周婷婷

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇南京，211100)

數(shù)學(xué)，是科學(xué)的語言與工具，也是人類文化歷史的重要組成[1].在新課程標(biāo)準(zhǔn)不斷引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)文化更多地融入教學(xué)，致力實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)和育人目標(biāo).在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，由于學(xué)生的年齡和認(rèn)知所限，更需教師精選學(xué)習(xí)素材，引領(lǐng)學(xué)生逆流踏尋新知識構(gòu)建的歷史足跡，感受新知識創(chuàng)新的原始動力，經(jīng)歷新知識創(chuàng)生的艱難過程，領(lǐng)略數(shù)學(xué)獨(dú)特之美，認(rèn)同數(shù)學(xué)知識對生活的重要作用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真興趣；帶領(lǐng)學(xué)生順流而下應(yīng)用新學(xué)知識解決生活問題，并為創(chuàng)新和創(chuàng)造行為打下現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)文化史是小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)內(nèi)容的重要組成，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)走向深度教學(xué)的新切點(diǎn)，“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學(xué)”“實(shí)踐課”是數(shù)學(xué)文化的顯性形式； 數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則、探究歷程、科學(xué)信念是數(shù)學(xué)文化的隱性形式[2].教師深挖教材文化的厚重歷史，重組課內(nèi)外素材，構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂，學(xué)生在數(shù)學(xué)文化浸潤中走近過去和現(xiàn)在的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)現(xiàn)基本數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會從數(shù)學(xué)角度解決問題，會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)問題，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題.

以《圓的周長》教學(xué)實(shí)踐為例，課標(biāo)要求聚焦學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，凹顯學(xué)生主體地位，遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)學(xué)段銜接.學(xué)生經(jīng)歷圖形的認(rèn)識與測量過程，感受意義，理解圓的周長，感悟數(shù)學(xué)方法，形成量感和推理意識，增強(qiáng)空間觀念和應(yīng)用意識.圓的周長教材地位以蘇教版五年級下冊《圓的周長》一課為例，圓的周長在小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中有著舉足輕重地位，是學(xué)習(xí)六年級圓柱和圓錐的知識基礎(chǔ)，也是中學(xué)幾何圖形學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).明確圓在第三學(xué)段不同年級知識發(fā)展層級要求，把握五年級下學(xué)期對應(yīng)的具體階段目標(biāo)：

(1) 學(xué)生在操作和數(shù)據(jù)分析中經(jīng)歷圓周率的探索過程，理解圓周率的意義，掌握圓周長的公式，能運(yùn)用圓周長公式解決一些簡單的實(shí)際問題.

(2) 培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合及動手操作能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

(3) 結(jié)合圓周率的學(xué)習(xí)，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)科興趣培養(yǎng)和愛國情感教育.

探索構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)文化課堂的基本策略，嘗試讓數(shù)學(xué)知識流向思想，再從思想生成核心素養(yǎng)，為學(xué)科育人目標(biāo)打下數(shù)學(xué)的獨(dú)特基礎(chǔ).

1 課前搜集文化素材，踏尋知識創(chuàng)生之路

《圓的周長》前置學(xué)習(xí)任務(wù)：設(shè)計(jì)一張表格，條理清楚體現(xiàn)國內(nèi)、國外圓周率研究的歷史，注明年代、研究者及其研究方法.三個(gè)要求：國內(nèi)圓周率研究最為突出的研究者和研究方法請重點(diǎn)標(biāo)注；國外圓周率研究最為突出的研究者和研究方法請重點(diǎn)標(biāo)注；你自學(xué)了哪幾種圓周率的計(jì)算方法？標(biāo)注“√”并寫出過程.前置學(xué)習(xí)任務(wù)完成路徑：查閱電子資料、紙質(zhì)資料、和家人討論再整理為表格.

教師本身的數(shù)學(xué)文化儲備是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首層天花板，課前查閱《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《幾何原本》《海島算經(jīng)》中有關(guān)圓的資料；閱讀電子核心期刊中有關(guān)圓的論文專著；在數(shù)學(xué)教研活動中請教專家把脈課堂設(shè)計(jì)，使得在數(shù)學(xué)文化課堂中，學(xué)生能夠從多角度多層次認(rèn)識圓周率，清楚看到圓的知識脈絡(luò)系統(tǒng)化，清楚感受前置探索中的知識碎片結(jié)構(gòu)化，真正掌握圓周率的含義和價(jià)值.

2 課上親歷文化創(chuàng)生，走近學(xué)科素養(yǎng)核心

數(shù)學(xué)文化課堂是學(xué)生在文化中走近本質(zhì)的所在，學(xué)生通過不斷揭開數(shù)學(xué)外在形式，尋得數(shù)學(xué)內(nèi)在文化本質(zhì)，徜徉知識發(fā)現(xiàn)和生長的歷史長河，感受知識的創(chuàng)生和發(fā)展過程.圓周率含義探究過程中，學(xué)生在回顧化曲為直測量樹葉曲線周長的過程中，明晰測量圓的思想方法以及操作步驟；學(xué)生在小組測量圓形周長和對應(yīng)直徑時(shí)速度快、誤差??；小組數(shù)據(jù)記錄員借助統(tǒng)計(jì)軟件XLS電子表的統(tǒng)計(jì)和運(yùn)算功能，及時(shí)記錄每組周長和對應(yīng)的直徑長度；教師用手機(jī)西沃教師助手及時(shí)拍照，同時(shí)投屏四組數(shù)據(jù)，組織每組成員計(jì)算每個(gè)圓的周長和對應(yīng)直徑的和、差、積、商，觀察四則運(yùn)算的結(jié)果，直觀發(fā)現(xiàn)周長和直徑的和、差、積沒有明顯規(guī)律，借助條形統(tǒng)計(jì)圖顯示商的高度，直觀看到周長和直徑商的大小明顯趨于相等，并且在3.1附近.在測量、計(jì)算、估算、統(tǒng)計(jì)組成的課堂第一階段學(xué)習(xí)過程中，圓的周長和直徑的關(guān)系從模糊走向定向，學(xué)生的經(jīng)歷正是圓周率在人類發(fā)展史中第一階段的創(chuàng)生過程.圓的周長和直徑的商具體大小究竟是多少？

圖1

圖2

學(xué)生對圓周率的研究，將由定向走向定值的過程，這個(gè)過程也是圓周率在人類發(fā)展史中的第二歷史階段.學(xué)生在小組內(nèi)交流課前搜集的不同計(jì)算圓周率方法，欣賞視頻及時(shí)補(bǔ)充筆記.在視頻中學(xué)生能系統(tǒng)而具體地了解數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之、阿基米德的嚴(yán)謹(jǐn)推理，初步了解還有其他計(jì)算圓周率大小的方法：無限分割法、夾逼法、投針法、無窮數(shù)級法、微積分法……學(xué)生對圓周率的大小有了明確認(rèn)識，周長和對應(yīng)直徑的商的大小，是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，無論圓的大小如何，圓周率都是固定不變的無理數(shù)，人們稱為圓周率，通常用π表示，日常生活中，通常用3.14參與計(jì)算就能解決問題.至此，學(xué)生對圓周率的具體大小的創(chuàng)生過程有了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識：任何一個(gè)圓的周長(C)是對應(yīng)直徑(d)長度的π倍.圓周率常用近似值3.14解決問題；用字母來表示它們的關(guān)系就是C=πd或C=2πr；還可以推理出圓的直徑：d=C÷π，圓的半徑：r=C÷2÷π.學(xué)生嘗試獨(dú)立使用公式，正向思維能力培養(yǎng)練習(xí)：分別計(jì)算直徑為10厘米，半徑為2米的圓周長，組織學(xué)生對所用的公式進(jìn)行重點(diǎn)分析；逆向思維能力培養(yǎng)練習(xí)：用一根繩子繞一棵大樹的樹干，量得結(jié)果是12.56米，這棵樹的樹干橫截面的直徑大約是多少厘米？對所用的公式和單位的變化進(jìn)行重點(diǎn)討論；結(jié)合公式應(yīng)用的領(lǐng)域加固圓周長認(rèn)識的知識結(jié)構(gòu).

追問問題：在我們測量的數(shù)據(jù)組中，你有沒有發(fā)現(xiàn)直徑有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)，對應(yīng)周長的數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？驅(qū)動學(xué)生思考大屏幕上測量數(shù)據(jù)，班級共識當(dāng)π取常用近似值3.14，此時(shí)周長的數(shù)據(jù)進(jìn)行對應(yīng)調(diào)整，都是對應(yīng)直徑的3.14倍.部分同學(xué)發(fā)現(xiàn)半徑、直徑、周長的大小明顯呈同步同倍變化，教師通過展示數(shù)據(jù)對應(yīng)的條形統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生都能直觀發(fā)現(xiàn)半徑、直徑、周長的大小明顯呈同步同倍變化的數(shù)學(xué)基本規(guī)律[3].根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)基本規(guī)律用不同的方法解決數(shù)學(xué)問題：屏幕上顯示的6個(gè)同心圓組成的雷達(dá)影像，最外圈是一個(gè)直徑84厘米的圓.它的周長是多少？規(guī)律應(yīng)用能力強(qiáng)的學(xué)生能根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)快捷解決問題，通過兩種計(jì)算過程的比較，學(xué)生在鞏固規(guī)律的同時(shí)學(xué)會優(yōu)化思路解決問題.

圖3

圖4

圓的教學(xué)難點(diǎn)從來就在于周長、直徑、圓周率，這三者都客觀存在，但是圓周率是前兩者的比值，看不見摸不著，有著先天抽象認(rèn)識難度，構(gòu)建通過系列文化托起圓周率的定向定值體驗(yàn)，讓學(xué)生對圓周率的認(rèn)識和理解直觀入理，有效突破傳統(tǒng)課堂的教學(xué)難點(diǎn).這里通過條形統(tǒng)計(jì)圖將數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系直觀化展現(xiàn)出來，對幫助學(xué)生開展圓的面積深度學(xué)習(xí)也具備教學(xué)價(jià)值，對學(xué)生也具備學(xué)習(xí)價(jià)值，學(xué)生遷移學(xué)習(xí)能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)面積、直徑、半徑的關(guān)聯(lián)以及不同變化規(guī)律.

結(jié)合《圓的周長》課堂教學(xué)生成的板書，小組復(fù)盤課堂探尋過程，鞏固探究收獲.課堂機(jī)構(gòu)以數(shù)學(xué)文化為線索，推進(jìn)過程從模糊到精準(zhǔn)，經(jīng)歷圓周率創(chuàng)生第一階段是圓周率的定向過程：測量估算大小在3.1附近；創(chuàng)生第二階段是圓周率的定值過程：精確體推理圓周率為無限不循環(huán)小數(shù)3.14159265……用π表示圓周率，常用3.14參與周長計(jì)算；應(yīng)用實(shí)踐階段：圓的周長公式C=πd或C=2πr；圓的直徑d=C÷π，圓的半徑r=C÷2÷π，在公式應(yīng)用中進(jìn)行正向逆向思維解決實(shí)際問題的能力訓(xùn)練；圓周率取3.14時(shí)，觀察數(shù)據(jù)培養(yǎng)捕捉數(shù)學(xué)基本規(guī)律的能力：圓的周長和直徑、半徑的同步同倍變化[4].

學(xué)生沉浸數(shù)學(xué)文化課堂中，走近數(shù)學(xué)家的思維歷程：批判中學(xué)習(xí)、在學(xué)習(xí)中內(nèi)化、在內(nèi)化中創(chuàng)新的探究精神與科學(xué)態(tài)度.課后嘗試用自己簡潔化、結(jié)構(gòu)化的思維導(dǎo)圖復(fù)盤新知識，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)文化發(fā)展脈絡(luò)、形成自己的科學(xué)探究精神.

3 課后練習(xí)滲透文化，供能數(shù)學(xué)素養(yǎng)生長

構(gòu)建數(shù)學(xué)文化教學(xué)，課后與課前、課上保持滲透、繼承、發(fā)展性，才能有效持續(xù)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的沉浸、積淀、迸發(fā).課后學(xué)習(xí)的成效，是文化課堂構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)最薄弱的區(qū)域，課后作業(yè)切實(shí)需要教師明確布置配套的數(shù)學(xué)文化作業(yè)，對課堂文化發(fā)展脈絡(luò)與歷史背景進(jìn)行清晰梳理；幫助學(xué)生鞏固、內(nèi)化課堂數(shù)學(xué)文化；課后練習(xí)的設(shè)計(jì)，既要基于前置學(xué)習(xí)任務(wù)和課堂學(xué)習(xí)，又要涉獵其他角度文化體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生圓的周長、面積的計(jì)算能力和推理能力，提升數(shù)感、量感、模型意識.

結(jié)合知識與技能、過程與方法的練習(xí)，精選《圓的周長》課外補(bǔ)充作業(yè)“了解弗朗索瓦維特的圓周率計(jì)算公式，計(jì)算約翰沃利斯計(jì)算圓周率的公式”.通過課后補(bǔ)充作業(yè)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入圓周率計(jì)算的第三階段，第四階段微積分只要學(xué)生知識儲備充足，定能主動探索，而第五階段計(jì)算機(jī)計(jì)算圓周率的原理就是微積分.結(jié)合知識與技能、過程與方法的練習(xí)，精選補(bǔ)充練習(xí)通過圓的面積學(xué)習(xí)，課后觀看視頻《科技FANS》了解我們閱讀過的劉徽的割圓術(shù)求出圓周率，采用割圓術(shù)計(jì)算出周率的大小.

在小學(xué)數(shù)學(xué)文化課堂學(xué)習(xí)過程中，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為育人靶向，以發(fā)揮教師與學(xué)生的主體能動性為情感靶向，以數(shù)學(xué)文化深化教學(xué)內(nèi)容、變革教學(xué)方式、創(chuàng)新意義生成為知識靶向，數(shù)學(xué)文化為線索貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，促成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)生成[5].

4 基于數(shù)學(xué)文化課堂實(shí)踐的教學(xué)思考

小學(xué)數(shù)學(xué)是義務(wù)教育的重要基礎(chǔ)學(xué)科，承載著傳授學(xué)科知識與技能、思想與方法的重要任務(wù)，還承擔(dān)著情感、態(tài)度價(jià)值觀的傳承責(zé)任.小學(xué)數(shù)學(xué)教師自身的學(xué)科理念、專業(yè)知識、思維能力水平是數(shù)學(xué)文化在大數(shù)據(jù)時(shí)代小學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革中的學(xué)科素養(yǎng)生成的關(guān)鍵，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐過程，聚焦數(shù)學(xué)文化課堂的課時(shí)教學(xué)安排，有以下教學(xué)思考.

4.1 課前學(xué)習(xí)任務(wù)，不只是難點(diǎn)分解

教師在備課時(shí)進(jìn)行教材解讀，對“數(shù)學(xué)文化”“教學(xué)內(nèi)容”“課程資源”的關(guān)系深度分析，找到突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的策略；忌過于追求知識點(diǎn)的加速習(xí)得，急于通過聯(lián)系促進(jìn)靈活應(yīng)用，受制于教學(xué)時(shí)間緊任務(wù)多，貪用圓的周長和面積公式強(qiáng)記掌握的形式，雖然強(qiáng)記后也可通過乘除法的原理推導(dǎo)各種公式，也能通過練習(xí)促進(jìn)公式的靈活應(yīng)用，使得解決問題的能力得到扎實(shí)的提升，但是學(xué)生并不了解圓周率從模糊范圍到精準(zhǔn)大小的艱難，從測量操作到精準(zhǔn)推理的成就之路，知識就是無源之水，無根之木.因此，前置學(xué)習(xí)任務(wù)不能只是重難點(diǎn)的分解，更是教學(xué)和育人的好時(shí)機(jī).確實(shí)，由于文化歷史的豐富和方法的多樣，課堂上勢必會占用很多課堂時(shí)間，使得計(jì)算練習(xí)的比例有所下降，正因?yàn)槿绱?，課前文化背景的探索也是對轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)生產(chǎn)力的一種調(diào)和.

4.2 課堂知識探究，不應(yīng)是流于形式

在大數(shù)據(jù)時(shí)代的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在紙筆教學(xué)、數(shù)學(xué)信息化教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練十分重視，而對于數(shù)學(xué)的文化育人價(jià)值常常被輕視，往往使得數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中處于一種“若隱若現(xiàn)”的狀態(tài)，一段朗讀、一幅圖片、一個(gè)故事浮光掠影式處理，停留在“過程中引介，在結(jié)果上了解”的模式.以蘇教版第95頁《你知道嗎？》為例，其中阿基米德的夾逼法和教材新授求圓周率的簡單模型是前后呼應(yīng)的素材；劉徽的割圓術(shù)并沒有展開闡述，割圓術(shù)在教材的周長和面積新授中都無法開展教學(xué)，因?yàn)榇蟠蟪鰧W(xué)生的算法范疇；祖沖之如何將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的計(jì)算方法已經(jīng)失傳，因此，教師對教材提供的《圓的周長》文化背景進(jìn)行年代和方法結(jié)構(gòu)化梳理，考慮選擇適合學(xué)生的夾逼法作為推理的立足點(diǎn)，才能讓學(xué)生在文化課堂中真正收獲知識和素養(yǎng).特別地，因?yàn)閹缀萎嫲搴虶eogebra已經(jīng)默認(rèn)圓周率的準(zhǔn)確數(shù)值，因此不能在探究圓周率的過程中使用這些教學(xué)輔助工具，以防誤導(dǎo)學(xué)生本末倒置，只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷圓周率測量估算和推理精算之后，才能作為觀察和求解圓周長和面積的教學(xué)輔助工具，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

4.3 課后練習(xí)設(shè)計(jì)，不只有知識技能

多年來教師和學(xué)生對課后練習(xí)的認(rèn)識是以練促通，熟練解決變式問題，非常重視課后練習(xí)對課堂遺憾的彌補(bǔ)功能，對課堂知識的鞏固功能，對課堂知識復(fù)雜應(yīng)用的拓展功能.小學(xué)數(shù)學(xué)文化課堂的課后練習(xí)，嘗試結(jié)合傳統(tǒng)的鞏固提高功能，重視用文化底色促進(jìn)知識理解和應(yīng)用，將課后練習(xí)從“表層化”知識操練場，轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙饬x性”思維模型場.

因此，前置學(xué)習(xí)任務(wù)不全是提前分解教學(xué)難點(diǎn)，重在初步獨(dú)立感知知識的由來，積累數(shù)學(xué)獨(dú)立探究的經(jīng)驗(yàn)；課堂探究和總結(jié)活動重點(diǎn)組織學(xué)生重走數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)生過程，從數(shù)學(xué)家的思想和策略獲得啟發(fā)；精心設(shè)計(jì)課后練習(xí)，和課前課上保持文化主題一致性，持續(xù)保持學(xué)習(xí)興趣的力度和穩(wěn)定性.

在小學(xué)數(shù)學(xué)文化課堂中供能數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生長，可以借鑒的經(jīng)驗(yàn)并不豐富.一方面，教師需要繼續(xù)潛心鉆研文化和練習(xí)的配比，另一方面教師需要潛心鉆研現(xiàn)代信息技術(shù)的效能，助力文化課堂在有限時(shí)間內(nèi)的有效育人功能，突破傳統(tǒng)教學(xué)中符號式“表面、表層、表演”的學(xué)習(xí)狀態(tài)，開展對知識進(jìn)行“深層、深刻、深度”的意義式深層學(xué)習(xí).帶領(lǐng)學(xué)生走近數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問題的敏銳時(shí)刻，數(shù)學(xué)家解決問題的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，數(shù)學(xué)家品鑒數(shù)學(xué)的獨(dú)特美感，激起學(xué)生追求數(shù)學(xué)的自覺、自主、自由性.提供學(xué)生和數(shù)學(xué)家“對話”的時(shí)空，和數(shù)學(xué)家思想“共鳴”的時(shí)刻，和數(shù)學(xué)家精神“共情”的能力，推動學(xué)生離數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)近一點(diǎn)，汲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，功能個(gè)體數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長.