程永超

(江蘇省常州市花園中學(xué)，江蘇常州，213000)

一道好的試題不僅在內(nèi)容上能夠檢測(cè)學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的掌握情況，還能考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維及分析、解決問題的能力.在此基礎(chǔ)上，形式優(yōu)美，體現(xiàn)一定的原創(chuàng)性，則效果更佳.本文記錄了一道試題的來路、思路、去路，希望通過這個(gè)實(shí)例，說明命題編制的一些方法與技巧，敬請(qǐng)同行們批評(píng)指正.

1 命題來源，定性分析到定量確定

在平面內(nèi)，給定一個(gè)點(diǎn)、一條直線，我們能畫出該點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖1所示.

圖1

思考一：如圖2，如果把點(diǎn)A跟直線BC放在平面直角坐標(biāo)系中，能否求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)呢？

圖2

圖3

給定點(diǎn)A的坐標(biāo)、直線BC的解析式，對(duì)稱點(diǎn)A′是唯一確定的，所以坐標(biāo)是可求的.

求法一：如圖2，設(shè)點(diǎn)A′(x，y)，考慮到線段AA′被直線BC垂直平分，所以KAA′·KBC=-1，AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)符合直線BC的解析式，從而得出x，y的方程組，求出x，y的值.但是兩條直線互相垂直，能滿足KAA′·KBC=-1，這不在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的范圍里.

求法二：如圖3，直線BC與x軸的交點(diǎn)P是已知點(diǎn)，則線段AP的長(zhǎng)度、∠APB的度數(shù)都是已知，所以可以根據(jù)三角函數(shù)求出點(diǎn)A′的坐標(biāo).但即使∠APB的度數(shù)是已知的，但一般來說，不會(huì)是一個(gè)特殊的度數(shù)，所以，在初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，知道點(diǎn)A′是已知的，但不好求.

思考二：在初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，怎樣調(diào)控一下，使得對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)容易求些？

1.1 一般的直線+特殊的點(diǎn)

圖4

圖5

1.2 特殊的直線+一般的點(diǎn)

1.3 特殊的直線+特殊的點(diǎn)

圖6

圖7

圖8

圖9

據(jù)此，圖5中的計(jì)算，將點(diǎn)P的軸對(duì)稱理解成是Rt△PQO的軸對(duì)稱，構(gòu)造K型相似，可求點(diǎn)P′的坐標(biāo)，如圖9.但此類計(jì)算總歸會(huì)涉及到相似、無理數(shù)的計(jì)算，鑒于數(shù)學(xué)試題“多想少算”的原則，能否將特殊角改成45°呢？

如圖10，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)O′(2，-2)，點(diǎn)P(-1，0)的對(duì)稱點(diǎn)P′(2，-3)，點(diǎn)Q(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)Q′(4，-1).可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)特殊角改成了45°，不僅運(yùn)算量小，而且“水平”線段，軸對(duì)稱成“鉛垂”線段；“鉛垂”線段，軸對(duì)稱成“水平”線段.那么，一般的直線，關(guān)于直線y=x-2軸對(duì)稱之后，有什么特殊之處嗎？

圖10

圖11

如圖11，由三角形的外角定理知：∠APB=45°-∠PAB，所以∠PCD=2∠APB+∠PAB=90°-∠PAB，則∠PAB+∠PCD=90°.

2 試題編制，關(guān)注核心本質(zhì)、整體關(guān)聯(lián)

思考三：試題該如何編制，既要考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，還要注重試題的整體關(guān)聯(lián)？

2.1 動(dòng)態(tài)化處理[1]

將對(duì)稱軸沿x軸平移，與x軸的夾角依舊是45°.這樣，上述發(fā)現(xiàn)的一系列性質(zhì)(“水平”線段，軸對(duì)稱成“鉛垂”線段；“鉛垂”線段，軸對(duì)稱成“水平”線段；一般的直線，軸對(duì)稱之后，與x軸所夾銳角之和為90°)依舊成立.

2.2 搭好“腳手架”，直擊核心本質(zhì)

作任意一條直線的對(duì)稱直線，如果不考慮其它限制的話，只要找到兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即可(圖1的方法).但為了讓學(xué)生感受到上述性質(zhì)，將直線放入方格紙中，僅限無刻度的直尺來作圖.學(xué)生必將找格點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，就能在解題的過程，領(lǐng)悟性質(zhì)，并將領(lǐng)悟到的性質(zhì)加以運(yùn)用.

2.3 注重試題的整體關(guān)聯(lián)

在新的問題情境中，為了考查學(xué)生的思維視野，能否將領(lǐng)悟到的經(jīng)驗(yàn)、思維方法遷移到新問題的解決中，通過大任務(wù)滲透大觀念.按點(diǎn)、線、面的變換線索呈現(xiàn)[2]，加強(qiáng)試題的關(guān)聯(lián)度，調(diào)整后形成如下試題.

2.4 試題呈現(xiàn)

圖12

如圖12，動(dòng)直線l：y=x-b與x軸交于點(diǎn)A，對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，我們可以作點(diǎn)P關(guān)于直線l的軸對(duì)稱點(diǎn)P′，我們稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“斜對(duì)稱點(diǎn)”.類似地，我們可以得到“斜對(duì)稱直線”“斜對(duì)稱三角形”等等.

(1) 如圖12，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)O關(guān)于直線l的斜對(duì)稱點(diǎn)O′的坐標(biāo)(用b的代數(shù)式表示)；

(2) 如圖13，動(dòng)直線l：y=x-b與x軸、y軸分別交于格點(diǎn)A、格點(diǎn)B，直線l1與x軸交于格點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.僅用無刻度的直尺，作出直線l1的斜對(duì)稱直線l2；并記直線l2與x軸所夾的銳角為α，證明α+∠DCA=90°；

圖13

圖14

3 編后反思，素養(yǎng)立意、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思考

思考四：試題后續(xù)的研究.

在試題的第三問中，考慮到難度的控制，只考查了“水平”線段的斜對(duì)稱線段.如果繼續(xù)試題的后續(xù)研究，我們可以增加試題的綜合性.比如，斜對(duì)稱△C′O′B′與△OBC的外接圓相切，求b的值.尤其是，斜對(duì)稱線段C′B′與外接圓相切的說理，可以跟第二問的證明遙相呼應(yīng).

思考五：注重?cái)?shù)學(xué)思考，滲透大觀念.

試題的命制既要注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，更要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)觀念(數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)思想方法)的領(lǐng)悟與遷移.所以，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透從簡(jiǎn)單到復(fù)雜(點(diǎn)、線、面上的圖形結(jié)構(gòu)依次復(fù)雜、從靜到動(dòng))，從特殊到一般等研究問題一般方法.通過基于問題學(xué)習(xí)、任務(wù)性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生不僅知道“怎樣做”，還要明白“為什么怎樣做”.