常銘軒，楊建成，王 磊，劉 杰，申國(guó)棟，馬 伏，李民祥,3

(1.中國(guó)科學(xué)院 近代物理研究所，甘肅 蘭州 730000；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 3.蘭州大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

高亮度的極化電子-離子對(duì)撞機(jī)是研究核子內(nèi)部結(jié)構(gòu)與強(qiáng)相互作用的重要工具，為滿足相關(guān)科研的需求，中國(guó)科學(xué)院近代物理研究所提出在HIAF(high intensity heavy-ion accelerator facility)[1]的基礎(chǔ)上建造極化電子-離子對(duì)撞機(jī)(highly polarized electron-ion collider in China, EicC)[2]。EicC的質(zhì)心能在15～20 GeV之間，電子-質(zhì)子對(duì)撞亮度為2.0×1033cm-2·s-1。

在對(duì)撞區(qū)中，相向運(yùn)動(dòng)并進(jìn)行對(duì)撞的兩個(gè)束團(tuán)會(huì)給對(duì)向束團(tuán)施加電磁相互作用力，從而改變對(duì)向束團(tuán)中粒子的動(dòng)量，這一過(guò)程被稱為束束相互作用。考慮到束束相互作用力是非線性的，且每次對(duì)撞后束團(tuán)分布均會(huì)受束束效應(yīng)影響而發(fā)生變化，因此一般使用PIC(particle in cell)[3-7]方法求解束團(tuán)間的相互作用力，通過(guò)數(shù)值模擬方法計(jì)算束束效應(yīng)的影響。

由于EicC中電子與質(zhì)子束團(tuán)數(shù)目不同，同一電子束團(tuán)會(huì)與多個(gè)質(zhì)子束團(tuán)交替進(jìn)行束束相互作用，質(zhì)子束團(tuán)亦如此。這種不對(duì)稱的對(duì)撞方式會(huì)引起不對(duì)稱的束束效應(yīng)，從而引入在對(duì)稱對(duì)撞模式中不會(huì)出現(xiàn)的共振條件，且增加數(shù)值計(jì)算的復(fù)雜性。針對(duì)這種不對(duì)稱對(duì)撞的設(shè)計(jì)方案，使用自主開(kāi)發(fā)的基于GPU(graphics processing unit)的自洽束束相互作用數(shù)值模擬程序AthenaGPU進(jìn)行模擬計(jì)算。同時(shí)，為從理論上解釋束束相互作用引起的偶極不穩(wěn)定，使用自主開(kāi)發(fā)的包含縱向運(yùn)動(dòng)、沙漏效應(yīng)、束團(tuán)缺失等功能的矩陣計(jì)算程序AthenaMatrix進(jìn)行線性分析[8-10]。

在目前的對(duì)撞模式中，若束流中的束團(tuán)在注入過(guò)程丟失或由于在束團(tuán)間設(shè)置間隔等原因出現(xiàn)缺失，會(huì)破壞原有的平衡態(tài)，束團(tuán)或許會(huì)處于另一平衡態(tài)，也可能會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定并使亮度出現(xiàn)明顯損失[11]。為研究束團(tuán)缺失對(duì)束流穩(wěn)定性的影響，本文分別對(duì)電子束團(tuán)與質(zhì)子束團(tuán)出現(xiàn)缺失的情況進(jìn)行模擬，并結(jié)合線性理論對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析，針對(duì)不穩(wěn)定情況提出相應(yīng)的解決措施。

1 束團(tuán)缺失模擬與計(jì)算

EicC在電子-質(zhì)子(e-p)對(duì)撞模式中的主要設(shè)計(jì)參數(shù)列于表1。為便于討論非對(duì)稱對(duì)撞模式下束流狀態(tài)的變化趨勢(shì)，本文定義兩個(gè)環(huán)中所有束團(tuán)之間均進(jìn)行1次對(duì)撞為完成1個(gè)超周期。對(duì)撞環(huán)中的所有束團(tuán)全為均勻分布的前提下，256個(gè)電子束團(tuán)與448個(gè)質(zhì)子束團(tuán)之間的對(duì)撞可簡(jiǎn)化為4個(gè)電子束團(tuán)與7個(gè)質(zhì)子束團(tuán)對(duì)撞的模式，即EicC中所有束團(tuán)可分為64組互不影響的4e-7p的對(duì)撞組合，在這一對(duì)撞模式中，1個(gè)超周期內(nèi)電子與質(zhì)子束團(tuán)分別旋轉(zhuǎn)了7圈與4圈，共進(jìn)行了28次對(duì)撞。在研究束束效應(yīng)時(shí)，通常使用束束參數(shù)ξ衡量相互作用的強(qiáng)度，束束參數(shù)由式(1)給出：

(1)

其中：+與-用來(lái)區(qū)別參與對(duì)撞的兩種束流；N為每個(gè)束團(tuán)中的粒子數(shù)；r0為粒子經(jīng)典半徑；β為對(duì)撞點(diǎn)處的β函數(shù)；γ為粒子的洛倫茲因子；σ為束團(tuán)在對(duì)撞點(diǎn)處的橫向尺寸。

1.1 缺失電子束團(tuán)

在正常模式即無(wú)束團(tuán)缺失與缺失不同數(shù)目電子束團(tuán)的情況中，模擬所得亮度如圖1所示，其中橘色曲線表示基于正常模式的亮度數(shù)據(jù)在僅考慮束團(tuán)個(gè)數(shù)減少因素后得到的預(yù)期亮度。模擬結(jié)果顯示在這幾種情況中不會(huì)出現(xiàn)偶極、四極或其他形式的不穩(wěn)定。在目前的設(shè)計(jì)參數(shù)中，質(zhì)子束團(tuán)的束束參數(shù)明顯小于電子束團(tuán)的束束參數(shù)。這表明質(zhì)子束團(tuán)通過(guò)束束相互作用對(duì)電子束團(tuán)會(huì)產(chǎn)生明顯的影響，但電子束團(tuán)對(duì)質(zhì)子束團(tuán)的影響很弱。在缺失1個(gè)電子束團(tuán)的情況中，電子與質(zhì)子束團(tuán)的質(zhì)心與尺寸在模擬過(guò)程中未出現(xiàn)不穩(wěn)定，但質(zhì)子束團(tuán)尺寸的增長(zhǎng)率較其他幾種情況更高，因此亮度衰減速度更快。在不同模式中束流所處平衡態(tài)不同，所得亮度可能會(huì)低于預(yù)期亮度(缺失2個(gè)電子束團(tuán))，也可能會(huì)高于預(yù)期亮度(缺失3個(gè)電子束團(tuán))。模擬結(jié)果表明，在目前設(shè)計(jì)參數(shù)下缺失電子束團(tuán)不會(huì)影響束流的相干穩(wěn)定性。

表1 EicC電子-質(zhì)子對(duì)撞模式主要參數(shù)Table 1 Main parameters of EicC in e-p collision mode

圖1 缺失不同數(shù)目的電子束團(tuán)時(shí)亮度隨超周期數(shù)的變化關(guān)系Fig.1 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of electron bunches missing

圖時(shí)使用矩陣方法所得相干頻率的 虛數(shù)部分與的變化Fig.2 Imaginary part of coherent frequency as a

1.2 缺失質(zhì)子束團(tuán)

在缺失不同數(shù)目質(zhì)子束團(tuán)的情況中，模擬所得亮度如圖3所示。在缺失1個(gè)、2個(gè)與3個(gè)質(zhì)子束團(tuán)的情況中，束流均出現(xiàn)了不穩(wěn)定并使亮度發(fā)生了明顯損失，但束流不穩(wěn)定的原因各不相同。

圖3 缺失不同數(shù)目的質(zhì)子束團(tuán)時(shí)亮度隨超周期數(shù)的變化Fig.3 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing

圖4 缺失1個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)電子(a)與質(zhì)子(b)束團(tuán) 垂直方向質(zhì)心與尺寸隨超周期數(shù)的變化Fig.4 Evolution of vertical centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 1 proton bunch missing

缺失1個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)束流在水平方向是穩(wěn)定的，在垂直方向會(huì)出現(xiàn)偶極不穩(wěn)定，電子與質(zhì)子束團(tuán)的質(zhì)心與尺寸在垂直方向的變化如圖4所示?？煽吹?，束團(tuán)質(zhì)心的振幅在超周期數(shù)為20 000時(shí)開(kāi)始逐漸增大，在30 000超周期數(shù)附近束團(tuán)質(zhì)心的振幅達(dá)最大，之后束團(tuán)雖發(fā)生了一定程度的退相干并處在一新的平衡態(tài)，但在這一狀態(tài)中質(zhì)心依然保持較大振幅。對(duì)任意1個(gè)電子束團(tuán)，均在以一固定頻率遇到缺失質(zhì)子束團(tuán)的情況，由于在電子-質(zhì)子對(duì)撞模式中，束束力對(duì)電子束團(tuán)有很強(qiáng)的聚焦效果，因此缺失質(zhì)子束團(tuán)會(huì)明顯影響電子束團(tuán)的尺寸，最終電子束團(tuán)尺寸會(huì)表現(xiàn)為在多個(gè)值之間交替切換的現(xiàn)象，如圖4a中多條曲線所示。質(zhì)子束團(tuán)在退相干過(guò)程中，由于同步輻射阻尼非常弱，束團(tuán)尺寸逐漸增大。而電子束團(tuán)在退相干時(shí)受同步輻射效應(yīng)的影響尺寸不會(huì)增加。隨著質(zhì)子束團(tuán)的尺寸逐漸增加，質(zhì)子對(duì)電子的束束力也在減弱，因此電子束團(tuán)在新平衡態(tài)時(shí)的束團(tuán)尺寸也會(huì)變小。在電子束團(tuán)尺寸減小與質(zhì)子束團(tuán)尺寸增加的過(guò)程中，會(huì)短暫出現(xiàn)亮度增加現(xiàn)象，但在達(dá)到平衡態(tài)時(shí)由于質(zhì)子束團(tuán)尺寸與電子束團(tuán)尺寸相差過(guò)大，最終獲得的亮度會(huì)出現(xiàn)明顯的損失。圖5為使用矩陣方法得到的結(jié)果?？煽吹剑谌笔?個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)，束流在垂直方向恰好會(huì)處在不穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，這與模擬中觀察到的不穩(wěn)定現(xiàn)象吻合。

圖5 缺失1個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)使用矩陣方法所得 相干頻率的虛數(shù)部分與的變化Fig.5 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 1 proton bunch missing

圖6 缺失2個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)電子(a)與質(zhì)子(b)束團(tuán) 水平方向質(zhì)心與尺寸隨超周期數(shù)的變化Fig.6 Evolution of horizontal centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 2 proton bunches missing

缺失2個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)束流在垂直方向始終保持穩(wěn)定，在水平方向會(huì)首先出現(xiàn)四極不穩(wěn)定，隨著四極振蕩的振幅逐漸增加，束團(tuán)質(zhì)心也開(kāi)始振蕩即發(fā)生偶極不穩(wěn)定，電子與質(zhì)子束團(tuán)在水平方向的質(zhì)心與尺寸變化如圖6所示。在四極不穩(wěn)定不斷增強(qiáng)的過(guò)程中束團(tuán)尺寸也在增加，因此束束效應(yīng)引起的相干頻移呈減小趨勢(shì)，當(dāng)相干頻移減小到一定值時(shí)束團(tuán)就離開(kāi)了四極不穩(wěn)定共振區(qū)，這時(shí)就出現(xiàn)了四極不穩(wěn)定消失的現(xiàn)象。由于缺失2個(gè)質(zhì)子束團(tuán)情況中首先出現(xiàn)的是四極不穩(wěn)定，出現(xiàn)偶極不穩(wěn)定時(shí)束流狀態(tài)相比于初始狀態(tài)已發(fā)生了改變，因此矩陣方法的計(jì)算結(jié)果只會(huì)顯示在目前設(shè)計(jì)參數(shù)下，沒(méi)有偶極不穩(wěn)定，如圖7所示。缺失3個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)，束流在垂直方向出現(xiàn)了偶極不穩(wěn)定，與缺失1個(gè)質(zhì)子束團(tuán)的情況類似；同時(shí)，在水平方向出現(xiàn)了四極不穩(wěn)定，與缺失2個(gè)質(zhì)子束團(tuán)的情況類似。缺失更多質(zhì)子束團(tuán)時(shí)，在模擬結(jié)果中未觀察到不穩(wěn)定現(xiàn)象，但模擬所得亮度均低于期望亮度。這說(shuō)明即使缺失質(zhì)子束團(tuán)未引起偶極或四極不穩(wěn)定，仍會(huì)明顯增加亮度損失。

圖7 缺失2個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)使用矩陣方法所得 相干頻率的虛數(shù)部分與的變化Fig.7 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 2 proton bunches missing

2 束團(tuán)缺失不穩(wěn)定的避免

針對(duì)前述質(zhì)子束團(tuán)缺失引起的束流不穩(wěn)定，將通過(guò)調(diào)節(jié)名義工作點(diǎn)使束流離開(kāi)共振區(qū)來(lái)達(dá)到避免不穩(wěn)定的目的。

圖8 調(diào)節(jié)電子垂直方向名義工作點(diǎn)后缺失 1個(gè)質(zhì)子束團(tuán)時(shí)使用矩陣方法所得相干頻率的 虛數(shù)部分與的變化Fig.8 Imaginary part of coherent frequency as a function of after adjusting vertical nominal tune of electron beam for 1 proton bunch missing

圖9 調(diào)節(jié)電子名義工作點(diǎn)后缺失不同數(shù)目 質(zhì)子束團(tuán)時(shí)亮度隨超周期數(shù)的變化Fig.9 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing after adjusting vertical nominal tune of electron beam

上述理論分析與模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)工作點(diǎn)可有效避免共振引起的不穩(wěn)定。對(duì)于束團(tuán)缺失是由注入過(guò)程中誤差引起的情況，這一調(diào)節(jié)方式只在理論上存在可行性，因?yàn)樽⑷霑r(shí)束團(tuán)發(fā)生丟失是偶然現(xiàn)象，要通過(guò)調(diào)節(jié)工作點(diǎn)來(lái)避免束團(tuán)缺失導(dǎo)致的不穩(wěn)定，反而會(huì)影響到多數(shù)處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的束團(tuán)。若束團(tuán)缺失不會(huì)引起電子云不穩(wěn)定等負(fù)面效應(yīng)，可不采取措施來(lái)抑制不穩(wěn)定，反之，應(yīng)踢除所有不穩(wěn)定的電子或質(zhì)子束團(tuán)，或進(jìn)行換束操作。對(duì)于束團(tuán)缺失是由于引入束團(tuán)間隔引起的情況，在EicC的64組束團(tuán)組合均設(shè)置相同的間隔時(shí)調(diào)節(jié)名義工作點(diǎn)的方法是一有效避免出現(xiàn)不穩(wěn)定的措施。對(duì)于只在部分束團(tuán)處設(shè)置間隔的情況，最好是將該位置對(duì)應(yīng)的4個(gè)電子束團(tuán)或7個(gè)質(zhì)子束團(tuán)均置為空束團(tuán)。

3 結(jié)論

本文使用自主開(kāi)發(fā)的束束相互作用模擬程序AthenaGPU與線性理論計(jì)算程序AthenaMatrix，對(duì)EicC在非對(duì)稱對(duì)撞模式中可能出現(xiàn)的束團(tuán)缺失現(xiàn)象進(jìn)行了自洽的模擬分析與理論計(jì)算。

在電子束團(tuán)存在缺失現(xiàn)象時(shí)，缺失任意數(shù)目的束團(tuán)不會(huì)引起束流的不穩(wěn)定，只會(huì)改變束流在平衡態(tài)時(shí)取得的亮度與亮度衰減速率；缺失質(zhì)子束團(tuán)可能會(huì)引起偶極不穩(wěn)定與四極不穩(wěn)定，在調(diào)節(jié)名義工作點(diǎn)使束流離開(kāi)共振區(qū)后可避免出現(xiàn)偶極或四極不穩(wěn)定，但不一定能抑制束團(tuán)缺失對(duì)亮度的負(fù)面影響。對(duì)EicC來(lái)說(shuō)，允許出現(xiàn)電子束團(tuán)缺失的現(xiàn)象，對(duì)于質(zhì)子束團(tuán)發(fā)生缺失的情況，若該情況是由于在注入過(guò)程中的束團(tuán)損失引起，可選擇踢除相關(guān)的不穩(wěn)定束團(tuán)或進(jìn)行換束操作來(lái)避免不穩(wěn)定帶來(lái)的影響，若由在束團(tuán)間設(shè)置間隔引起，可選擇調(diào)節(jié)名義工作點(diǎn)的方法來(lái)避免不穩(wěn)定。