重慶實驗外國語學(xué)校 (400039) 李小燕

一、試題與分析

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準線l交x軸于點K，過F作傾斜角為α的直線與C交于A，B兩點，若∠AKB=60°，求sinα的值.(佛山市2021屆高三一模15題)

分析：本題有一個隱藏考點，射線Kx為∠AKB的角平分線(即kKA+kKB=0).其次則是研究sinα與∠AKB的關(guān)系.其中關(guān)于隱藏考點，在2015年全國Ⅰ卷的第20題中便考過類似的性質(zhì)，該題目為：

對比可以發(fā)現(xiàn)模擬題中的結(jié)論更加特殊化，而2015年的試題更具一般性.

二、解法呈現(xiàn)

現(xiàn)將原問題分解成兩個步驟完成，一是隱含的考點，即kKA+kKB=0；二是sinα與∠AKB的關(guān)系.關(guān)于第1個考點，解法如下：

圖1

如何利用該方式進行一般化證明呢？上述問題的一般化形式為：已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l:x=-a交x軸于點K，過P(a,0)作傾斜角為α的直線與C交于A，B兩點，則有射線Kx軸為∠AKB的角平分線(該問題即為2015年試題，僅拋物線的開口方向不同).

為了解決該問題，本文先介紹一下極點極線[1]的相關(guān)定義及性質(zhì).

極點極線的幾何定義[2]點P是不在圓錐曲線上的點，過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則直線MN為點P對應(yīng)的極線.

圖2

圖3

該方法可直接遷移至其他圓錐曲線，例如2018年全國Ⅰ卷第19題[4]便是該性質(zhì)在橢圓中的應(yīng)用.

圖4

三、變式拓展

根據(jù)上述的分析，對于一般的極點與極線都有相關(guān)的結(jié)論.為此，現(xiàn)將原問題作如下變形：

圖5