趙文浩， 張 文， 李高磊， 樂 源

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室,成都 610031)

在動力系統(tǒng)中，不同的吸引子在給定參數(shù)的情況下出現(xiàn)共存現(xiàn)象，被稱為多穩(wěn)定性或者多穩(wěn)態(tài)動力學(xué)。多穩(wěn)態(tài)動力學(xué)存在于許多不同的科學(xué)領(lǐng)域中，如力學(xué)系統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)以及自然系統(tǒng)等[1-5]。系統(tǒng)在不同的初始條件下，可能會出現(xiàn)不同的動力學(xué)現(xiàn)象，初始條件決定了多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的最終狀態(tài)。從實際應(yīng)用的角度來說，一方面，多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象會產(chǎn)生不利的影響：為達到特定目的，動力系統(tǒng)需要避免多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，或者在噪聲環(huán)境中把期望的狀態(tài)穩(wěn)定化；另一方面，多穩(wěn)態(tài)存在有利的一面：可以采取一定的控制方法，實現(xiàn)在不改變系統(tǒng)的主要參數(shù)的條件下，使系統(tǒng)到達期望的運動狀態(tài)。

近20年來，關(guān)于多穩(wěn)態(tài)動力學(xué)及其控制的研究是非線性動力學(xué)領(lǐng)域最重要的課題之一[6]，并取得顯著成果。Halse等[7]采用解析法證明了小阻尼齒輪傳動系統(tǒng)在不同初始條件下，存在多穩(wěn)定性共存現(xiàn)象。張惠等[8]利用改進胞映射法研究了含間隙及預(yù)緊彈簧分段光滑碰撞振動系統(tǒng)的共存吸引子的吸引域。Wiggers等[9]考慮了一類具有5個參數(shù)的Van der Pol-Duffing強迫振子的動力學(xué)，在固定系統(tǒng)參數(shù)的條件下，通過吸引域研究周期吸引子與混沌吸引子的共存現(xiàn)象。顏科鵬等[10]采用試驗方法研究了非線性柔性約束梁結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在不同的參數(shù)條件下，梁結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)表現(xiàn)出多個穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，且在外部擾動作用下，各穩(wěn)態(tài)之間可以相互切換。Goswami等[11]利用小諧波參數(shù)調(diào)制法，破壞系統(tǒng)多個吸引子共存的現(xiàn)象，使其變?yōu)閱畏€(wěn)定。柴凱等[12]研究了一類兩自由度非線性隔振系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象，并利用不同控制方法實現(xiàn)了系統(tǒng)不同周期吸引子之間的遷移控制。Liu等[13]利用線性增大控制方法，研究了碰撞系統(tǒng)中共存吸引子的控制問題，并通過延續(xù)方法確定控制參數(shù)，從而在最優(yōu)的性能指標下對系統(tǒng)進行控制。Liu等[14]提出一種間歇控制方法，將該方法應(yīng)用到光滑和非光滑動力系統(tǒng)，并以Duffing振子和碰撞系統(tǒng)為例，用數(shù)值和試驗結(jié)果證明了該方法能使系統(tǒng)在兩個穩(wěn)定吸引子之間切換。

歐陽茹荃等[15]通過平均化方法分析了船舶橫搖的穩(wěn)定性，運用數(shù)值積分與胞映射的方法觀察到吸引子共存現(xiàn)象。胡開業(yè)等[16]設(shè)計了一種可提高船舶橫搖穩(wěn)定性的分岔控制器，并制定相應(yīng)的控制策略，來延緩或抑制系統(tǒng)分岔的產(chǎn)生，最后通過算例分析該控制器和控制方法是正確和有效的。但是，上述的研究結(jié)果只是分析了船舶在正橫規(guī)則波中的穩(wěn)定性，以及抑制或延緩非線性橫搖運動系統(tǒng)分岔的產(chǎn)生，并不能將船舶橫搖系統(tǒng)穩(wěn)定在期望的軌跡上。

本文考慮一類單自由度的船舶橫搖系統(tǒng)，由于存在恢復(fù)力矩和阻尼力矩等因素，系統(tǒng)呈現(xiàn)出強非線性特性。通過間歇控制方法，在不改變系統(tǒng)的主要參數(shù)的情況下，可使系統(tǒng)在不同的狀態(tài)之間切換，將系統(tǒng)的周期解控制到穩(wěn)定的區(qū)域上，從而提高船舶非線性橫搖運動的穩(wěn)定性。

1 船舶橫搖方程

在正橫規(guī)則波中，Nayfeh等[17]假定船舶的波浪擾動力矩與船舶和波浪的相對運動有關(guān)，且正橫規(guī)則波的波長遠大于船波。船舶的橫搖運動微分方程可寫為

(1)

(2)

2 多穩(wěn)態(tài)動力學(xué)

選取Wright和Marshfield的低干舷船模為本文研究對象，其船型參數(shù)見表1[18]。

表1 Wright和Marshfield的低干舷船模參數(shù)表

本文取遭遇波浪頻率Ω=3.18，以最大波傾角F來表征波浪激勵，以F為分岔參數(shù)分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為變化。采用變步長Runge-Kutta法和延續(xù)算法對系統(tǒng)的運動微分方程進行求解，通過選取不同的初值，得到隨參數(shù)F變化的分岔圖，如圖1所示。從分岔圖中可以觀測到，當0.206 5

圖1 系統(tǒng)隨參數(shù)F變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system with respect to F

圖2 當參數(shù)F=0.21時系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.2 Phase trajectory diagram of the system with the parameter F=0.21

圖3 當參數(shù)F=0.211 3時系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象Fig.3 The system produces a chaotic phenomenon with the parameter F=0.211 3

當F=0.21時，系統(tǒng)的全局吸引域如圖4所示。圖中的離散點為吸引子，與分岔圖中吸引子的顏色一一對應(yīng)。從吸引域中可以觀察到，不同吸引子的吸引域邊界具有分形結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出非常復(fù)雜的全局特性。這些吸引子對初值非常敏感，微小的初值擾動都可能使系統(tǒng)被吸引到其他吸引子的吸引域上。吸引域中間也存在一個集中的區(qū)域，此區(qū)域為小振幅周期1吸引子的吸引域，相對于其他類型的吸引子而言，系統(tǒng)在此吸引子下比較穩(wěn)定，是船舶橫搖運動中期望的運動軌跡。

圖4 當參數(shù)F=0.21時系統(tǒng)的全局吸引域Fig.4 The global basins of attraction for the system with the parameter F=0.21

3 間歇控制方法

船舶橫搖運動過程中，具有非常復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象。若在某個初始條件下，其周期解落在這些分形交織的吸引域中，系統(tǒng)是局部不穩(wěn)定的，微小的初始擾動會使系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生改變，此時的船舶在運動過程中極易發(fā)生傾覆。在不改變系統(tǒng)主要參數(shù)的情況下，引入一個控制信號，將落在分形區(qū)域中的周期解控制到集中的區(qū)域上，即圖4中的紅色小振幅周期1吸引子的吸引域。

將船舶橫搖運動方程用一個標準的二階常微分方程來表示為

(3)

(4)

定義e1和e2為當前周期解與期望周期解之間的誤差變量

e1=x-xd

(5)

(6)

用式(4)減去式(3)得到誤差方程

(7)

定義控制信號為

(8)

式中：kp與kd為控制參數(shù)；δ為當前周期解與期望周期解的位移最大允許誤差。定義的控制信號是根據(jù)線性反饋控制方法確定的，但不同于連續(xù)反饋控制，本文提出的控制信號屬于間歇反饋控制，其目的是不改變原系統(tǒng)的動力學(xué)方程以及其共存吸引子。連續(xù)反饋控制是使用的周期時間驅(qū)動控制，而間歇反饋控制是使用的事件驅(qū)動控制，即當滿足領(lǐng)域邊界條件|e1|≤δ時，控制信號的沖力才會在短時間內(nèi)被激活直到誤差變量e1和e2收斂到0。δ定義的最大允許誤差可以區(qū)分連續(xù)反饋控制和間歇反饋控制：當δ足夠小時，控制信號產(chǎn)生的沖力會在短時間間隔內(nèi)不斷施加，屬于間歇反饋控制；當δ無窮大時，控制信號產(chǎn)生的沖力就會一直作用，屬于連續(xù)反饋控制。控制信號的穩(wěn)定性可以通過構(gòu)造一個正定的Lyapunov函數(shù)的方法來確定。Lyapunov函數(shù)的收斂速度可以通過選取適當?shù)膋p與kd參數(shù)來控制。

鄰域邊界條件如圖5所示，圖5中交點表示當前周期解與期望周期解橫搖角相同的時刻，即當e1=0時。也就是說當誤差變量e1小于某個足夠小的值δ時，系統(tǒng)的外部控制信號的沖力才被激活。當時間t不斷增大，系統(tǒng)從當前周期的解軌跡被逐漸控制到期望周期解的軌跡上，控制信號u(t)逐漸衰減到0附近，因此受控系統(tǒng)式(3)就變?yōu)椴皇芸刂频南到y(tǒng)式(4)。這就指出這種控制方法是不改變原系統(tǒng)的動力學(xué)方程以及其共存吸引子的。

圖5 鄰域邊界條件Fig.5 Neighborhood boundary conditions

4 數(shù)值模擬

對于其他具有共存吸引子的非自治動力系統(tǒng)，例如Duffing振子系統(tǒng)以及非光滑碰撞振動系統(tǒng)，數(shù)值結(jié)果均表明該控制方法均有良好的控制效果。

在船舶橫搖的運動過程中，為了不使船舶發(fā)生傾覆，需要將船舶的周期解控制到穩(wěn)定區(qū)域上。本文屬于船舶普遍意義上的動力學(xué)行為的研究，所選參數(shù)均是參考橫搖模型試驗結(jié)果并在可能出現(xiàn)的參數(shù)域中選取的，且具有實際意義。選取系統(tǒng)參數(shù)見表1，得系統(tǒng)方程為

(9)

并取控制參數(shù)kp=1，kd=200，δ=0.01，可得控制方程為

(10)

通過數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)隨時間t變化的控制過程，如圖6所示。圖6(a)展示了系統(tǒng)的橫搖角x和控制信號u(t)的時間歷程圖；圖6(b)展示了系統(tǒng)軌跡的控制過程。研究結(jié)果表明，系統(tǒng)首先是穩(wěn)定在大振幅的周期1響應(yīng)上，在t=8時輸入控制信號，當t=8.225時，當前周期解與期望周期解的軌跡第一次滿足鄰域條件(即|e1|≤δ)。系統(tǒng)受到控制信號的作用，在t∈[8.225,8.265]時從大振幅的周期1響應(yīng)成功被控制到小振幅的周期1響應(yīng)上。同時也可以觀測到，一旦當系統(tǒng)穩(wěn)定在所期望的軌跡上，控制信號就會衰減到0附近。整個控制的暫態(tài)過程非常短暫，僅為0.04 s。這是由于在施加控制時，當前周期解與期望周期解之間的誤差變量e1非常小，而且控制信號u(t)的幅值相當大，能夠在極短的時間內(nèi)使得橫搖角角速度產(chǎn)生巨大的變化。而在實際系統(tǒng)中，還需考慮控制器的能量消耗，若直接施加如此大的一個控制沖力可能會對系統(tǒng)產(chǎn)生一定的影響或者損壞控制器。

圖6 系統(tǒng)的控制過程Fig.6 The control process of the system

接下來，為了避免控制信號幅值過大的問題，對原來的控制方程加以改進。重新定義控制信號為

(11)

式中：umax為輸入的最大控制信號；sign(·)為符號函數(shù)。

這種含約束的間歇控制方法和間歇控制方法類似，不同之處在于，在限制了最大控制信號的情況下，先將當前系統(tǒng)的軌跡控制到一個暫態(tài)的軌跡上，再通過間歇控制不斷的調(diào)整，使其最終穩(wěn)定到期望周期解的軌跡上。取與間歇控制相同的系統(tǒng)參數(shù)以及控制參數(shù)，但將控制信號的最大值限制為umax=60。圖7為該參數(shù)條件下，系統(tǒng)隨時間t變化的控制過程。同樣在t=8時輸入控制信號，當t∈[8.225,8.233]時，沖力第一次被激活，系統(tǒng)被控制到一個暫態(tài)的軌跡上。當系統(tǒng)暫態(tài)的軌跡與期望周期解的軌跡不再滿足鄰域條件時，沖力受到抑制，控制信號跳躍到0，系統(tǒng)處于一個不受控的暫態(tài)軌跡上，直到與期望周期解的軌跡再次滿足鄰域邊界條件時，沖力才被再次激活。從圖7(b)可以看出，在整個控制過程中，系統(tǒng)一共受到了6次間歇脈沖力的作用，大振幅的周期1響應(yīng)被成功控制到小振幅的周期1響應(yīng)上。與間歇控制方法相比，含約束的間歇控制方法具有暫態(tài)動力學(xué)的特性，相對來說，橫搖角角速度的變化沒有那么大，橫搖角在6個間歇的控制中逐漸被控制到期望值，且整個控制過程相對平緩，所經(jīng)歷的時間相對較長。因此，含約束的間歇控制方法可以減少控制器的能量消耗，避免對控制器造成損壞。

圖7 系統(tǒng)的控制過程Fig.7 The control process of the system

5 結(jié) 論

本文研究了一類船舶橫搖系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)多個吸引子共存的動力學(xué)現(xiàn)象，觀察到系統(tǒng)的各個吸引子的吸引域邊界具有分形的幾何特性，落在在分形區(qū)域中的周期解非常不穩(wěn)定。通過引入一個控制信號，將周期解控制到穩(wěn)定的區(qū)域上，以提高船舶橫搖運動的穩(wěn)定性。采用間歇控制的方法，將系統(tǒng)的運動軌跡控制到期望的周期軌跡上。通過數(shù)值模擬方法，繪制了控制過程的時間歷程圖以及相軌跡圖，驗證了這種控制方法的有效性。系統(tǒng)的期望軌跡既可以通過一次性輸入較大的控制信號來實現(xiàn)，也可以通過分多次輸入較小的控制信號來實現(xiàn)。通過對比發(fā)現(xiàn)，含約束的間歇性控制方法的整個控制過程相對平緩，同時又可以控制單次輸入信號的強度大小，更適用于多穩(wěn)態(tài)的動力系統(tǒng)。本文的研究結(jié)果對于提高船舶橫搖時的穩(wěn)定性有一定的理論參考意義，此控制方法同樣適用于其他存在吸引子共存的非自治動力系統(tǒng)，具有一定的普適性。