李 玉 陳思伊 陳惠汝

(黃岡師范學(xué)院,湖北 黃岡 438000)

一、問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)學(xué)生從小學(xué)開(kāi)始學(xué)習(xí)加減乘除，到初中學(xué)習(xí)方程，再到高中學(xué)習(xí)復(fù)雜的函數(shù)，因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的每個(gè)階段，有著無(wú)法取代的作用由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段

歷屆高考都有對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，而考生經(jīng)常出現(xiàn)由于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不好而導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)不佳的現(xiàn)象這些現(xiàn)象表明在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師自認(rèn)為學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不會(huì)刻意地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，導(dǎo)致學(xué)生自己也不重視數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，將其擱置一旁在實(shí)際的教學(xué)環(huán)境中，大多數(shù)教師不會(huì)在課堂時(shí)間講解具體的運(yùn)算，他們通常將解題方法或解題思路講給學(xué)生為了珍惜課堂上的每一分每一秒，他們往往選擇讓學(xué)生在課下自行計(jì)算但是對(duì)于自制力不好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，下課鈴聲一響，他們就會(huì)把課本收起來(lái)，不會(huì)再看，長(zhǎng)此以往，他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力只會(huì)每況愈下

關(guān)于上述問(wèn)題，許多學(xué)者提出了自己的見(jiàn)解劉明(2000)認(rèn)為學(xué)生的運(yùn)算能力是一種綜合能力，與學(xué)生的記憶能力、思維能力以及空間想象能力有著密不可分的聯(lián)系杜先存(2002)指出，學(xué)生思考問(wèn)題的角度、數(shù)學(xué)運(yùn)算的方式、觀察細(xì)節(jié)的能力等多方面因素對(duì)運(yùn)算能力有很大的影響楊柳青(2007)認(rèn)為學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不熟練、不好的學(xué)習(xí)習(xí)慣以及錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)方法是造成學(xué)生運(yùn)算能力不好的原因，并指出應(yīng)該從四個(gè)方面來(lái)改善：打牢基礎(chǔ)、高效把握課堂、訓(xùn)練良好的思維品質(zhì)和訓(xùn)練良好的心理承受力胡立素(2015)認(rèn)為高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升是不能速成的，需要學(xué)生慢慢積累，需要教師在日常教學(xué)中逐漸渲染運(yùn)算能力的重要性武紹利(2017)認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要想提高學(xué)生的運(yùn)算能力，需要注意兩點(diǎn)：一點(diǎn)是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性，另一點(diǎn)是采取運(yùn)算專題訓(xùn)練李琳(2019)認(rèn)為教師在教學(xué)中應(yīng)該規(guī)范解題步驟，重視數(shù)學(xué)運(yùn)算和引導(dǎo)學(xué)生克服思維定式，從而培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

二、基于SOLO分類理論的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力劃分

SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)分類理論是由澳大利亞教育心理學(xué)家比格斯(Biggs)在1982年首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)水平分類方法.SOLO分類理論是基于學(xué)生對(duì)某一具體問(wèn)題反應(yīng)的分析方法，對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)所達(dá)到的思維水平進(jìn)行由低到高的5個(gè)基本結(jié)構(gòu)層次的等級(jí)劃分：前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平.

陳蓓用不同的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示SOLO的各種水平，并結(jié)合學(xué)生的回答來(lái)判斷學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解水平.王傳兵認(rèn)為SOLO分類法可以讓教師了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，從而進(jìn)行教學(xué)反思，因材施教.艾琿璉、周瑩利用SOLO分類理論對(duì)2016年全國(guó)卷(理科)數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析，從高考數(shù)學(xué)試題命制和高中數(shù)學(xué)教學(xué)兩個(gè)方面提出了自己的建議.雖然各學(xué)者研究的出發(fā)點(diǎn)、視角存在差異性，但是可以看出，SOLO分類理論具有的理論基礎(chǔ)、實(shí)踐性和良好的操作性主要用于學(xué)生解決具體問(wèn)題的評(píng)價(jià)，而且以知識(shí)的考查為評(píng)價(jià)重點(diǎn)，用知識(shí)點(diǎn)的組合運(yùn)用水平來(lái)確定學(xué)生所處的層次，這是SOLO模型的特點(diǎn).

高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了三級(jí)水平劃分，這三種水平的劃分分別指向?qū)W業(yè)考試水平、高考水平和自主招生考試水平，每個(gè)水平中對(duì)各核心素養(yǎng)提出了若干要求.這是針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特征劃分的，如果完全搬遷到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)，就會(huì)有一定的不適應(yīng)性.因此，本研究在參考王光明教授2013年度教育部人文社會(huì)科學(xué)一般項(xiàng)目《高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的操作定義》的基礎(chǔ)上，以SOLO理論的視角解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平的劃分，對(duì)各水平中的描述分別進(jìn)行了分析，如表1所示.

表1 SOLO分類理論下的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力劃分

1觀察下列算式：

71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,79=40353607,

……

根據(jù)上述算式的規(guī)律，請(qǐng)你猜想7的末位數(shù)字是________

學(xué)生空白回答，或者隨意填寫(xiě)一個(gè)不相關(guān)的數(shù)字

學(xué)生通過(guò)觀察上列等式，發(fā)現(xiàn)7和7的末位數(shù)字一樣，7和7的末位數(shù)字一樣的規(guī)律……學(xué)生發(fā)現(xiàn)循環(huán)的周期為4

學(xué)生明白7的末位數(shù)字取決于190除以4的結(jié)果，經(jīng)計(jì)算，190÷4=47……2因此，7的末位數(shù)字與7的末位數(shù)字一樣，即得到7的末位數(shù)字是9的結(jié)論

圖1

2如圖1所示，已知△，△是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)，求證：∠=60°

學(xué)生空白回答，或者只把題目的條件復(fù)述一遍，并沒(méi)有證明的思路

學(xué)生根據(jù)題目中的相關(guān)條件，知道等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都是60°等基本信息，但是無(wú)法想到下一步的推理

學(xué)生通過(guò)等量代換，得到∠=∠，聯(lián)想到全等三角形的知識(shí)，并采用SAS來(lái)證明△≌△學(xué)生得到全等之后，得到∠=∠(對(duì)應(yīng)角相等)的結(jié)論

學(xué)生通過(guò)觀察所求的角和已知的角之間是否存在聯(lián)系，意識(shí)到△與△的內(nèi)角和都是180°(設(shè)，交于點(diǎn))，而且有對(duì)頂角相等，加上通過(guò)全等得到的∠=∠，再次通過(guò)等量代換，可知∠和∠是等價(jià)的由此得證

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生作答如下：

∵△，△是等邊三角形，

∴∠=∠=60°

又∵∠=∠+∠,

∠=∠+∠∴∠=∠

在△和△中，

∴△≌△(SAS)

設(shè)與交于點(diǎn)，

在△和△中,

∵∠=∠(對(duì)頂角相等)

∠=∠(對(duì)應(yīng)角相等)

∴∠=∠=60°(三角形的內(nèi)角和是180°)

圖2

3如圖2所示，在△中，∠=45°，⊥，⊥，垂足分別為和,為中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)，，∠=∠

求證:-=

進(jìn)入新世紀(jì)以來(lái)，人民群眾的精神文化需求不斷升級(jí)。新聞出版業(yè)在滿足人民群眾基本閱讀需求的基礎(chǔ)上，還不斷致力于提升服務(wù)層次和服務(wù)水平，以滿足人民群眾個(gè)性化需求、高水平的體驗(yàn)消費(fèi)需求和公共文化需求。

學(xué)生空白回答，或者只把題目的條件復(fù)述一遍，并沒(méi)有證明的思路

學(xué)生根據(jù)題目中的∠=∠，⊥，知道△是等腰三角形，垂直平分，但是無(wú)法想到下一步的推理

學(xué)生再次讀題，結(jié)合∠=45°，⊥和為中點(diǎn)這些條件，可以推理得到△是等腰直角三角形，垂直平分學(xué)生意識(shí)到需要做輔助線將已知條件聯(lián)系起來(lái)

學(xué)生通過(guò)對(duì)求證的等式進(jìn)行變形，得到=+通過(guò)觀察等式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要證明的等式與勾股定理結(jié)構(gòu)相似，遂連接

學(xué)生通過(guò)連接輔助線，可以在直角三角形中得到=+，通過(guò)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，可以進(jìn)行等量代換，即=，=，從而可證-=

拓展抽象水平的學(xué)生作答如下：

∵∠=∠，⊥，

∴=，是的垂直平分線

∵為中點(diǎn)，∠=45°，△是等腰直角三角形，

∴為的垂直平分線

連接，在⊿中，

+=

再通過(guò)等量代換，=，=，

∴-=

由以上案例可知，我們?cè)趯OLO分類理論與具體學(xué)習(xí)內(nèi)容相結(jié)合來(lái)分析學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平時(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的分析是細(xì)化的，這種細(xì)化可以幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到自身的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平并找出學(xué)習(xí)側(cè)重方向，進(jìn)而科學(xué)安排在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)各部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的時(shí)間分配，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，同時(shí)能幫助教師認(rèn)識(shí)到學(xué)生的薄弱之處，進(jìn)而有助于教師調(diào)整教學(xué)策略

三、影響中學(xué)生運(yùn)算能力的因素

要想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，教師需要了解影響學(xué)生運(yùn)算能力的因素筆者在實(shí)習(xí)期間通過(guò)批改作業(yè)和訪談將影響學(xué)生運(yùn)算能力的因素分為以下三類

(一)概念、公式記憶模糊

部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶模糊，記不住知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)在運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤部分學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候直接記住概念的名稱和符號(hào)，而沒(méi)有弄清楚概念的細(xì)節(jié)及其適用范圍由此可見(jiàn)，學(xué)生只有真正地理解概念，弄清楚概念之間的關(guān)聯(lián)，再加以練習(xí)，才能熟練掌握概念有些學(xué)生只是記住了公式中字母與字母之間的關(guān)系，而不注重公式的推導(dǎo)過(guò)程，因此不能理解公式的各種變形

(二)運(yùn)算習(xí)慣不好

運(yùn)算習(xí)慣不好包括以下兩個(gè)方面：一方面是審題馬虎看錯(cuò)題目中的數(shù)字或符號(hào)是中學(xué)生在運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有近一半的學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中會(huì)因?yàn)榇中拇笠舛鴣G分另一方面是草稿紙的使用方式不恰當(dāng)部分學(xué)生沒(méi)有固定的草稿紙，經(jīng)常在書(shū)上、桌子上或試卷上進(jìn)行運(yùn)算，這樣就存在一些客觀因素，如桌子上的劃痕、書(shū)上原本的字體，學(xué)生在運(yùn)算的過(guò)程中容易看錯(cuò)數(shù)字，從而導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤有些學(xué)生雖然有草稿紙，但是在草稿紙上字跡潦草，在驗(yàn)算的時(shí)候會(huì)存在困難

(三)運(yùn)算方法不熟悉

運(yùn)算方法是指在面對(duì)復(fù)雜的習(xí)題時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)題目中給出的條件，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算，如換元法、整體迭代法、設(shè)而不求法等部分學(xué)生表示不能靈活運(yùn)用特定的運(yùn)算方法，自己獨(dú)自做題的時(shí)候不能想到合適的方法，需要?jiǎng)e人提醒才能想到這表明學(xué)生對(duì)這些特定的運(yùn)算方法只是了解，卻不夠深入，所以要?jiǎng)e人提醒才會(huì)用教師總結(jié)運(yùn)算方法，或者幫助學(xué)生掌握運(yùn)算的技巧會(huì)使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)化繁為簡(jiǎn)，反之，則會(huì)將簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化

四、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略

隨著我國(guó)教育工作者的努力和創(chuàng)新，新課程改革已經(jīng)啟動(dòng)，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)不斷發(fā)展，而數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的地位仍然重要因此，教師更應(yīng)該緊跟新課標(biāo)的指示，把數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)放到教學(xué)目標(biāo)中去，并在教學(xué)過(guò)程中有效落實(shí)

(一)教師角度

首先，教師要重視對(duì)基本概念的教學(xué)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)概念，如果沒(méi)有掌握好這些基礎(chǔ)概念，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的時(shí)候就會(huì)不知所措因此，第一次引入新概念的課堂十分重要，教師可以要提前做好充分的準(zhǔn)備在教學(xué)的過(guò)程中，教師要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的行為舉止，要讓學(xué)生耳目一新，給學(xué)生留下深刻的印象，再逐步深入，讓學(xué)生記住并理解新的知識(shí)其次，教師在教學(xué)的過(guò)程中要注意培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣教師只有開(kāi)始重視運(yùn)算習(xí)慣，在課堂上多強(qiáng)調(diào)運(yùn)算習(xí)慣的重要性并且板書(shū)規(guī)范的運(yùn)算過(guò)程，才能讓學(xué)生潛移默化地意識(shí)到運(yùn)算習(xí)慣對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性最后，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納運(yùn)算規(guī)律，總結(jié)特定的運(yùn)算方法例如，在教學(xué)數(shù)列的基本知識(shí)之后，教師可以抽取一節(jié)習(xí)題課來(lái)歸納常見(jiàn)的運(yùn)算方法，將求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和常用方法歸納起來(lái)對(duì)于每種方法，教師可以給出兩個(gè)例題，讓學(xué)生先自己求解，再在黑板上板書(shū)具體的步驟，給出習(xí)題，請(qǐng)學(xué)生上來(lái)板書(shū)，或者當(dāng)作課后作業(yè)有了教師歸納的運(yùn)算方法，學(xué)生再碰到不會(huì)的數(shù)列問(wèn)題，翻開(kāi)筆記溫習(xí)一下就好了

(二)學(xué)生角度

首先，學(xué)生要熟記各種基礎(chǔ)概念學(xué)生應(yīng)該對(duì)基本的運(yùn)算規(guī)則、公式定義熟記于心，避免在做題或考試的時(shí)候把公式記錯(cuò)或記混淆而導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤這里的熟記規(guī)則并不是要呆板地記住，而是在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，在遇到不同的問(wèn)題條件下可以靈活運(yùn)用對(duì)于那些難記、易混淆的規(guī)則，學(xué)生可以采取重點(diǎn)記憶、搭配記憶、聯(lián)想記憶等方法其次，學(xué)生要養(yǎng)成好的運(yùn)算習(xí)慣學(xué)生在審題時(shí)一定要仔細(xì)，可以將題目多讀兩遍，不要急著動(dòng)手做題，要先讀懂題意在草稿紙上運(yùn)算時(shí)，學(xué)生的字跡要工整一些，便于檢查和驗(yàn)算最后，學(xué)生要?dú)w納與總結(jié)運(yùn)算方法許多學(xué)生的運(yùn)算能力欠佳，這是因?yàn)槿狈偨Y(jié)與反思，對(duì)于錯(cuò)題，看一眼答案，就覺(jué)得明白了，下次遇見(jiàn)一樣的題還是不會(huì)做因此，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)歸納與總結(jié)，因?yàn)橹挥袕氐赘闱宄约涸谀睦锍鲥e(cuò)，才會(huì)在下次做題的時(shí)候避免這種錯(cuò)誤學(xué)生可以準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，將自己做過(guò)的錯(cuò)題按不同類型、不同錯(cuò)誤原因或錯(cuò)誤的頻次整理在一起，在復(fù)習(xí)的時(shí)候可以再拿出來(lái)寫(xiě)一遍雖然很多學(xué)生明白歸納與總結(jié)的重要性，但是不能拿出一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)間將其落到實(shí)處學(xué)生只有將歸納與總結(jié)落到實(shí)處，才能有效地提高自身的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

五、結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要技能之一，并不是一朝一夕可以提升的教師在日常教學(xué)的過(guò)程中要重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，具體表現(xiàn)在重視對(duì)基本概念的教學(xué)，重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣，重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)運(yùn)算規(guī)律和方法學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要熟記并理解基礎(chǔ)概念和基本的運(yùn)算規(guī)則，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，歸納好錯(cuò)題集總而言之，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升需要教師和學(xué)生的共同努力