許家釗

(蘇州大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇蘇州，215000)

2022年高考已落下帷幕，對于全國Ⅰ卷，學(xué)生普遍感覺難度較大.筆者仔細(xì)研究了試題之后，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)試題緊扣高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容與重點(diǎn)知識，突出了對關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了立德樹人根本任務(wù).本文以第21題第1小題為例，通過一題五問，試圖揭示解析幾何中斜率之和與斜率之積的本質(zhì).

1 試題再現(xiàn) 感受高考

簡要分析本題屬于探索創(chuàng)新情景.考生感到困難，可能有三個(gè)原因：一是考試剩余時(shí)間不夠?qū)е滦睦砘艔垼潜绢}設(shè)問較平時(shí)有所提前，三是模型不熟悉、算理不清楚、運(yùn)算能力弱.本題實(shí)際上是解析幾何中的常規(guī)問題——定值定點(diǎn)問題，只要兩條直線AP，AQ的斜率之和為0，那么直線PQ的斜率就是定值，運(yùn)算上體現(xiàn)了解析幾何常規(guī)的“三步曲”——聯(lián)立方程寫韋達(dá)、題設(shè)條件代數(shù)化、韋達(dá)代入尋結(jié)果.

第一步 聯(lián)立方程寫韋達(dá)

(1)

第二步 題設(shè)條件代數(shù)化

去分母整理得2kx1x2+(m+1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，

(2)

第二步 韋達(dá)代入尋結(jié)果

將(1)式代入(2)式化簡得2k2+km+k+m-1=0，

分解因式得(k+1)(2k-1+m)=0，

(3)

因?yàn)镻Q不經(jīng)過A點(diǎn)，故2k-1+m≠0，所以k=-1，即l的斜率為-1.

2 深度思考 揭示本質(zhì)

探究1是因?yàn)樘厥獾腁點(diǎn)才導(dǎo)致l的斜率是定值的嗎？對于雙曲線上任一定點(diǎn)A(x0，y0)呢？

(4)

去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，

(5)

將(4)式代入(5)式化簡得2kmy0+2k+a2k2x0y0+x0m-x0y0=0，整理得(2kmy0+x0m)+(2x0y0k2+2k-x0y0)=0

即m(2ky0+x0)+(2ky0+x0)(kx0-y0)=0，分解因式得(2ky0+x0)(m+kx0-y0)=0

(6)

反思將x0=2，y0=-1代入上述結(jié)果，得k=-1，與高考試題的答案一致.

(7)

去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，

(8)

將(7)代入(8)化簡得a2kmy0+a2b2k+a2k2x0y0+b2x0m-b2x0y0=0，

整理得(a2kmy0+b2x0m)+(a2x0y0k2+a2b2k-b2x0y0)=0，

即m(a2ky0+b2x0)+(a2ky0+b2x0)(kx0-y0)=0，

即(a2ky0+b2x0)(m+kx0-y0)=0，

(9)

方法優(yōu)化對探究2中的坐標(biāo)系進(jìn)行平移，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至A(x0，y0)處，

(10)

(11)

(12)

反思不妨將上述方法稱為平移齊次化法，它的要點(diǎn)在于將坐標(biāo)系原點(diǎn)平移至題中所給出的定點(diǎn)，寫出對應(yīng)的圓錐曲線方程和直線方程之后，進(jìn)行齊次化聯(lián)立，構(gòu)造關(guān)于斜率k的方程，從而斜率之和及斜率之積便直接轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積，避免了復(fù)雜的運(yùn)算.

反思說明當(dāng)斜率之和為非零常數(shù)時(shí)，PQ的斜率將不再是定值，而是恒過一定點(diǎn).

(13)

基于以上4個(gè)探究，我們得出如下定理：

用同樣的方法我們可以得到：

定理三對于有心二次曲線Ax2+By2=1(AB≠0)上一定點(diǎn)P及兩動點(diǎn)A、B；

1) 若kPA+kPB=λ，

λ=0時(shí)，直線AB的方向向量為(y0B，x0A)

2) 若kPA·kPB=t，

3 高考回看 溫故知新

4 加強(qiáng)反思 提升能力

從近三年的高考數(shù)學(xué)來看，解析幾何的解答題考查內(nèi)容主要覆蓋直線、橢圓、雙曲線及拋物線，考查考生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等，為進(jìn)一步做好2023屆高三數(shù)學(xué)解析幾何一輪復(fù)習(xí)工作，筆者給出以下建議：

(1) 回歸教材，注重基礎(chǔ)，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

對比發(fā)現(xiàn)，高考試題大都由課本習(xí)題改編而來，源于課本，而又高于課本.因此，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)要回歸課本，重視課本題目的外延與內(nèi)涵，使學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程.

(2) 多角度思考，注重一題多解，優(yōu)化方法

一方面，解析幾何問題的本質(zhì)是幾何問題，利用題干圖形的幾何性質(zhì)解答，往往能避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，起到出奇制勝、事半功倍的效果.因此，在平時(shí)教學(xué)中，要訓(xùn)練考生準(zhǔn)確作圖和識圖能力.

另一方面，代數(shù)法是解決解析幾何問題的通性通法，解析幾何試題一般入口較寬，很容易找到解決問題的思路，但是不同解法間運(yùn)算量的差異很大.因此，在復(fù)習(xí)過程中，要多角度審視試題，注重不同方法的分析與比較，以便學(xué)生在今后的做題中迅速發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化的方法.

(3) 加大訓(xùn)練力度，著重培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算求解能力

根據(jù)高考評價(jià)體系的整體框架，高考數(shù)學(xué)學(xué)科提出了五大關(guān)鍵能力：邏輯思維、運(yùn)算求解、空間想象、數(shù)學(xué)建模和創(chuàng)新能力.解析幾何問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用問題，對于邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力要求較高.好的思路是通過一定的推理、運(yùn)算等數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的.