嚴(yán)小紅

陜西省商洛中學(xué) 726000

新課標(biāo)明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)不能局限于記憶、模仿和練習(xí)等方面，還應(yīng)注重動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流等活動(dòng)方式［1］.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏寣W(xué)生在自主操作中進(jìn)行思辨，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的神奇之處，從而有效地啟發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能、思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的掌握（簡稱“四基”），培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力（簡稱“四能”）.

教學(xué)背景分析

實(shí)驗(yàn)操作能為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，為創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展奠定基礎(chǔ).為了貫徹落實(shí)教育系統(tǒng)對(duì)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)要求，筆者在橢圓教學(xué)中，特別針對(duì)本班學(xué)生設(shè)計(jì)了一堂實(shí)驗(yàn)操作課，以促進(jìn)學(xué)生多樣化和差異性發(fā)展.橢圓折紙內(nèi)容在教材中有所體現(xiàn)，本節(jié)課中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作和思辨進(jìn)行教學(xué)，取得了一定的成效.

教學(xué)簡錄

選擇實(shí)驗(yàn)探索教學(xué)法，通過實(shí)驗(yàn)引發(fā)學(xué)生猜想，而后進(jìn)行驗(yàn)證、應(yīng)用、拓展、反思等，意在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的“四基”和“四能”.教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)都以問題為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生在解決原有問題的基礎(chǔ)上提出新的問題，使得每個(gè)問題環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生從真正意義上掌握問題的探究方法和知識(shí)的內(nèi)涵.

1.第一個(gè)環(huán)節(jié)：實(shí)驗(yàn)引發(fā)猜想

要求學(xué)生提前準(zhǔn)備一張圓形紙，在紙片內(nèi)任取一點(diǎn)A（非圓心），折疊這張紙片，使得圓周必須經(jīng)過點(diǎn)A，展開后可見一條折痕（用l表示），為了能清楚地看到這條折痕，可用鉛筆將l勾勒出來（見圖1）.隨著折疊次數(shù)的增加，折痕越來越多，要求學(xué)生觀察勾勒出來的折痕輪廓，說說形成了一個(gè)怎樣的曲線.此過程建議學(xué)生兩兩分組，配合完成.

圖1

師：在折疊過程中，圓周上的每一點(diǎn)都能與點(diǎn)A重合，形成對(duì)應(yīng)的折痕嗎？

生1：實(shí)踐證明是可以的.

師：既然每一點(diǎn)都可以，那么所獲得的圖形是不是一個(gè)封閉圖形？

生2：是的.

師：照這么來看，也就是要盡可能增加折疊次數(shù)，現(xiàn)在我們一起來分析一下，進(jìn)行多次折疊后所形成的封閉圖形是什么圖形.

眾生：應(yīng)該是橢圓形.

師：因?yàn)槭謩?dòng)折疊受各種因素的限制，現(xiàn)在我們借助多媒體的演示功能，模擬手動(dòng)折疊，將折痕顯示出來（見圖2），大家一起來感知無數(shù)次折疊后所形成的折痕輪廓與曲線之間存在怎樣的位置關(guān)系.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生親歷動(dòng)手操作，易對(duì)知識(shí)形成良好的感性認(rèn)識(shí)，為橢圓的出現(xiàn)奠定基礎(chǔ).但手動(dòng)折疊紙張的次數(shù)有限，無法直觀看到所獲得的封閉圖形，而應(yīng)用多媒體，不僅能讓學(xué)生直觀看到動(dòng)手操作所無法達(dá)成的效果，還能讓學(xué)生在強(qiáng)烈的視覺沖突中，對(duì)知識(shí)形成深刻印象，為更好地理解與內(nèi)化知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ).

張奠宙認(rèn)為：實(shí)際操作具體事物，并進(jìn)行觀察與思考，能讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，獲得基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)［2］.以上教學(xué)過程告訴我們，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作除了親自動(dòng)手增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的直觀認(rèn)識(shí)外，還可以將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)相融合，給學(xué)生帶來更加豐富的感官刺激，以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

2.第二個(gè)環(huán)節(jié)：驗(yàn)證引發(fā)結(jié)論

師：大家都認(rèn)為所獲得的輪廓線為橢圓形，有沒有辦法進(jìn)行驗(yàn)證呢？

生3：如圖3所示，我們可猜想折痕與曲線為相切的關(guān)系，也就是說每條折痕都是曲線的切線.

圖3

師：不錯(cuò)，我們?cè)撊绾巫C明折痕是曲線的切線，且曲線又是橢圓呢？

生4：我們可以從“只有一個(gè)公共點(diǎn)”的角度進(jìn)行探索.

師：要確定切點(diǎn)既位于折痕上，又位于橢圓上，那么在圖3中該如何表達(dá)出來呢？

生5：其實(shí)折痕即線段AB的垂直平分線，連接OB，并與折痕相交于點(diǎn)C，我們只要證明以下兩點(diǎn)即可：①點(diǎn)C位于橢圓上；②橢圓與折痕之間有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

師：該如何證明這兩點(diǎn)呢？

生6：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知OC+AC=OC+BC=OB（半徑），從橢圓的定義出發(fā)，可以明確點(diǎn)C位于橢圓上.從折痕上任意取點(diǎn)D（非點(diǎn)C），結(jié)合三角形的性質(zhì)，可知OD+AD=OD+BD＞BO（半徑），由此可確定點(diǎn)D不位于橢圓上.

師：很好！由此可知，有了圓心O和點(diǎn)A后，圓周上的每一點(diǎn)都與一條折痕相對(duì)應(yīng)，也就是每一條折痕都與輪廓線上的某點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這些點(diǎn)連在一起就構(gòu)成了橢圓.通過以上驗(yàn)證，我們可以獲得什么結(jié)論？

結(jié)論1：每一條折痕都與橢圓上的一點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，折痕即橢圓的切線.

師：現(xiàn)在我們來討論，如果將圖中的AC視為入射光線，反射面為折痕所在面，那么哪條線為反射光線？

眾生：CO為反射光線.

師：該怎么驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論呢？

（學(xué)生合作交流）

生7：如圖4所示，因?yàn)椤?=∠2，∠1=∠3，所以∠2=∠3，由此可以確定入射角與反射角相等，可證明橢圓的光學(xué)性質(zhì).

圖4

師：由此我們可以獲得什么結(jié)論？

結(jié)論2：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，在橢圓壁反射后，必經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：師生合作，分析并解決問題的過程，是激發(fā)學(xué)生探索欲的契機(jī).教師通過對(duì)問題的精心設(shè)計(jì)與耐心引導(dǎo)，讓學(xué)生在問題情境中自主動(dòng)手操作、合作探究，獲得相應(yīng)的結(jié)論.

3.第三個(gè)環(huán)節(jié)：理解促進(jìn)應(yīng)用

師：在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們一起來探討橢圓的切線方程.

例1已知點(diǎn)在橢圓=1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓C位于點(diǎn)P處的切線方程.

師：初遇本題，大家會(huì)想到用哪種方法來解決這個(gè)問題？

生9：從幾何的角度出發(fā)，以折紙實(shí)驗(yàn)為解題的突破口.以點(diǎn)F2為圓心，4為半徑的圓的方程為（x-1）2+y2=16，該圓和直線PF2之間存在一個(gè)交點(diǎn)B（1，4），BF1的中垂線即為此題待求的切線.

師：非常好！這是以點(diǎn)F2為圓心畫圓的方法，那么我們是否能以點(diǎn)F1為圓心畫圓，并獲得切線方程呢？

生10：可以，以點(diǎn)F1為圓心畫圓，那么該圓和PF1之間有一個(gè)交點(diǎn)是，此時(shí)B′F2的中垂線就是本題待求的切線，解題過程與上述的解題過程類似.

師：之前我們還研究了光學(xué)性質(zhì)，我們是否可以從這個(gè)角度來分析解題？

師：太棒了！大家集思廣益，通過多角度來審視并分析同一問題，不僅加深了對(duì)問題的理解程度，還通過多種方法的應(yīng)用，獲得了一般性的結(jié)論.

結(jié)論3：倘若點(diǎn)P（x0，y0）位于橢圓C：=1上，且a＞b＞0，那么點(diǎn)P處的切線方程是

師：以上問題是在知道橢圓方程的情況下求切線方程，如果反過來，在知道切線方程的情況下，是否能求橢圓方程呢？

例2已知焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）的橢圓與直線l：x-2y+4=0有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，該橢圓的長軸長是多少？

在例1的解題基礎(chǔ)上，學(xué)生很快就提出了以下三種解題方法：①用代數(shù)法，聯(lián)立方程后求解；②用幾何法，設(shè)點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行求解；③利用結(jié)論3，將切線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，獲得橢圓的長軸長為4.

設(shè)計(jì)意圖：例題訓(xùn)練不僅能夯實(shí)學(xué)生的“四基”，還能有效地啟發(fā)學(xué)生的思維，為知識(shí)的靈活應(yīng)用與“四能”的發(fā)展奠定基礎(chǔ).通過以上兩個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生從多角度探索問題，不僅拓寬了學(xué)生的視野，還有效地突破了學(xué)生思維定式的禁錮，讓學(xué)生能靈敏地應(yīng)對(duì)各類新的問題，并學(xué)會(huì)從不同角度分析與思考問題，這種教學(xué)方式可以有效地促進(jìn)學(xué)生成為獨(dú)具個(gè)性的學(xué)習(xí)者.

4.第四個(gè)環(huán)節(jié)：拓展啟發(fā)思考

新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循“以教材為根本”的原則，教師應(yīng)揣摩編者的意圖，圍繞核心知識(shí)組織教學(xué).教材所呈現(xiàn)的知識(shí)是靜止的、固化的，但實(shí)際教學(xué)卻是動(dòng)態(tài)的、多維的.鑒于此，教師在以實(shí)驗(yàn)操作為主導(dǎo)的教學(xué)活動(dòng)中，也要注重知識(shí)的拓展和延伸，以增加教育的內(nèi)涵，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值與意義.

創(chuàng)造性地應(yīng)用教材，在課堂中根據(jù)實(shí)際教學(xué)需求，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旌屯卣?，?duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)思維發(fā)展具有一定的意義.作為教師，需潛心研究學(xué)生和知識(shí)的特點(diǎn)，通過豐富多樣的教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生從不同角度拓寬知識(shí)面，讓學(xué)生充分理解知識(shí)所蘊(yùn)含的辯證規(guī)律和科學(xué)精神，感知數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力.

師：大家在紙上畫圓O，并在該圓外取一個(gè)定點(diǎn)F，折疊紙片，讓圓周經(jīng)過點(diǎn)F，展開紙片可得到折痕l（為了看清，可用鉛筆將l勾勒出來）.按照這種方式進(jìn)行多次折疊，獲得了大量折痕，觀察折痕輪廓，說說得到了什么曲線（見圖5）.

圖5

學(xué)生經(jīng)過觀察、類比、歸納推理，一致猜想所獲得的曲線為雙曲線，證明過程有待于課后研究.

設(shè)計(jì)意圖：此拓展是對(duì)本節(jié)課教學(xué)主題的深入探究，教師在下課前，巧妙地將培養(yǎng)學(xué)生“四能”的活動(dòng)延伸到課堂之外，隨著問題的提出，再一次有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究的積極性.在教師的點(diǎn)撥與啟發(fā)下，學(xué)生的思維經(jīng)歷了由淺入深、由易到難的發(fā)展過程.尤其是此問，不僅具有一定的難度，還是一個(gè)典型的開放性問題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新意識(shí)有著顯著幫助.

5.第五個(gè)環(huán)節(jié)：總結(jié)引發(fā)思考

本節(jié)課以折紙這個(gè)操作實(shí)驗(yàn)作為探索知識(shí)的主要手段，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”和“四能”具有重要的價(jià)值和意義.教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)的設(shè)置、驗(yàn)證、應(yīng)用、思考等，都圍繞著“折痕”而展開，每個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、逐層遞進(jìn)，學(xué)生不斷地質(zhì)疑、釋疑，思維經(jīng)歷了豐富的猜想、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證、靈活的應(yīng)用、類比分析等過程，有效地促進(jìn)了學(xué)生各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的形成和發(fā)展.

通過以上實(shí)驗(yàn)操作的實(shí)施，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的事物，感知生活與數(shù)學(xué)密不可分的聯(lián)系，還獲得了從生活事物中抽象數(shù)學(xué)模型的能力.尤其是一邊操作一邊描述的教學(xué)方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了用多種方式來解釋身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，為形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).

教學(xué)反思

1.圍繞“四基”和“四能”展開實(shí)驗(yàn)教學(xué)

“四基”和“四能”是課堂教學(xué)的主要目標(biāo)，本節(jié)課通過五個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證、理解、應(yīng)用、拓展、總結(jié)、思考等環(huán)節(jié)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、問題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等具有顯著的促進(jìn)作用.反觀這五個(gè)環(huán)節(jié)，都是圍繞培養(yǎng)學(xué)生的“四基”和“四能”進(jìn)行的.

2.教師需站到宏觀的角度引領(lǐng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究

隨著新課改的推進(jìn)，不論是對(duì)教師的教學(xué)水平，還是對(duì)知識(shí)儲(chǔ)備的要求都越來越高.作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)不斷地增強(qiáng)自身的專業(yè)水平，為學(xué)生源源不斷地輸入“活水”.本節(jié)課的例題源于教材，教師讓學(xué)生親歷實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)折紙后所形成的輪廓線為一個(gè)橢圓，這種觀察更偏感性認(rèn)識(shí)，缺乏理性思考.

其實(shí)，折紙實(shí)驗(yàn)后所形成的橢圓，涉及折痕與切線之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上來看，就是要研究二者的一致性，此時(shí)的探究具有明顯的邏輯性，符合對(duì)知識(shí)理性認(rèn)識(shí)的范疇.受時(shí)空的限制，有些問題不便于課堂上進(jìn)行研究，作為教師，應(yīng)有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備和能力，將復(fù)雜的問題深入淺出地傳授給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的探索欲.

3.用實(shí)驗(yàn)的感性推進(jìn)理性思維的發(fā)展

實(shí)驗(yàn)操作帶給學(xué)生的先是視覺沖突，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)形成感性認(rèn)識(shí)，這是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的基本步驟［3］.如例1讓學(xué)生求橢圓上某點(diǎn)的切線，就可以與圓上某點(diǎn)的切線進(jìn)行類比，獲得切線方程.這種處理方式從邏輯上來看，缺乏一定的嚴(yán)密性.而將橢圓方程與直線方程聯(lián)立方程組的方法，所獲得的切線方程則屬于理性層面的分析，凸顯了解析幾何的靈魂.

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生提供了動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)了知識(shí)的再創(chuàng)造過程，從很大程度上提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)手能力、思維能力、創(chuàng)新意識(shí)等.注重實(shí)驗(yàn)操作教學(xué)，不僅能讓學(xué)生在操作、觀察、思考等層面訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，還能有效地提高教學(xué)效果，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.