吳啟霞

(廣東省清遠(yuǎn)市華僑中學(xué)，廣東清遠(yuǎn)，511538)

1 教材的地位和作用

本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是研究橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其初步應(yīng)用.同時(shí)讓學(xué)生能夠經(jīng)歷橢圓定義與方程的探究過程，從中體會解析幾何里數(shù)形結(jié)合的重要思想.同時(shí)橢圓這一節(jié)的學(xué)習(xí)跟后面章節(jié)的雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)等方面的研究也存在著較多的相似之處，在教材結(jié)構(gòu)上它是起到承上啟下的作用.再者就是對橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，突出了曲線方程與方程曲線、函數(shù)與圖形相結(jié)合的重要思想，這種思想貫穿中學(xué)解析幾何的模塊里整個(gè)學(xué)習(xí)，因此，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一.

2 GGB介入對問題解決課堂教學(xué)的影響

解析幾何知識在歷年高考中占據(jù)著重要的地位，它重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)解決問題的能力，但是很多學(xué)生對概念的理解，圓錐曲線相關(guān)結(jié)論的探究都遇到極大的困難，他們普遍感到“望而生畏”.而在傳統(tǒng)的教學(xué)中，橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線的課堂里一般的導(dǎo)入千篇一律：先讓學(xué)生直接回顧上節(jié)課的內(nèi)容，然后提出這節(jié)課的課題，繼而直接得出圓錐曲線的定義，在黑板上演算標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，這種模式顯得比較枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不濃，思維上會存在障礙，教學(xué)效果必然會大打折扣.在信息化教育新時(shí)代，一線教師應(yīng)該如何運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)去助力高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué)，以期改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呢？在21世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件平臺上GGB是一款特別適用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的軟件，我們用GGB來探究，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維化的過程，一方面它是有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的，GGB繁復(fù)動態(tài)的變換能很好地凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性、通過多元互動促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；另一方面在數(shù)學(xué)課堂上教師充分利用GGB的動態(tài)功能，利用表征的多元化，分別從不同角度顯示圓錐曲線的動態(tài)變換，師生共同探討，及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反饋，為數(shù)學(xué)問題解決搭建腳手架，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，很好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段單調(diào)、乏味的缺點(diǎn).本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課教學(xué)為例，利用BBG形象直觀展現(xiàn)橢圓的定義和軌跡的形成過程以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).使原本晦澀難懂的數(shù)學(xué)知識通過動態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，進(jìn)而使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決上收到事半功倍的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)極大的促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的提升.

3 GGB助力高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué)的教學(xué)的實(shí)踐

3.1 創(chuàng)設(shè)直觀的數(shù)學(xué)問題情景，激發(fā)學(xué)生的易知感

問題解決1 同學(xué)們能列舉出生活中的有哪些是橢圓形狀物品嗎？是否知道天體的運(yùn)行軌跡？

學(xué)生說出常見的橢圓圖形物品，并描述天體的運(yùn)行軌跡學(xué)生回答后，教師利用GGB展示天體動態(tài)運(yùn)行的動態(tài)圖形，通過常見的橢圓形物品和天體動態(tài)運(yùn)行圖，引導(dǎo)學(xué)生對橢圓產(chǎn)生感性認(rèn)識.

設(shè)計(jì)意圖：① 觀察生活中的橢圓，提高研究橢圓的興趣，通過舊知識，引出新問題；② 通過動畫演示，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)探究的樂趣.

問題解決2 你還記得圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？它和我們本節(jié)課即將學(xué)習(xí)的橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程會有什么區(qū)別跟聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧前面已學(xué)習(xí)過的“圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，并思考最新問題；教師利用GGB展示圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其動態(tài)的圖象，制造可視化問題情景，以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.

教學(xué)評析：解析幾何模塊的知識內(nèi)容雖然在初中課本已開始出現(xiàn)，但是隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增多和學(xué)習(xí)難度深入，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性越來越差，特別受傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境影響，使得部分學(xué)生出現(xiàn)了排斥課堂的心理.GGB助力解析幾何進(jìn)行整合的問題解決課堂教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，基于數(shù)形同步顯示動態(tài)生成圓錐曲線的GGB環(huán)境中，不但可以激發(fā)學(xué)生去研究曲線方程的動機(jī)，還可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，借助GGB創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的可視化問題情景，能突破數(shù)學(xué)動態(tài)幾何思維發(fā)展水平的局限，使學(xué)生學(xué)習(xí)效率得到顯著提升.實(shí)踐證明，在GGB的多元表征環(huán)境下能充分發(fā)揮學(xué)生的認(rèn)知主體作用，啟發(fā)學(xué)生逐步建立橢圓的定義.

3.2 GGB動態(tài)演示形成概念，揭示橢圓定義的數(shù)形關(guān)系

讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一塊圖板、一根定長的細(xì)繩和兩枚圖釘，按要求動手畫圖，先將兩圖釘固定在同一點(diǎn)，拉緊繩子，移動筆尖，這時(shí)筆尖(動點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓；然后通過不斷改變兩枚圖釘?shù)木嚯x，就能畫出扁平程不同的橢圓；最后當(dāng)兩圖釘將繩子拉直時(shí)，畫出的是線段.

問題解決3 根據(jù)上面的作圖實(shí)踐，你能說出移動的筆尖(動點(diǎn))滿足的幾何條件是什么嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生按學(xué)習(xí)小組(4人一組)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：以小組為單位利用事先準(zhǔn)備的工具(鉛筆、繩子、圖釘)繪制橢圓；邊畫圖，邊討論并思考教師所提問題且要求互相補(bǔ)充，然后請兩名學(xué)生到黑板上演示畫圖過程，最后教師借助GGB的動態(tài)功能動態(tài)模擬繪制橢圓(如圖1).此過程，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，運(yùn)用探索實(shí)驗(yàn)的方法，讓學(xué)生初步對橢圓上的點(diǎn)的特征有一定的了解，在此探究過程中，教師提示“定點(diǎn)”“和”“常數(shù)”等關(guān)鍵詞，為定義的歸納做了鋪墊.

圖1

教學(xué)評析：學(xué)生動手實(shí)踐操作能很好地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，鍛煉從實(shí)踐到理論的轉(zhuǎn)化的能力，而且有利于改變學(xué)生被動接受的學(xué)習(xí)方式.應(yīng)用GGB動態(tài)軌跡跟蹤功能，有助于學(xué)生觀察動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律，使學(xué)生感受橢圓定義的發(fā)展過程.

問題解決4 通過上述兩個(gè)環(huán)節(jié)，你能歸納出橢圓上點(diǎn)的特征嗎？這個(gè)常數(shù)是一個(gè)任意的常數(shù)嗎？根據(jù)軌跡形成的規(guī)律，如何描述橢圓上的動點(diǎn)M所滿足的幾何條件呢？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)自主實(shí)踐探究，結(jié)合觀察教師用GGB演示橢圓形成的動態(tài)圖形，比較容易就能歸納出橢圓上點(diǎn)的特征：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是一個(gè)定值.同時(shí)并能發(fā)現(xiàn)：① 兩個(gè)定點(diǎn)的距離等于線段長度時(shí)，軌跡為一條直線；② 兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于線段長度時(shí)，軌跡不存在.(如圖2)引導(dǎo)學(xué)生歸出橢圓的定義：① 當(dāng)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a，即：|MF1|+|MF2|=2a，且2a>|F1F2|的點(diǎn)的軌跡是橢圓；② 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，表示線段；③ 當(dāng)2a<|F1F2|，無軌跡，將感性知識升華為理性知識.

圖2

教學(xué)評析：學(xué)生歸納總結(jié)得出橢圓的定義并進(jìn)行完善，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，引導(dǎo)將實(shí)驗(yàn)結(jié)論歸納抽象成為數(shù)學(xué)問題，揭示橢圓定義的數(shù)形關(guān)系，到此完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容的講授.

3.3 GGB強(qiáng)大運(yùn)算功能助力，化繁為簡推導(dǎo)橢圓方程

問題解決5 同學(xué)們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義，前面我們知道直線和圓都是放在平面直角坐標(biāo)系建立方程的基礎(chǔ)上研究的，圓錐曲線都有其對應(yīng)的方程，橢圓也不例外，你認(rèn)為怎樣給橢圓建立平面直角坐標(biāo)系最合理？才能使所得方程更簡潔、更美觀呢？

設(shè)計(jì)意圖：引領(lǐng)學(xué)生一起復(fù)習(xí)回顧直線與圓的方程，以便既加深學(xué)生對曲線方程，更是為接下來使學(xué)生能夠正確按照步驟，用代數(shù)式來表示橢圓的定義的推導(dǎo)作鋪墊.

教學(xué)評析：在所設(shè)計(jì)的問題組的引導(dǎo)下，大部分學(xué)生以兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連線的作為x軸，F(xiàn)1F2的中垂線為y軸，建平面直角坐標(biāo)系，但也有少數(shù)幾個(gè)同學(xué)某一個(gè)焦點(diǎn)為原點(diǎn)，通過學(xué)生自己動手選擇建系方案讓他們感受到數(shù)學(xué)圖形具有對稱美、形式美、統(tǒng)一美，很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

問題解決6 如何推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

圖3

圖4

教學(xué)評析：在傳統(tǒng)課堂這一環(huán)節(jié)的處理會使學(xué)生陷入較為復(fù)雜的化簡運(yùn)算過程，學(xué)生痛苦不堪，由于費(fèi)時(shí)費(fèi)力還會使得學(xué)生忽略了較重要的橢圓的定義，利用GGB推導(dǎo)可以使學(xué)生在自主探究、討論探究的過程中，從代數(shù)的角度直觀感受定義和標(biāo)準(zhǔn)方程動態(tài)的形成過程，發(fā)揮GGB建標(biāo)系、繪圖、強(qiáng)大的符號運(yùn)算和動態(tài)展示等功能，可以使學(xué)生快速的理解掌握推導(dǎo)過程，從繁瑣的化簡“苦海”中跳出來.這過程實(shí)現(xiàn)了從形到數(shù)的轉(zhuǎn)變，很好地培養(yǎng)了學(xué)生公式推導(dǎo)能力，突破代數(shù)式化簡的障礙，從而化解本節(jié)課的難點(diǎn).

4 GeoGebra助力高中數(shù)學(xué)問題解決課堂教學(xué)的一點(diǎn)思考

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，筆者首先通過生活中的橢圓形狀物品，并用利用GGB展示天體動態(tài)運(yùn)行的動態(tài)圖形使學(xué)生對橢圓的定義有了一定的了解.然后以問題解決為導(dǎo)向，讓學(xué)生經(jīng)歷動手實(shí)踐操作，再利用GGB動態(tài)演示生成橢圓，進(jìn)而利用GGB強(qiáng)調(diào)的運(yùn)算功能，導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣的課堂設(shè)計(jì)可以起到一個(gè)深化和鞏固的作用.本課堂設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，利用GGB助力教學(xué)更加注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，更有利于學(xué)生理解并橢圓的定義的內(nèi)涵和外延，而利用GGB強(qiáng)大的運(yùn)算功能推導(dǎo)出來圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又大大地減輕了讓學(xué)生感到繁瑣又復(fù)雜的運(yùn)算的負(fù)擔(dān).通過這樣一個(gè)過程，將橢圓定義通過多元化的表征呈現(xiàn)在學(xué)生面前， 學(xué)生通過動手操作與思考的探索，主動建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).可見，在問題解決的課堂上，運(yùn)用GGB助力課堂，幫助教師突破知識的重點(diǎn)、難點(diǎn)，不僅可使一些教師難教、學(xué)生難懂的定義、定理和公式，簡單化、形象化地展現(xiàn)給學(xué)生，使教學(xué)效果得到優(yōu)化.通過運(yùn)用GGB先進(jìn)教學(xué)軟件進(jìn)行助力教學(xué)，還可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況因材施教地對教材進(jìn)行整合，增加課堂信息傳輸量，加大教學(xué)密度，增加課堂的容量，同時(shí)功能強(qiáng)大的信息技術(shù)介入又充分調(diào)動學(xué)生運(yùn)用多種感覺器官，把學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動起來，加深學(xué)生對知識的理解深度，從而提高問題解決的課堂教學(xué)效果.這種新型的以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以GGB融入整合教學(xué)內(nèi)容的問題解決課堂使教學(xué)得到了優(yōu)化，在減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時(shí)，還激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更是培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，對教學(xué)效果的提高起到很大的作用.