吳啟霞
(廣東省清遠(yuǎn)市華僑中學(xué),廣東清遠(yuǎn),511538)
本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是研究橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其初步應(yīng)用.同時讓學(xué)生能夠經(jīng)歷橢圓定義與方程的探究過程,從中體會解析幾何里數(shù)形結(jié)合的重要思想.同時橢圓這一節(jié)的學(xué)習(xí)跟后面章節(jié)的雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)等方面的研究也存在著較多的相似之處,在教材結(jié)構(gòu)上它是起到承上啟下的作用.再者就是對橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的研究,突出了曲線方程與方程曲線、函數(shù)與圖形相結(jié)合的重要思想,這種思想貫穿中學(xué)解析幾何的模塊里整個學(xué)習(xí),因此,是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一.
解析幾何知識在歷年高考中占據(jù)著重要的地位,它重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)解決問題的能力,但是很多學(xué)生對概念的理解,圓錐曲線相關(guān)結(jié)論的探究都遇到極大的困難,他們普遍感到“望而生畏”.而在傳統(tǒng)的教學(xué)中,橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線的課堂里一般的導(dǎo)入千篇一律:先讓學(xué)生直接回顧上節(jié)課的內(nèi)容,然后提出這節(jié)課的課題,繼而直接得出圓錐曲線的定義,在黑板上演算標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,這種模式顯得比較枯燥,學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不濃,思維上會存在障礙,教學(xué)效果必然會大打折扣.在信息化教育新時代,一線教師應(yīng)該如何運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)去助力高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué),以期改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呢?在21世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件平臺上GGB是一款特別適用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的軟件,我們用GGB來探究,可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維化的過程,一方面它是有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的,GGB繁復(fù)動態(tài)的變換能很好地凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性、通過多元互動促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;另一方面在數(shù)學(xué)課堂上教師充分利用GGB的動態(tài)功能,利用表征的多元化,分別從不同角度顯示圓錐曲線的動態(tài)變換,師生共同探討,及時進(jìn)行教學(xué)反饋,為數(shù)學(xué)問題解決搭建腳手架,開拓數(shù)學(xué)思維,很好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段單調(diào)、乏味的缺點(diǎn).本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課教學(xué)為例,利用BBG形象直觀展現(xiàn)橢圓的定義和軌跡的形成過程以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).使原本晦澀難懂的數(shù)學(xué)知識通過動態(tài)數(shù)學(xué)實驗的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前,進(jìn)而使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決上收到事半功倍的學(xué)習(xí)效果,同時極大的促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的提升.
問題解決1 同學(xué)們能列舉出生活中的有哪些是橢圓形狀物品嗎?是否知道天體的運(yùn)行軌跡?
學(xué)生說出常見的橢圓圖形物品,并描述天體的運(yùn)行軌跡學(xué)生回答后,教師利用GGB展示天體動態(tài)運(yùn)行的動態(tài)圖形,通過常見的橢圓形物品和天體動態(tài)運(yùn)行圖,引導(dǎo)學(xué)生對橢圓產(chǎn)生感性認(rèn)識.
設(shè)計意圖:① 觀察生活中的橢圓,提高研究橢圓的興趣,通過舊知識,引出新問題;② 通過動畫演示,讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)探究的樂趣.
問題解決2 你還記得圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?它和我們本節(jié)課即將學(xué)習(xí)的橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程會有什么區(qū)別跟聯(lián)系呢?
設(shè)計意圖:讓學(xué)生回顧前面已學(xué)習(xí)過的“圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程”,并思考最新問題;教師利用GGB展示圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其動態(tài)的圖象,制造可視化問題情景,以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.
教學(xué)評析:解析幾何模塊的知識內(nèi)容雖然在初中課本已開始出現(xiàn),但是隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增多和學(xué)習(xí)難度深入,學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性越來越差,特別受傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境影響,使得部分學(xué)生出現(xiàn)了排斥課堂的心理.GGB助力解析幾何進(jìn)行整合的問題解決課堂教學(xué)實驗表明,基于數(shù)形同步顯示動態(tài)生成圓錐曲線的GGB環(huán)境中,不但可以激發(fā)學(xué)生去研究曲線方程的動機(jī),還可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力,借助GGB創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的可視化問題情景,能突破數(shù)學(xué)動態(tài)幾何思維發(fā)展水平的局限,使學(xué)生學(xué)習(xí)效率得到顯著提升.實踐證明,在GGB的多元表征環(huán)境下能充分發(fā)揮學(xué)生的認(rèn)知主體作用,啟發(fā)學(xué)生逐步建立橢圓的定義.
讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一塊圖板、一根定長的細(xì)繩和兩枚圖釘,按要求動手畫圖,先將兩圖釘固定在同一點(diǎn),拉緊繩子,移動筆尖,這時筆尖(動點(diǎn))畫出的軌跡是一個圓;然后通過不斷改變兩枚圖釘?shù)木嚯x,就能畫出扁平程不同的橢圓;最后當(dāng)兩圖釘將繩子拉直時,畫出的是線段.
問題解決3 根據(jù)上面的作圖實踐,你能說出移動的筆尖(動點(diǎn))滿足的幾何條件是什么嗎?
設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生按學(xué)習(xí)小組(4人一組)開展數(shù)學(xué)實驗:以小組為單位利用事先準(zhǔn)備的工具(鉛筆、繩子、圖釘)繪制橢圓;邊畫圖,邊討論并思考教師所提問題且要求互相補(bǔ)充,然后請兩名學(xué)生到黑板上演示畫圖過程,最后教師借助GGB的動態(tài)功能動態(tài)模擬繪制橢圓(如圖1).此過程,通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境,運(yùn)用探索實驗的方法,讓學(xué)生初步對橢圓上的點(diǎn)的特征有一定的了解,在此探究過程中,教師提示“定點(diǎn)”“和”“常數(shù)”等關(guān)鍵詞,為定義的歸納做了鋪墊.
圖1
教學(xué)評析:學(xué)生動手實踐操作能很好地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,鍛煉從實踐到理論的轉(zhuǎn)化的能力,而且有利于改變學(xué)生被動接受的學(xué)習(xí)方式.應(yīng)用GGB動態(tài)軌跡跟蹤功能,有助于學(xué)生觀察動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律,使學(xué)生感受橢圓定義的發(fā)展過程.
問題解決4 通過上述兩個環(huán)節(jié),你能歸納出橢圓上點(diǎn)的特征嗎?這個常數(shù)是一個任意的常數(shù)嗎?根據(jù)軌跡形成的規(guī)律,如何描述橢圓上的動點(diǎn)M所滿足的幾何條件呢?
設(shè)計意圖:學(xué)生根據(jù)自主實踐探究,結(jié)合觀察教師用GGB演示橢圓形成的動態(tài)圖形,比較容易就能歸納出橢圓上點(diǎn)的特征:到兩個定點(diǎn)的距離的和是一個定值.同時并能發(fā)現(xiàn):① 兩個定點(diǎn)的距離等于線段長度時,軌跡為一條直線;② 兩個定點(diǎn)的距離大于線段長度時,軌跡不存在.(如圖2)引導(dǎo)學(xué)生歸出橢圓的定義:① 當(dāng)平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a,即:|MF1|+|MF2|=2a,且2a>|F1F2|的點(diǎn)的軌跡是橢圓;② 當(dāng)2a=|F1F2|時,表示線段;③ 當(dāng)2a<|F1F2|,無軌跡,將感性知識升華為理性知識.
圖2
教學(xué)評析:學(xué)生歸納總結(jié)得出橢圓的定義并進(jìn)行完善,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,引導(dǎo)將實驗結(jié)論歸納抽象成為數(shù)學(xué)問題,揭示橢圓定義的數(shù)形關(guān)系,到此完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容的講授.
問題解決5 同學(xué)們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義,前面我們知道直線和圓都是放在平面直角坐標(biāo)系建立方程的基礎(chǔ)上研究的,圓錐曲線都有其對應(yīng)的方程,橢圓也不例外,你認(rèn)為怎樣給橢圓建立平面直角坐標(biāo)系最合理?才能使所得方程更簡潔、更美觀呢?
設(shè)計意圖:引領(lǐng)學(xué)生一起復(fù)習(xí)回顧直線與圓的方程,以便既加深學(xué)生對曲線方程,更是為接下來使學(xué)生能夠正確按照步驟,用代數(shù)式來表示橢圓的定義的推導(dǎo)作鋪墊.
教學(xué)評析:在所設(shè)計的問題組的引導(dǎo)下,大部分學(xué)生以兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2連線的作為x軸,F(xiàn)1F2的中垂線為y軸,建平面直角坐標(biāo)系,但也有少數(shù)幾個同學(xué)某一個焦點(diǎn)為原點(diǎn),通過學(xué)生自己動手選擇建系方案讓他們感受到數(shù)學(xué)圖形具有對稱美、形式美、統(tǒng)一美,很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.
問題解決6 如何推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?
圖3
圖4
教學(xué)評析:在傳統(tǒng)課堂這一環(huán)節(jié)的處理會使學(xué)生陷入較為復(fù)雜的化簡運(yùn)算過程,學(xué)生痛苦不堪,由于費(fèi)時費(fèi)力還會使得學(xué)生忽略了較重要的橢圓的定義,利用GGB推導(dǎo)可以使學(xué)生在自主探究、討論探究的過程中,從代數(shù)的角度直觀感受定義和標(biāo)準(zhǔn)方程動態(tài)的形成過程,發(fā)揮GGB建標(biāo)系、繪圖、強(qiáng)大的符號運(yùn)算和動態(tài)展示等功能,可以使學(xué)生快速的理解掌握推導(dǎo)過程,從繁瑣的化簡“苦?!敝刑鰜?這過程實現(xiàn)了從形到數(shù)的轉(zhuǎn)變,很好地培養(yǎng)了學(xué)生公式推導(dǎo)能力,突破代數(shù)式化簡的障礙,從而化解本節(jié)課的難點(diǎn).
在本節(jié)課的教學(xué)過程中,筆者首先通過生活中的橢圓形狀物品,并用利用GGB展示天體動態(tài)運(yùn)行的動態(tài)圖形使學(xué)生對橢圓的定義有了一定的了解.然后以問題解決為導(dǎo)向,讓學(xué)生經(jīng)歷動手實踐操作,再利用GGB動態(tài)演示生成橢圓,進(jìn)而利用GGB強(qiáng)調(diào)的運(yùn)算功能,導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣的課堂設(shè)計可以起到一個深化和鞏固的作用.本課堂設(shè)計與傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比,利用GGB助力教學(xué)更加注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程,更有利于學(xué)生理解并橢圓的定義的內(nèi)涵和外延,而利用GGB強(qiáng)大的運(yùn)算功能推導(dǎo)出來圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,又大大地減輕了讓學(xué)生感到繁瑣又復(fù)雜的運(yùn)算的負(fù)擔(dān).通過這樣一個過程,將橢圓定義通過多元化的表征呈現(xiàn)在學(xué)生面前, 學(xué)生通過動手操作與思考的探索,主動建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu),為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).可見,在問題解決的課堂上,運(yùn)用GGB助力課堂,幫助教師突破知識的重點(diǎn)、難點(diǎn),不僅可使一些教師難教、學(xué)生難懂的定義、定理和公式,簡單化、形象化地展現(xiàn)給學(xué)生,使教學(xué)效果得到優(yōu)化.通過運(yùn)用GGB先進(jìn)教學(xué)軟件進(jìn)行助力教學(xué),還可以根據(jù)實際教學(xué)情況因材施教地對教材進(jìn)行整合,增加課堂信息傳輸量,加大教學(xué)密度,增加課堂的容量,同時功能強(qiáng)大的信息技術(shù)介入又充分調(diào)動學(xué)生運(yùn)用多種感覺器官,把學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動起來,加深學(xué)生對知識的理解深度,從而提高問題解決的課堂教學(xué)效果.這種新型的以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體,以GGB融入整合教學(xué)內(nèi)容的問題解決課堂使教學(xué)得到了優(yōu)化,在減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時,還激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,更是培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,對教學(xué)效果的提高起到很大的作用.