李忠華，宋 哲

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

0 引 言

沖擊地壓是地下采動(dòng)過(guò)程中煤巖系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)導(dǎo)致的巖石動(dòng)力災(zāi)害，沖擊地壓影響范圍較廣且危害程度高，因此研究沖擊地壓的產(chǎn)生機(jī)理是重中之重。對(duì)于沖擊地壓機(jī)理的研究有經(jīng)典的剛度理論、強(qiáng)度理論、能量理論、變形系統(tǒng)失穩(wěn)理論、突變理論和擾動(dòng)響應(yīng)失穩(wěn)理論等[1]，但諸多理論對(duì)于沖擊地壓的分析大部分是從準(zhǔn)靜態(tài)的角度分析煤巖體的能量或應(yīng)力場(chǎng)的變化；潘俊鋒等[2]認(rèn)為沖擊地壓是巖石系統(tǒng)的靜態(tài)孕育在動(dòng)載擾動(dòng)下誘發(fā)的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象；沖擊地壓是煤巖系統(tǒng)在準(zhǔn)靜態(tài)下積累能量，滿(mǎn)足失穩(wěn)判據(jù)達(dá)到臨界狀態(tài)后在動(dòng)載擾動(dòng)下產(chǎn)生動(dòng)力失穩(wěn)造成沖擊，因此從準(zhǔn)靜態(tài)系統(tǒng)的角度分析沖擊地壓并不能較好體現(xiàn)沖擊地壓產(chǎn)生時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力特性。

榮海等[3]認(rèn)為沖擊地壓是時(shí)空的統(tǒng)一并提出了煤巖動(dòng)力系統(tǒng)失穩(wěn)的概念，揭示了該系統(tǒng)空間結(jié)構(gòu)與沖擊地壓顯現(xiàn)的關(guān)系，從能量角度解釋了沖擊地壓的動(dòng)力失穩(wěn)，但并未充分體現(xiàn)時(shí)間變化下各子系統(tǒng)間的聯(lián)系；王來(lái)貴等[4]指出準(zhǔn)靜態(tài)平衡力學(xué)系統(tǒng)是巖石力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)特例或分支，由此進(jìn)一步提出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的概念，認(rèn)為巖石系統(tǒng)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，但運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性并未分析動(dòng)力系統(tǒng)中的慣性部分變化對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)的影響。時(shí)變力學(xué)方面，曹志遠(yuǎn)等[5]給出了黏彈性時(shí)變體損傷力學(xué)的基本方程，并對(duì)時(shí)變效應(yīng)進(jìn)行了定量分析；王華寧等[6]在分析地下巖石動(dòng)態(tài)施工過(guò)程中的應(yīng)力及位移變化時(shí)，認(rèn)為巖石的黏性時(shí)效和外界擾動(dòng)耦合作用引起應(yīng)力和位移變化。馬占國(guó)等[7]通過(guò)RFPA模擬出基于單元弱化原理的開(kāi)采推進(jìn)過(guò)程中產(chǎn)生的覆巖失穩(wěn)破壞;王斌[8]通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理推出巖石系統(tǒng)與外界質(zhì)量交換時(shí)時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，但僅僅考慮了質(zhì)量這一單一控制變量對(duì)系統(tǒng)的影響，并未對(duì)煤巖系統(tǒng)進(jìn)行具體辨識(shí)。

綜上所述，傳統(tǒng)研究的不足主要在于準(zhǔn)靜態(tài)分析不能體現(xiàn)沖擊地壓的動(dòng)力特性，涉及動(dòng)力系統(tǒng)的研究大都忽略了時(shí)空演化過(guò)程中煤巖系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化；涉及時(shí)變力學(xué)的研究大都僅考慮了某種特定的時(shí)變情形，并未全面地分析時(shí)變系統(tǒng)特性的變化。沖擊地壓是煤巖系統(tǒng)某一個(gè)或多個(gè)參數(shù)變化進(jìn)而誘發(fā)系統(tǒng)失穩(wěn)的較為復(fù)雜的時(shí)變問(wèn)題，因此筆者從動(dòng)力系統(tǒng)的角度出發(fā)，結(jié)合時(shí)變力學(xué)原理提出了煤巖時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)的概念，通過(guò)分析試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)、煤柱頂板系統(tǒng)、巷道圍巖系統(tǒng)的動(dòng)力特性由一維到多維建立了廣義的時(shí)變動(dòng)力方程，針對(duì)不同情況進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，建立了時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對(duì)煤巖系統(tǒng)的時(shí)變特性進(jìn)行討論分析，并進(jìn)一步分析其系統(tǒng)穩(wěn)定性，為沖擊地壓的研究提供了一種新思路。

1 時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

時(shí)變系統(tǒng)是指系統(tǒng)的特性隨時(shí)間發(fā)生變化，系統(tǒng)的輸入擾動(dòng)和輸出響應(yīng)與其影響系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，時(shí)變系統(tǒng)的可按時(shí)變因素分為兩類(lèi)：①系統(tǒng)內(nèi)部的時(shí)變，即內(nèi)部參數(shù)是時(shí)變的；②系統(tǒng)外部的不確定擾動(dòng)(時(shí)間或來(lái)源不同)是時(shí)變的，以下討論不同時(shí)變類(lèi)型下的煤巖時(shí)變系統(tǒng)。

1.1 煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)

巖石力學(xué)可分為巖石靜力學(xué)部分和巖石動(dòng)力學(xué)部分，兩部分的界限是不明確的，通常將應(yīng)變率在1×10-1～1×104的載荷范圍視為研究巖石動(dòng)力學(xué)的最佳范圍[9]，煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)是研究煤巖的力學(xué)系統(tǒng)之一，由煤巖試樣和動(dòng)載試驗(yàn)機(jī)2個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，具備一些基本的力學(xué)性質(zhì)，其系統(tǒng)模型如圖1a所示。

圖1 煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)Fig.1 Coal rock specimen testing machine system

其中，煤巖試件變形為u=(s-a)，煤巖試件密度為ρ，試驗(yàn)機(jī)和煤巖試件總變形為s，試驗(yàn)機(jī)變形為a，試驗(yàn)機(jī)加載速度可控，荷載設(shè)定為與時(shí)間變量相關(guān)的線(xiàn)性函數(shù)P(t)。

圖1b中，取厚度為dx、截面面積為As的微元進(jìn)行分析，當(dāng)試驗(yàn)機(jī)施加荷載較小時(shí)煤巖試件只發(fā)生彈性變形，試驗(yàn)機(jī)剛度表示為Ka，煤巖剛度表示為K，變形抵抗力fk、慣性力fm和阻尼力fn分別為

建立平衡方程，兩端對(duì)x進(jìn)行積分得：

(1)

對(duì)于煤巖試件試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)，擾動(dòng)變量P(u,t)的時(shí)變會(huì)引起狀態(tài)變量u以及控制變量ρ、η和K的時(shí)變，導(dǎo)致系統(tǒng)的特性發(fā)生改變，因此可視為時(shí)變系統(tǒng)，各變量如下：

系統(tǒng)狀態(tài)變量由P(u,t)=Ka(s-u)兩端對(duì)先后對(duì)t,x求導(dǎo)得：

煤巖具有應(yīng)變軟化的性質(zhì)，因此在外載超過(guò)峰值載荷后剛度K會(huì)隨著變形的時(shí)變而時(shí)變，對(duì)于阻尼項(xiàng)和慣性項(xiàng)如下式所示：

式中，h,m分別為煤巖試樣的高度和質(zhì)量。

綜上所述，對(duì)于煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)，系統(tǒng)由于外部擾動(dòng)的時(shí)變而引起整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，因此煤巖試件-實(shí)驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)可視為一個(gè)外界擾動(dòng)時(shí)變的能控時(shí)變系統(tǒng)。

1.2 頂板煤柱時(shí)變系統(tǒng)辨識(shí)

采礦工程中常采用在相鄰采區(qū)或工作面之間預(yù)留煤柱的方法，頂板煤柱系統(tǒng)同樣可視為一個(gè)一維系統(tǒng)，頂板煤柱系統(tǒng)受外界擾動(dòng)影響較大，頂板傳遞的荷載往往受工程中復(fù)雜的施工情況影響，導(dǎo)致外界對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)P(t)也產(chǎn)生差異。如采空區(qū)頂板自由垮落引發(fā)的擾動(dòng)由采空區(qū)長(zhǎng)度決定，巷道擴(kuò)修和充填開(kāi)采對(duì)應(yīng)的施工擾動(dòng)形式亦不同，因此考慮此系統(tǒng)為一個(gè)擾動(dòng)不可控的時(shí)變系統(tǒng)。在開(kāi)采過(guò)程中，煤柱相鄰采空區(qū)的頂板垮落會(huì)在煤柱中產(chǎn)生突然的應(yīng)力集中，上覆巖層給予系統(tǒng)的外界擾動(dòng)突然變化，此時(shí)可將煤柱視為一維動(dòng)力系統(tǒng)，其簡(jiǎn)化模型如圖2所示。

圖2 頂板煤柱時(shí)變系統(tǒng)Fig.2 Time varying system of roof pillar

(2)

表示為系統(tǒng)狀態(tài)方程的形式:

式中：A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;B為輸入矩陣;X為狀態(tài)矩陣;F為擾動(dòng)矩陣。

外載時(shí)變下此系統(tǒng)狀態(tài)空間方程矩陣皆為時(shí)變矩陣，可知頂板煤柱系統(tǒng)是一個(gè)擾動(dòng)時(shí)變的不可控時(shí)變系統(tǒng)。

1.3 巷道圍巖系統(tǒng)辨識(shí)

巷道開(kāi)挖引起巷道圍巖應(yīng)力場(chǎng)的重分布，圍巖應(yīng)力由原來(lái)的三維應(yīng)力平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎S平衡狀態(tài)。在開(kāi)挖過(guò)程中巷道圍巖系統(tǒng)與外界存在質(zhì)量交換，假定在巷道開(kāi)挖時(shí)，碎石脫落的瞬間向水平方向運(yùn)動(dòng)，將巷道圍巖問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，可將巷道圍巖系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二維動(dòng)力系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 巷道圍巖時(shí)變系統(tǒng)Fig.3 Time varying system of roadway surrounding rock

應(yīng)力集中導(dǎo)致部分圍巖體達(dá)到其峰值強(qiáng)度而產(chǎn)生塑性軟化，在此過(guò)程中巖石內(nèi)部裂縫發(fā)育擴(kuò)展至產(chǎn)生宏觀破裂，形成不連續(xù)面。進(jìn)而可認(rèn)為巷道圍巖系統(tǒng)的質(zhì)量為時(shí)變質(zhì)量M(t)，剛度為時(shí)變剛度K(t)，系統(tǒng)阻尼為C(t)，圍巖受到外部擾動(dòng)f(t)時(shí)產(chǎn)生變形U(t)，根據(jù)圖3可得巷道圍巖系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)力響應(yīng)方程：

(3)

將式(3)經(jīng)過(guò)非奇異變換：

可將時(shí)變動(dòng)力響應(yīng)方程轉(zhuǎn)換成時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間方程[10]，如式(4)所示。

(4)

外部作用力往往通過(guò)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部因素的作用對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，因此時(shí)變系統(tǒng)輸出方程的直接輸出矩陣為零矩陣，其輸出響應(yīng)方程為

婦科護(hù)理中存在的安全隱患不僅對(duì)患者的治療造成了影響,也增加了醫(yī)患糾紛的發(fā)生,嚴(yán)重影響了醫(yī)院的聲譽(yù)。為此本文對(duì)婦科護(hù)理中存在的安全隱患進(jìn)行分析,并給出了相應(yīng)的對(duì)策,收到良好效果,現(xiàn)報(bào)告如下。

{Y(t)}=[D(t)]{X(t)}

(5)

式中，

若考慮巷道圍巖系統(tǒng)與外界的質(zhì)量交換，即質(zhì)量時(shí)變，令產(chǎn)生質(zhì)量交換的微元質(zhì)量為dM，質(zhì)量為M(t)的巷道圍巖系統(tǒng)在外部擾動(dòng)f(t)作用下的速度響應(yīng)為dU(t)/dt，由動(dòng)量定理可得巷道圍巖系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)力方程[8]:

式中，r(t)為微元脫離系統(tǒng)的釋放速度。

但微元脫離速度相對(duì)于系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)速度可以忽略，上式可表示為

(6)

當(dāng)巷道開(kāi)挖時(shí)巷道圍巖系統(tǒng)質(zhì)量減少，即dM(t)/dt為負(fù)，隨著巷道圍巖的變形以及開(kāi)挖引起質(zhì)量時(shí)變，導(dǎo)致系統(tǒng)阻尼減小。式(6)中的阻尼部分反映系統(tǒng)的流變特性，說(shuō)明質(zhì)量時(shí)變的巷道圍巖系統(tǒng)的流變特性會(huì)隨著巷道施工而時(shí)變；當(dāng)不考慮阻尼時(shí)，由于dM(t)/dt為負(fù)，巷道圍巖系統(tǒng)等效于負(fù)阻尼系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的微小擾動(dòng)將會(huì)一直放大，系統(tǒng)處于非穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)巷道圍巖系統(tǒng)在一定擾動(dòng)下極易失穩(wěn)破壞產(chǎn)生沖擊地壓。

2 煤巖時(shí)變系統(tǒng)特性分析

2.1 煤巖時(shí)變系統(tǒng)的線(xiàn)性分析

上文基于式(3)分別對(duì)擾動(dòng)時(shí)變、質(zhì)量時(shí)變和系統(tǒng)邊界時(shí)變的頂板煤柱系統(tǒng)和巷道圍巖系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)辨識(shí)，得到不同時(shí)變類(lèi)型的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)的差異性，但無(wú)論對(duì)于哪種類(lèi)型的時(shí)變系統(tǒng)，其時(shí)變系統(tǒng)的系統(tǒng)特性是一致的。對(duì)于巷道圍巖系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，巷道圍巖時(shí)變子系統(tǒng)的拆分為基于線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的疊加性得出的結(jié)論。線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加性是指，系統(tǒng)在幾個(gè)外界擾動(dòng)的共同作用下產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)為幾個(gè)擾動(dòng)分別作用于系統(tǒng)所得響應(yīng)的總和。假設(shè)兩個(gè)外部擾動(dòng)P1(t),P2(t)共同作用于式(4)描述的時(shí)變系統(tǒng)，其先運(yùn)行系統(tǒng)后進(jìn)行線(xiàn)性運(yùn)算得：

相加得：

先經(jīng)線(xiàn)性運(yùn)算后再運(yùn)行系統(tǒng)：

前后兩式等價(jià)滿(mǎn)足疊加性。若要證明煤巖系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)還必須滿(mǎn)足均勻性，當(dāng)外力f(t)作用于系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)Y(t),若令外力擾動(dòng)增大N倍，先通過(guò)系統(tǒng)再線(xiàn)性運(yùn)算則有：

N{Y(t)}=N[D(t)]{X(t)}

先經(jīng)線(xiàn)性運(yùn)算再經(jīng)過(guò)系統(tǒng)得：

N{X(t)}=[D(t)]-1N{Y(t)}

顯然滿(mǎn)足均勻性，因此式(4)所表示的巷道圍巖時(shí)變系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)方程的解[14]如式(7)。線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是其系統(tǒng)的響應(yīng)可分為非零初始狀態(tài)X(t0)引起的振動(dòng)響應(yīng)和由于外力作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)應(yīng)于式(7)中的前后2項(xiàng)，分別反映地下巖石系統(tǒng)在初始時(shí)刻由于初始地應(yīng)力作用產(chǎn)生的變化，以及在開(kāi)采過(guò)程中由于外部擾動(dòng)對(duì)巖石系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，其中Φ(t,t0)為時(shí)變轉(zhuǎn)移矩陣。

(7)

2.2 煤巖時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性分析

能控性和能觀性是現(xiàn)代控制理論中系統(tǒng)的重要特性。能控性決定系統(tǒng)狀態(tài){X(t)}是否能在有限時(shí)間內(nèi)，在外力{f(t)}的作用下達(dá)到任意的終狀態(tài)則此系統(tǒng)能控。在地下開(kāi)采過(guò)程中，能控性體現(xiàn)在選取合適的巷道布局和支撐方式改善圍巖結(jié)構(gòu)和賦存環(huán)境，進(jìn)一步控制煤巖系統(tǒng)的變形和破壞，其本質(zhì)為通過(guò)調(diào)整時(shí)變系統(tǒng)的控制變量如質(zhì)量、阻尼和剛度來(lái)限制系統(tǒng)的狀態(tài)變量變形、速度、加速度的變化，若能通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞綄⒉荒芸氐南到y(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芸氐南到y(tǒng)，也就實(shí)現(xiàn)了沖擊地壓的防治。

能觀性反映了系統(tǒng)狀態(tài)變化引起的系統(tǒng)響應(yīng)變化，即在任意給定的外力{f(t)}影響下，在有限時(shí)間內(nèi)通過(guò)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng){Yi(t)}，確定惟一系統(tǒng)狀態(tài){Xi(t)}，現(xiàn)有的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)技術(shù)，其基本思想是在即時(shí)應(yīng)力狀態(tài)下，通過(guò)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)響應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為信號(hào)來(lái)分析系統(tǒng)的狀態(tài)。因此分析系統(tǒng)的能觀性和能控性對(duì)于沖擊地壓防治和監(jiān)測(cè)都具有重要意義。對(duì)于線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，其能控和能觀的充要條件為對(duì)應(yīng)的GRAM矩陣非奇異[15]：

(8)

(9)

Qc(t)≡(B1(t),B2(t),…,Bn(t))

式中，Qc(t)為能控性判別矩陣。

若存在某一時(shí)刻tf，使得rankQc(tf)=n，則此系統(tǒng)能控，通過(guò)式(4)得到Qc(tf)為

對(duì)于一維的煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)(n=2)，此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，即系統(tǒng)能控。通過(guò)類(lèi)似的方法得到能觀性判別條件可知此時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)也是狀態(tài)完全能觀的。

式中，Qo(t)為能觀性判別矩陣。

綜前所述，式(3)所示的煤巖時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)是能控和能觀的，因此能通過(guò)調(diào)整合理的采場(chǎng)布局選取系統(tǒng)控制變量M(t),C(t),K(t)，使得系統(tǒng)狀態(tài)維持在一個(gè)穩(wěn)定的程度，進(jìn)而達(dá)到防治沖擊地壓的目的。

3 煤巖系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)力響應(yīng)分析

3.1 巷道圍巖系統(tǒng)邊界時(shí)變穩(wěn)定性分析

在上述幾種時(shí)變過(guò)程中，往往伴隨系統(tǒng)邊界的變化，稱(chēng)為邊界時(shí)變問(wèn)題。以巷道圍巖系統(tǒng)為例，巷道掘進(jìn)過(guò)程中部分塊體脫落引起質(zhì)量時(shí)變，由于圍巖應(yīng)力的變化，巷道圍巖演化出新的彈性區(qū)、破裂區(qū)和塑性軟化區(qū)，諸多學(xué)者基于彈塑性理論和破裂條件給定了靜態(tài)巷道圍巖系統(tǒng)塑性軟化區(qū)和破裂區(qū)的范圍[11-13]。

但在動(dòng)態(tài)施工擾動(dòng)下，不同分區(qū)范圍亦是時(shí)變的，即不同子系統(tǒng)的邊界是時(shí)變的，這類(lèi)邊界時(shí)變問(wèn)題同時(shí)伴隨著子系統(tǒng)間的質(zhì)量、阻尼和剛度變化，以圓形巷道質(zhì)量時(shí)變?yōu)槔?，如圖4所示。塑性區(qū)和破裂區(qū)半徑由于邊界時(shí)變分別由R1,R2發(fā)展至R1+dR1,R2+dR2，進(jìn)而得到彈性區(qū)和塑性區(qū)、塑性區(qū)和破裂區(qū)之間的質(zhì)量變化dM(t)為

圖4 圍巖分區(qū)邊界時(shí)變示意Fig.4 Time varying of surrounding rock zoning boundary

將3個(gè)狀態(tài)區(qū)域視為3個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)于塑性軟化系統(tǒng)若不考慮阻尼影響，由式(6)可得，當(dāng)dM1(t)>dM2(t)時(shí)系統(tǒng)等效于負(fù)阻尼系統(tǒng)，當(dāng)dM1(t)>dM2(t)時(shí)，隨著不同子系統(tǒng)邊界的時(shí)變，等效于阻尼增長(zhǎng)的時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度增加。若考慮系統(tǒng)阻尼，可得塑性區(qū)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度變化規(guī)律為

3.2 煤巖時(shí)變系統(tǒng)一般穩(wěn)定性理論

目前對(duì)于煤巖系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析大都基于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論[16]，但運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論并不考慮質(zhì)量和邊界的變化問(wèn)題；此外還存在輸出穩(wěn)定性，即外部產(chǎn)生有界的擾動(dòng)引發(fā)發(fā)散的響應(yīng)，潘一山[17]的擾動(dòng)響應(yīng)理論給出非穩(wěn)定系統(tǒng)有界擾動(dòng)引發(fā)無(wú)界響應(yīng)的判別準(zhǔn)則，尹祥礎(chǔ)等[18]的非線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)比理論也給出系統(tǒng)產(chǎn)生輸出失穩(wěn)的判定準(zhǔn)則。目前時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論研究是基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論開(kāi)展的，由李雅普諾夫第1法可知線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)矩陣A(t)的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的質(zhì)量陣M(t)正定，所以線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)失穩(wěn)的等價(jià)條件為存在負(fù)定的剛度陣K(t)或阻尼陣C(t)。

由李雅普諾夫第2法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行判定，由系統(tǒng)狀態(tài)方程式(4)選取連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q(t)，此時(shí)必然存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣P(t)，滿(mǎn)足：

(10)

并可由此構(gòu)造反映系統(tǒng)能量的函數(shù)：

V(X,t)={X(t)}T[P(t)]{X(t)}T

當(dāng)P(t)滿(mǎn)足方程(10)時(shí)正定，d[V(X,t)]/dt為負(fù)定的，此系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，若d[V(X,t)]/dt為半負(fù)定，可由李雅普諾夫輔助判據(jù)[19]得到系統(tǒng)穩(wěn)定性條件，當(dāng)d[V(X,t)]/dt正定時(shí)，煤巖時(shí)變系統(tǒng)為非穩(wěn)定狀態(tài)，煤巖變形能不斷積累，累積到一定程度能量釋放產(chǎn)生沖擊地壓。但由于李雅普諾夫方程很難得到解析解，只能通過(guò)離散化原理轉(zhuǎn)換成離散時(shí)變系統(tǒng)或基于凍結(jié)系數(shù)法考慮時(shí)變系統(tǒng)的瞬時(shí)狀態(tài)將其轉(zhuǎn)換為時(shí)不變系統(tǒng)，并通過(guò)Matlab計(jì)算數(shù)值解。

3.3 案例分析

以某礦7121孤島工作面的模型為例[20]，取g=9.81 m/s，煤體密度為1 400 kg/m3，厚度為3 m，體積模量和剪切模量分別為1.7 GPa和0.8 GPa，計(jì)算得泊松比μ=0.297，煤巖彈性模量K為2.1 GPa，上覆巖層及頂板傳遞荷載為16 MPa，頂板泥巖彈性模量Ka為3.79 GPa。為簡(jiǎn)化計(jì)算，系統(tǒng)阻尼按瑞利阻尼C=a*[M]+b*[K]計(jì)算，a,b為瑞利阻尼系統(tǒng)，考慮煤巖性質(zhì)a=0.02,b=10-6，并給予系統(tǒng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式的開(kāi)采擾動(dòng)，分別應(yīng)用李雅普諾夫第1法和李雅普諾夫第2法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

在開(kāi)采擾動(dòng)下，煤巖時(shí)變系統(tǒng)中的位移響應(yīng)變化如圖5a所示，煤巖時(shí)變系統(tǒng)中煤柱變形速度du/dt的變化情況如圖5b所示，由圖5可以看出施工擾動(dòng)下系統(tǒng)變形和速度響應(yīng)會(huì)在系統(tǒng)內(nèi)隨時(shí)間呈現(xiàn)衰減振動(dòng)的趨勢(shì)，即擾動(dòng)響應(yīng)比dp/dy不為0，此時(shí)系統(tǒng)時(shí)變引起的穩(wěn)定度變化并未使系統(tǒng)失穩(wěn)，此狀態(tài)下反應(yīng)系統(tǒng)能量的李雅普諾夫函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，李雅普諾夫函數(shù)為半正定的，且系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)部，以上均符合李雅普諾夫第1法和第2法對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)的描述。

圖5 穩(wěn)定頂板煤柱時(shí)變系統(tǒng)受擾狀態(tài)演化Fig.5 Disturbed state evolution of stableroof coal pillar time varying system

但對(duì)于一般的采礦工程過(guò)程中，隨著開(kāi)采的進(jìn)行，煤巖系統(tǒng)狀態(tài)繼續(xù)發(fā)生改變，在特定條件下可由穩(wěn)定系統(tǒng)發(fā)展至非穩(wěn)定的強(qiáng)沖擊傾向性系統(tǒng)，例如在巷道擴(kuò)修至某一時(shí)刻，煤巖系統(tǒng)由于系統(tǒng)內(nèi)外質(zhì)量交換及煤巖應(yīng)變軟化使系統(tǒng)等效于負(fù)阻尼系統(tǒng)時(shí)，此時(shí)取瑞利負(fù)阻尼參數(shù)a=-0.02,b=-10-6，此時(shí)煤巖時(shí)變系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，此時(shí)若給予系統(tǒng)微小的開(kāi)采擾動(dòng)，系統(tǒng)就會(huì)產(chǎn)生負(fù)阻尼振動(dòng)。

圖6 非穩(wěn)定頂板煤柱系統(tǒng)受擾狀態(tài)演化Fig.6 Disturbed state evolution of coalpillar system with unstable roof

圖6a、6b分別為煤巖時(shí)變系統(tǒng)變形和變形速度，可知煤巖時(shí)變系統(tǒng)在微小擾動(dòng)作用下系統(tǒng)振動(dòng)將不斷放大至系統(tǒng)失穩(wěn)，此時(shí)擾動(dòng)響應(yīng)比dp/dy=0，在一定擾動(dòng)下煤柱頂板時(shí)變系統(tǒng)失穩(wěn)誘發(fā)沖擊地壓，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征值均不具有負(fù)實(shí)部，不符合李雅普諾夫第1判據(jù)，能量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都為半負(fù)(正)定，也不適用于李雅普諾夫判據(jù)。但此判據(jù)僅為穩(wěn)定系統(tǒng)的充分條件，并不能因此判斷此系統(tǒng)為非穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合式(6)得到等效于負(fù)阻尼的非穩(wěn)定系統(tǒng)的質(zhì)量阻尼失穩(wěn)判別準(zhǔn)則，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，此為系統(tǒng)失穩(wěn)的必要條件。

此外李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論的是無(wú)窮時(shí)間區(qū)間上的系統(tǒng)穩(wěn)定性，但在地下開(kāi)采過(guò)程中，我們僅需保障煤巖系統(tǒng)使用期間的穩(wěn)定，因此可根據(jù)此情況采用有限時(shí)間的時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。有限時(shí)間下系統(tǒng)穩(wěn)定性分析可分為2種方法：一是構(gòu)造V型函數(shù),由此WEISS[21]給出了有限區(qū)間內(nèi)一般非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。二是基于系統(tǒng)所有軌線(xiàn)包線(xiàn)求得系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件[22]。

綜上可知，采用時(shí)變力學(xué)原理從時(shí)變系統(tǒng)的角度分析煤巖系統(tǒng)穩(wěn)定性與傳統(tǒng)的穩(wěn)定性理論有共通之處，但考慮了系統(tǒng)的時(shí)變特性更能體現(xiàn)煤巖系統(tǒng)在工程中由于動(dòng)態(tài)施工等因素的影響產(chǎn)生的變化。例如巷道開(kāi)挖、擴(kuò)修或工作面掘進(jìn)的過(guò)程中系統(tǒng)存在質(zhì)量時(shí)變，同時(shí)伴隨著邊界時(shí)變問(wèn)題，巷道圍巖系統(tǒng)在擴(kuò)修過(guò)程中由于上述原因系統(tǒng)穩(wěn)定程度不斷下降，當(dāng)達(dá)到特定條件時(shí)煤巖系統(tǒng)在擾動(dòng)下失穩(wěn)產(chǎn)生沖擊地壓。此外煤巖產(chǎn)生應(yīng)變軟化時(shí)，式(3)中的剛度矩陣為時(shí)變的，隨著時(shí)變的演化系統(tǒng)穩(wěn)定度降低，當(dāng)剛度矩陣為負(fù)定時(shí)，系統(tǒng)亦會(huì)由穩(wěn)定結(jié)構(gòu)變?yōu)椴环€(wěn)定結(jié)構(gòu)。

4 結(jié) 論

1)從動(dòng)力系統(tǒng)的角度出發(fā)，分別論證了煤巖試件-試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)、頂板煤柱系統(tǒng)和巷道圍巖系統(tǒng)的時(shí)變特性，得到了擾動(dòng)和質(zhì)量等不同時(shí)變類(lèi)型影響下的系統(tǒng)變化規(guī)律，證明了沖擊地壓是一個(gè)煤巖系統(tǒng)時(shí)變問(wèn)題，進(jìn)一步得到彈性區(qū)、塑性區(qū)和破裂區(qū)3個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定度演化規(guī)律，得到了煤巖系統(tǒng)失穩(wěn)的簡(jiǎn)單判據(jù)，建立了統(tǒng)一的時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)方程。

2)構(gòu)建了煤巖時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型，從疊加性、均勻性、能控性和能觀性分析了煤巖時(shí)變動(dòng)力系統(tǒng)的特點(diǎn)，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了此線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并初步討論了沖擊地壓與煤巖時(shí)變系統(tǒng)的聯(lián)系，驗(yàn)證了時(shí)變力學(xué)原理分析沖擊地壓的合理性。

3)應(yīng)用李雅普諾夫第1和第2判據(jù)從系統(tǒng)狀態(tài)及能量角度得到?jīng)_擊地壓發(fā)生的充分條件，并利用凍結(jié)系數(shù)法初步驗(yàn)證了該判據(jù)的可靠性。初步探究了控制變量和擾動(dòng)變量時(shí)變對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的影響，為沖擊地壓的研究提供了一種新的思路，但對(duì)于地下巖土工程來(lái)說(shuō)，線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)只是煤巖非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)中的一個(gè)特例，需要后續(xù)研究更具有工程實(shí)際的非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)模型。