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        2022年北京卷20題第(3)問的多解探究與推廣

        2022-10-23 07:17:18李錦旭
        高中數(shù)理化 2022年17期
        關(guān)鍵詞:思路方法

        李錦旭

        (北京市育英學(xué)校)

        題目 (2022年北京卷20)已知函數(shù)

        (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

        (2)設(shè)g(x)=f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

        (3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有

        2022年,北京使用新教材的第一屆學(xué)生參加高考,命題體現(xiàn)了諸多與以往不同的新變化,本題第(3)小題新穎有趣,是這種新變化的典型,這里嘗試給出幾種解答并予以推廣.

        思路1 著眼于多變量,采用將雙變量分主次的策略.

        由于此不等式涉及雙變量(s,t),選擇其中一個為主變量(另一個為參變量)構(gòu)造輔助函數(shù)如下.

        方法2 (抽象函數(shù)分析法)將s視為主變量,t為參變量,則可構(gòu)造關(guān)于s為自變量的抽象函數(shù),即

        按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,有

        h′(s)=f′(s+t)-f′(s)=g(s+t)-g(t),

        再利用第(2)問的結(jié)論:g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增可得h′(s)>0,故f(s+t)-f(s)-f(t)>0,即對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

        思路2 先放縮后構(gòu)造輔助函數(shù).

        方法3 方法1中的式①看上去較為復(fù)雜,那么能否通過化簡、放縮等手段優(yōu)化解題過程呢? 我們知道ex>1+x(x>0)(證明過程略),于是要證明式①,只需要先證明加強(qiáng)不等式

        所以r(s)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,有

        即es+tln(1+s+t)>esln(1+s)+etln(1+t),即

        其實(shí),我們還可以用如下放縮的結(jié)論迅速得到

        思路3 著眼于研究函數(shù)特征,從幾何意義視角尋求突破.

        方法4 (拉格朗日中值定理)由(2)知g(x)=f′(x),g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,可知函數(shù)f(x)=exln(1+x)的圖像是向下凸的,基本形狀如圖1所示.

        圖1

        不妨設(shè)s≥t>0,則函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的任意閉區(qū)間上連續(xù),相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且端點(diǎn)值不相等,即滿足拉格朗日中值定理的條件,故由拉格朗日中值定理可得

        故F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

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