趙芳玲

(甘肅省定西市安定區(qū)交通路中學)

2020年起,教育部在部分“雙一流高校”開展基礎學科招生改革試點工作,也稱為強基計劃,不再組織高校開展自主招生工作.強基計劃的功能在于選拔人才,因此對思維能力有一定的要求,從試題中也不難發(fā)現這一特點.本文以2021年武漢大學強基計劃試題為例,對強基計劃試題考向進行分析,希望能給讀者帶來備考啟示.

1 落實核心素養(yǎng),強化數學思維

圖1

通過所繪制的函數圖像能夠較好地落實學生的數學抽象素養(yǎng),本題看似一個問題,其實質上從4個角度對函數的極值進行了考查.

2 靈活與發(fā)散性思維并存,兼顧知識的廣闊性

圖2

直線與橢圓的位置關系一直是高考試題中的常考內容,但本題改變了以往的考查形式,考查了兩條直線與橢圓的相交問題,對學生的思維能力進行了充分檢測.

3 以高等數學為背景,覆蓋全面

例3 (第13題)設復數z的實部和虛部都是整數,則( ).

A.z2-z的實部能被2整除

B.z3-z的實部能被3整除

C.z4-z的實部能被4整除

D.z5-z的實部能被5整除

因為z2-z＝a2-a-b2＋(2ab-b)i＝a(a-1)-b2＋(2ab-b)i,a(a-1)可以被2整除,當b為奇數時,a(a-1)-b2不能被2整除,故A 錯誤.

因為z3-z＝a3-a-3ab2＋(3a2b-b3-b)i,由費馬小定理得a3-a能被3整除,故B正確.

z4-z的實部為a4-6a2b2＋b4-a,當a,b為奇數時a4-6a2b2＋b4-a也為奇數,故不能被4整除,故C錯誤.

z5-z的實部為a5-a-10a3b2＋5ab4,由費馬小定理得a5-a能被5 整除,故a5-a-10a3b2＋5ab4能被5整除,故D 正確.

綜上,選BD.

強基計劃試題的命題人大多是高校教師,因此部分試題會結合大學知識進行考查,本題中的整除概念就來自于高等代數的內容,費馬小定理也是大學所學習的數學知識.

4 源于高考真題,變式深化題源

對于B,因為f(x＋2π)＝sin(x＋2π)sin2(x＋2π)＝sinxsin2x＝f(x),所以f(x)＝sinxsin2x是以2π為周期的周期函數,函數圖像如圖3所示.

圖3

方程f(x)＝a在[0,2π)內解的個數為偶數,故B正確.

對于C,因為f(x)＝sinxsin 2x,所以f(π＋x)＝sin(π＋x)sin2(π＋x)＝-sinxsin2x,f(π-x)＝sin(π-x)sin2(π-x)＝-sinxsin2x,

所以f(π-x)＝f(π＋x),則x＝π為f(x)的一條對稱軸,故C正確.

對于D,因為f(x)＝sinxsin2x,所以

綜上,選A.

本題主要考查了三元均值不等式、函數的周期性與對稱性,該題所給出的函數f(x)與2018年新課標全國Ⅰ卷理科第16 題中所給的函數f(x)＝2sinx＋sin2x相似,僅把式子中的加號變?yōu)榱顺颂?去掉了常數2.