作者單位：福建省廈門市集美區(qū)教師進修學(xué)校 福建省廈門市集美區(qū)內(nèi)林小學(xué) ）