殷 彤， 及春寧， 宋立群， 袁德奎

(1. 天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300350; 2. 天津大學 機械工程學院，天津 300350)

當水流經過具有陡峭后緣的結構時，會在結構的背流側發(fā)生交替漩渦的生成與瀉放現(xiàn)象。與之相聯(lián)系，結構受到橫流向(垂直于來流方向)周期性的流體力作用，激發(fā)結構的渦激振動(vortex-induced vibration，VIV)。關于均勻圓柱的渦激振動問題，前人已經取得了大量卓有成效的研究成果，對單個和多個均勻圓柱的振動特性、尾流模式、干涉機理等進行了全面而細致的詮釋，讀者可查閱綜述文獻[1-8]。然而實際工程中，圓柱狀結構沿軸向的直徑往往不等，如海洋工程中常見的加裝浮力模塊的海洋立管，其外形是直徑不連續(xù)變化的階梯圓柱。

對于階梯圓柱的尾流和渦激振動問題，當前研究主要集中在：①直徑的不連續(xù)變化對階梯圓柱尾渦結構的影響[9-13]；②直徑比、長細比等因素對階梯圓柱渦激振動的影響；③階梯圓柱不等直徑段之間的振動激勵競爭機制。

Dunn等結合頻譜分析與流場圖像，發(fā)現(xiàn)階梯圓柱后方沿展向形成了3個脫渦單元，即：小直徑段后方的S單元、大直徑段后方的N單元(靠近變截面處)和L單元(遠離變截面處)。N單元的形成與變截面處的“下洗”運動有關，其脫渦頻率比S單元和L單元的脫渦頻率低。Morton等依據(jù)大直徑段的長細比L/D(L和D分別為大直徑段的長度和直徑)，進一步對階梯圓柱的尾渦模式進行劃分。當L/D≥15時，階梯圓柱尾流中存在3個脫渦單元；當8

對于彈性支撐的階梯圓柱，其渦激振動特征與均勻圓柱的明顯不同。Ji等[14]發(fā)現(xiàn)，當直徑比D/d=1.43時(D和d分別為階梯圓柱的大、小直徑)，階梯圓柱的振幅比均勻圓柱的減小了19%；當直徑比D/d=2.0，大直徑段振動鎖定時，小直徑段振動可能處于非鎖定狀態(tài)，并且這種鎖定不同步的現(xiàn)象隨著直徑比的降低而逐漸消失。在不同直徑段振動激勵競爭機制研究方面，Lie等[15]發(fā)現(xiàn)：不同于均勻圓柱只受單個脫渦頻率激勵，加裝浮力塊的階梯立管同時受到兩個頻率的激勵作用。Vandiver等[16]進一步指出：當浮力塊覆蓋率超過50%時，立管振動響應由大直徑浮力塊的脫渦頻率主導。Rao等[17]提出了用以判斷激勵競爭結果的預測模型，并認為長細比L/D是影響立管疲勞損傷率的重要因素。孫友義等[18-19]通過數(shù)值模擬手段，研究了不同浮力塊分布形式下的立管渦激振動疲勞特性，對浮力塊配置方案進行優(yōu)化。

綜上可知，已有針對階梯圓柱的研究成果多關注直徑比和長細比對尾流模式的影響，而對階梯圓柱的渦激振動特性研究較少。在海洋工程應用背景下，相關學者開展了帶浮力塊細長立管渦激振動特性研究，但對振動機理缺少深入的分析，對直徑比和長細比的影響缺少系統(tǒng)的研究。為此，本文作者在低湍流度水槽中開展了均勻來流條件下階梯圓柱渦激振動的試驗研究，探究階梯圓柱渦激振動的振動特性和激勵機制，分析長細比、直徑比對階梯圓柱渦激振動響應的影響。

1 試驗裝置

1.1 階梯圓柱模型

階梯圓柱模型由均勻裸管與外套空心圓管組合而成，如圖1所示。均勻裸管總長436.8 mm(其中淹沒段長度l=272.8 mm)，外徑d=16 mm，質量為71.5 g。裸管為兩端封閉的有機玻璃圓管，力學性能良好，在試驗條件下可視作剛性圓柱。外接空心圓管由8200樹脂材料通過3D打印制成，材料密度為1.12 g/cm3。單個外接空心圓管長度為34.1 mm，內徑為16 mm，外徑D=20 mm,24 mm,32 mm，直徑誤差小于0.2 mm。通過改變外接空心圓管的個數(shù)，可組成不同長細比的階梯圓柱。

1.2 試驗設施與數(shù)據(jù)采集設備

圖2 試驗裝置圖Fig.2 Sketch of experimental facilities

圖3 各測點位置的平均流速和脈動流速均方根值Fig.3 Time averaged velocity and root-mean-square value of fluctuating velocity at different measuring points

試驗設備安裝如圖2所示。振動和測量系統(tǒng)支架由80 mm×80 mm鋁型材制成，力學性能良好，并與地面牢固連接。振動和測量系統(tǒng)支架與試驗水槽分離，避免水泵對振動信號的干擾。為盡可能減小振動系統(tǒng)的結構阻尼，圓柱模型安裝在直線氣浮導軌(Newway S40-03075-038381)上。氣浮導軌由微孔介質滑塊和鋁合金導軌構成，滑塊與導軌之間形成氣膜，無直接接觸，滑動摩擦小?；瑝K通過鋁合金連接件與圓柱模型剛性連接。直線氣浮導軌由空氣壓縮機供氣，氣壓波動范圍0.55～0.58 MPa?；瑝K在導軌上的行程為305 mm，滑塊和連接件的質量為764.8 g。通過自由衰減試驗，測定振動系統(tǒng)在空氣中的阻尼比平均值為5.08×10-3，標準差為2.0×10-4。用兩根線性彈簧連接滑塊與導軌兩端，兩根彈簧的彈性系數(shù)k=27.14 N/m。為減少圓柱末端三維繞流對振動產生的干擾，遵循Fox等[20]的建議，在圓柱模型下方安裝圓矩形端板，并通過兩個流線型立板與水槽底固定。端板由一個半圓形薄板(直徑20 cm)和一個正方形薄板(邊長20 cm)拼接而成，板厚2 mm，邊緣磨尖。端板上表面距離水槽底部5 cm，以消除水槽底部邊界層的影響。圓柱模型放置于半圓形薄板圓心處，與端板之間的間隙小于2 mm。

采用激光測距傳感器(Baumer OADM-2016480/S14F)及配套測量與控制系統(tǒng)(NI USB-6008)對圓柱位移進行測量。傳感器量程為100～600 mm，分辨率為0.015 mm，線性誤差±0.05 mm。傳感器安裝于導軌一側，試驗坐標系原點位于傳感器光源處，x正向為順流向，y正向為橫流向(激光射出方向)，z正向為豎直向上方向。試驗中，圓柱僅沿橫流向(y向)振動。每組試驗以1 000 Hz頻率采樣120 s，并經20 Hz低通濾波，得到圓柱振動響應。

1.3 試驗系統(tǒng)可靠性驗證

采用彈性支撐均勻圓柱單自由度渦激振動對試驗系統(tǒng)的可靠性進行驗證。驗證試驗中，圓柱模型為長436.8 mm(其中淹沒段長度l=272.8 mm)，直徑d=40 mm。試驗設備與1.2節(jié)所述相同。試驗采集了不同流速下的圓柱位移時程，得到了無量綱振幅A*隨折合速度Ur的變化趨勢(A*=A10/d，A10為前10%最大振幅；Ur=U/fn,wd，U為來流流速，fn,w為圓柱在水中的自然頻率)。將所得結果與Khalak等[21]、Zhao等[22]的試驗結果進行比較，無量綱參數(shù)見表1，其中：m*為質量比；ζa為結構阻尼比；m*ζa為質量-阻尼聯(lián)合參數(shù)；A*為無量綱振幅。如圖4所示，本文結果呈現(xiàn)明顯的三分支特性，最大振幅在上端分支取得，最大振幅和鎖定區(qū)間范圍與Khalak等、 Zhao等的結果吻合良好，證實了試驗系統(tǒng)具有良好的可靠性。

圖4 無量綱振幅A*隨折合流速Ur的變化Fig.4 Variation of the dimensionless amplitude A* with the reduced velocity Ur

表1 彈性支撐均勻圓柱渦激振動試驗無量綱參數(shù)Tab.1 Dimensionless parameters in the VIV test of a uniform elastically-supported cylinder

2 試驗工況

采用控制變量法，以大直徑段覆蓋率R(R=L/l×100%，L為大直徑段長度，l為圓柱淹沒長度)和直徑比D/d為自變量，設計試驗工況如下。

(1)覆蓋率：試驗組1～6，R分別為0，12.5%，25%，50%，75%，100%。

(2)直徑比：試驗組4，7，8，D/d分別為1.25，1.5，2。

依據(jù)工況要求選擇外接空心圓管的直徑和長度，各試驗組階梯圓柱，如圖5所示。試驗參數(shù)如表2所示。其中：fn,a和fn,w分別為階梯圓柱在空氣和水中的自然頻率；m為滑塊和階梯圓柱的總質量。由于空心圓管的密度很小，不同工況下階梯圓柱的質量、阻尼比和固有頻率變化較小，其對階梯圓柱渦激振動的影響可忽略不計。然而，由于不同工況下階梯圓柱的體積有較大變化，因此質量比的變化較明顯(m*=6.5～15.2)，這不可避免會影響振動響應的幅值，但影響程度較低。Williamson等指出：隨著質量比的增大，圓柱的振幅逐漸減小，鎖定區(qū)間收窄，并且振幅減小和區(qū)間收窄的幅度在低質量比條件下明顯，而在中等質量比條件(如本文的質量比條件)下較不明顯。

圖5 各工況階梯圓柱示意圖(深色為外接空心圓管安裝位置)Fig.5 Stepped cylinders in each case (the deep rectangular indicates the installation location of the external pipe)

表2 彈性支撐階梯圓柱渦激振動試驗參數(shù)Tab.2 Parameters in the VIV test of a uniform elastically-supported cylinder

3 結果分析

本文對階梯圓柱渦激振動響應的無量綱化處理中統(tǒng)一采用等效直徑D*(D*=RD+(1-R)d)作為參考長度，無量綱振幅定義為A*=A10/D*，無量綱頻率定義為f*=f/fn,w(f為階梯圓柱振動頻率)，折合流速定義為Ur=U/fn,wD*(以大、小圓柱直徑為參考長度，定義Ur,D=U/fn,wD，Ur,d=U/fn,wd)。對于每個工況，來流流速范圍為0.04～0.35 m/s，雷諾數(shù)ReD*范圍為450～6 000(ReD*=UD*/ν，ν為運動黏滯系數(shù))。

根據(jù)圓柱的動力平衡方程

(1)

(2)

式中，ρ為水的密度。

3.1 覆蓋率對振動響應的影響

工況1～6中，大、小直徑段的直徑分別為D=24 mm和d=16 mm，覆蓋率R分別為0%，12.5%，25%，50%，75%，100%，其中0%和100%工況可分別視作直徑為16 mm與24 mm的均勻圓柱。圖6給出了各工況下階梯圓柱無量綱振幅與頻率隨折合流速的變化。

圖6 不同覆蓋率R條件下無量綱振幅A*和無量綱頻率f*隨折合流速Ur的變化Fig.6 Variation of the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur under different coverage rate R

根據(jù)已有研究結果，高m*ζa條件下，均勻圓柱的渦激振動具有兩個響應分支：初始分支(initial branch)和下端分支(lower branch)，無量綱最大振幅約為0.6，出現(xiàn)在初始分支上[23]。低m*ζa條件下，均勻圓柱的渦激振動具有3個響應分支：初始分支、上端分支(upper branch)和下端分支，無量綱振幅約為1.0，在上端分支取得。從本文的結果來看，R=0%的工況，質量比較大，符合高m*ζa渦激振動的特點；而R=100%的工況，質量比較小，比較符合低m*ζa渦激振動的特點。需要指出的是，與Khalak等的試驗(m*ζa=1.08×10-2)相比，R=100%工況的m*ζa(m*ζa=3.71×10-2)仍較大，導致上端分支較窄，最大無量綱振幅略小。

對于階梯圓柱，當覆蓋率較低時(R=12.5%)，振動響應與高m*ζa均勻圓柱的振動響應類似，但下端分支的振幅較大。隨著覆蓋率的增加(R=25%～50%)，在初始分支和下端分支之間出現(xiàn)過渡分支(transition branch)。在過渡分支上，階梯圓柱大、小直徑段的脫渦頻率鎖定在振動頻率上，振動頻率與固有頻率相近，無量綱振幅隨著折合流速的增大而增大，并在過渡分支末端取得最大振幅。初始分支和過渡分支具有不同的振幅增長率，以R=25%工況較為明顯。對比R=25%和50%工況發(fā)現(xiàn)，R=50%時，初始分支較窄，過渡分支的振幅增長更快，初始分支和過渡分支之間的界限更不明顯。此外，均處于鎖定狀態(tài)的過渡分支和下端分支的振動頻率不同，下端分支的振動頻率略大，這與在下端分支上大直徑段的脫渦頻率與振動頻率鎖定有關。隨著覆蓋率進一步增大，初始分支進一步收窄，直至消失(R=75%)，過渡分支占據(jù)整個振幅上升段。

結構振動頻率在初始、過渡和下端分支(鎖定區(qū)間)上均呈現(xiàn)單頻特征，且與結構的固有頻率相近，因而振動響應較為規(guī)律，振幅較大。在非鎖定區(qū)間，結構的振動頻率存在兩個主導頻率，其中的一個頻率與結構的固有頻率相近，另外一個頻率與階梯圓柱的脫渦頻率有關，隨折合流速的增大而近似線性增大。這樣的結果與Khalak等在均勻圓柱渦激振動中得到的結果一致。然而，需要說明的是，對于階梯圓柱工況(R=12.5%～75.0%)，與脫渦相關的無量綱振動頻率f*(f*=fD*/U)低于均勻圓柱的無量綱脫渦頻率St(=fsD/U≈0.2)，這與階梯圓柱后方復雜的三維流場結構引起的較低的脫渦頻率有關。當R=0%和100%時(均勻圓柱工況)，與脫渦相關的無量綱振動頻率f*與均勻圓柱的無量綱脫渦頻率St吻合良好。

進一步對鎖定區(qū)間內的無量綱振動頻率隨折合流速的變化進行分析，如圖7所示。當R=0%和100%時(均勻圓柱工況)，振動頻率具有一個鎖定區(qū)間，并且R=100%的振動頻率高于R=0%的振動頻率。這是因為，當R=100%時，圓柱的質量比較低，附加質量效應明顯，因此鎖定時振動頻率較高。這與Khalak和陳威霖等[24-25]的結論一致。然而，當R=12.5%～75.0%時(階梯圓柱工況)，振動頻率出現(xiàn)兩個鎖定區(qū)間，隨折合流速的增大，依次為第一鎖定區(qū)間和第二鎖定區(qū)間。第二鎖定區(qū)間的振動頻率高于第一鎖定區(qū)間的，兩者之間存在一個過渡區(qū)域。第一鎖定區(qū)間的出現(xiàn)伴隨著過渡分支的出現(xiàn)，而第二鎖定區(qū)間與下端分支對應。本文稱此現(xiàn)象為階梯圓柱渦激振動的“雙鎖定”(dual lock-in)現(xiàn)象。需要說明的是，R=12.5%工況的第一鎖定區(qū)間很短(Ur=5.8～6.3)，并未引起可觀察到的過渡分支(見圖6b)。

圖7 不同覆蓋率R條件下鎖定區(qū)間內無量綱頻率 f*隨折合流速Ur的變化Fig.7 Variation of the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur in the lock-in region under different coverage rates R

引起“雙鎖定”現(xiàn)象的原因與階梯圓柱小直徑段和大直徑段的脫渦頻率隨折合流速增大依次與圓柱的振動頻率鎖定有關。眾所周知，在TrSL區(qū)間(Re=103～105)內，圓柱的無量綱脫渦頻率St(St=fsD/U≈0.2)近乎不變，在相同的流速下，圓柱的脫渦頻率與圓柱的直徑呈反比，直徑越小，脫渦頻率越高，反之亦然。對于階梯圓柱，隨著來流速度的增加，小直徑段的泄渦頻率首先與圓柱的固有頻率接近，引起圓柱振幅增大，振動響應進入初始分支。此時，由于大直徑段的脫渦頻率較低，與固有頻率相差較大，因此大直徑段的脫渦不引起明顯振動。隨著流速的增大，振動響應進入小直徑段的下端分支，此時小直徑段的泄渦鎖定在振動頻率上。與此同時，大直徑段的脫渦頻率與圓柱的固有頻率接近，引發(fā)大直徑段的脫渦與振動之間的鎖定。大小直徑段的鎖定同時發(fā)生，導致階梯圓柱的振幅進一步增大。進一步增大流速，小直徑段的脫渦與振動脫離鎖定，而大直徑段的振動進入下端分支，脫渦與振動保持鎖定。此時階梯圓柱的振幅開始減小，振動進入下端分支。再進一步增大流速，大小直徑段的脫渦與振動均不鎖定，階梯圓柱的振幅很小，振動響應進入非鎖定區(qū)間。以上過程可結合圖8進行理解。

圖8 階梯圓柱渦激振動分支隨流速U的變化Fig.8 Variation of VIV branches of step cylinder with velocity U

除此以外，我們還發(fā)現(xiàn)：對于階梯圓柱，覆蓋率R越高，第一鎖定頻率越低，第二鎖定頻率越高。這可歸因于大直徑段脫渦和渦激振動的影響;在第一鎖定區(qū)間內，由于大直徑段的脫渦頻率較低，R越高時，大直徑段越長，對階梯圓柱振動頻率的拉低效應越明顯;在第二鎖定區(qū)間，小直徑段處于非鎖定狀態(tài)，而大直徑段鎖定。大直徑段越長，階梯圓柱的質量比越低，附加質量效應越明顯，無量綱的鎖定頻率越高。此外，在第二鎖定區(qū)間內，隨著覆蓋率的增加，階梯圓柱的振動頻率逐漸由R=0%工況(小直徑均勻圓柱)向R=100%工況(大直徑均勻圓柱)過渡。

3.2 直徑比的影響

Vandiver等的研究表明，當覆蓋率R較高時，大直徑段主導階梯圓柱的振動響應；反之，當R較低時，小直徑段起主導作用。當R=50%時，大直徑段和小直徑段存在復雜的競爭關系。為了充分研究直徑比對階梯圓柱渦激振動的影響，本節(jié)選取R=50%的工況進行分析。圖9給出了覆蓋率R=50%不同直徑比下(D/d=1.25，1.5，2)無量綱振幅和頻率隨折合流速的變化。對比可知，直徑比對響應分支的影響主要體現(xiàn)在初始分支與過渡分支上，直徑比D/d越大，初始分支越短，過渡分支越長。

圖9 不同直徑比D/d條件下無量綱振幅A*和 無量綱頻率f*隨折合流速Ur的變化Fig.9 Variation of the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur at different diameter ratios D/d

圖10所示為鎖定區(qū)間內不同直徑比階梯圓柱無量綱振動頻率隨折合流速的變化。對比可知，不同直徑比工況下，階梯圓柱的振動響應均呈現(xiàn)“雙鎖定”特性，并且隨著直徑比的增大，第一鎖定頻率小幅降低，而第二鎖定頻率則明顯增加。其原因與覆蓋率對鎖定頻率的影響類似，此處不再贅述。

圖10 不同直徑比D/d條件下鎖定區(qū)間內 無量綱頻率f*隨折合流速Ur的變化Fig.10 Variation of the dimensionless frequency f* with reduced velocity Ur in the lock-in region at different diameter ratios D/d

3.3 階梯圓柱渦激振動的受力特性

根據(jù)式(1)和式(2)，可計算階梯圓柱在渦激振動中所受升力的大小。本節(jié)以試驗組4和6為例，說明升力系數(shù)均方根CL,rms、無量綱振幅A*和無量綱頻率f*隨折合流速的變化，如圖11所示。需要說明的是：試驗組4的圓柱為D=24 mm，d=16 mm，R=50%的階梯圓柱，試驗組6的圓柱為D=24 mm的均勻圓柱。

圖11 升力系數(shù)CL,rms、無量綱振幅A*和 無量綱頻率f*隨折合速度Ur的變化Fig.11 Variation of the lift coefficient CL,rms, the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with reduced velocity Ur

如圖11(a)所示，均勻圓柱的CL,rms在初始分支迅速增加，在上端分支快速減小，最大值在初始分支和上端分支間之間取得。在下端分支，CL,rms較小，隨著折合流速的增大而緩慢減小。上述與Khalak等的結論一致。

對于階梯圓柱來說，與振動響應相對應，升力也呈現(xiàn)出類似的分支特性。如圖11(b)所示，階梯圓柱的CL,rms在初始分支快速增加；隨著過渡分支的出現(xiàn)，CL,rms出現(xiàn)增長拐點(a點)，增長的斜率顯著降低。在過渡分支上，CL,rms先緩增后快減，最大值在Ur=5處取得(b點)。在過渡分支和下端分支的交接處(c點)，CL,rms出現(xiàn)明顯轉折。在下端分支上，CL,rms緩慢降低，值較小。對比可知，階梯圓柱所受升力隨折合流速的變化規(guī)律在初始分支和下端分支上與均勻圓柱的相似。雖然階梯圓柱的過渡分支和均勻圓柱的上端分支均處于初始分支和下端分支之間，但兩者具有明顯的差別。在過渡分支上，階梯圓柱的小直徑段處于下端分支，CL,rms隨折合流速快速降低，而大直徑段處于初始分支，CL,rms隨折合流速快速增加。兩種趨勢相互作用，造成了CL,rms在過渡分支上先增后減的變化趨勢。

4 結 論

本研究在天津大學流體力學試驗室的低湍流度水槽中開展了均勻來流中彈性支撐階梯圓柱的渦激振動試驗，通過改變階梯圓柱的覆蓋率和直徑比，討論了其對振動響應、頻率和升力的影響，得到的研究結論總結如下：

(1)覆蓋率R和直徑比D/d對階梯圓柱渦激振動特性影響顯著。當R=25%～75%時，階梯圓柱的振動響應出現(xiàn) “過渡分支”。在過渡分支上，階梯圓柱的大、小直徑段均處于鎖定狀態(tài)，但小直徑段處于下端分支，而大直徑段處于初始和上端分支。在過渡分支上，階梯圓柱的振幅隨折合流速的增大而增大，階梯圓柱所受升力隨折合流速的增大先增后減。隨著覆蓋率R和直徑比D/d增加，過渡分支逐漸變寬，與此同時，初始分支逐漸收窄。

(2)發(fā)現(xiàn)了階梯圓柱渦激振動“雙鎖定”現(xiàn)象。在鎖定區(qū)間內，階梯圓柱的振動頻率隨著折合流速的增加先后鎖定在兩個頻率上，且第一鎖定頻率略低于第二鎖定頻率。第一鎖定區(qū)間對應過渡分支，而第二鎖定區(qū)間對應下端分支。隨著覆蓋率R和直徑比D/d增加，第一鎖定頻率小幅降低，而第二鎖定頻率明顯增加。

本研究僅對階梯圓柱渦激振動的振動響應和受力特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)了區(qū)別于均勻圓柱渦激振動的振動特性，并給出了初步的機理解釋。然而，更深入地認識階梯圓柱渦激振動的物理規(guī)律需要更進一步開展流動顯示模型試驗和數(shù)值模擬，對階梯圓柱的尾渦結構以及尾流與柱體振動之間的相互作用進行研究。