劉章軍， 姜云木， 劉子心， 岳慶霞

(1. 三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002； 2. 武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430074； 3. 防災(zāi)科技學(xué)院 中國(guó)地震局建筑物破壞機(jī)理與防御重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 三河 065201； 4. 山東建筑大學(xué) 建筑結(jié)構(gòu)加固改造與地下空間工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南 250101)

我國(guó)位于環(huán)太平洋地震帶與歐亞地震帶交匯處，斷裂帶分布廣泛，頻發(fā)的地震災(zāi)害對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)造成了不可估量的損失[1]。研究表明，地震動(dòng)是一個(gè)典型的多分量共同運(yùn)動(dòng)過(guò)程，通常包含3個(gè)平動(dòng)分量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量。由于轉(zhuǎn)動(dòng)分量的研究受到目前強(qiáng)震觀測(cè)水平的限制，進(jìn)展較為緩慢[2]，因此本文僅考慮3個(gè)平動(dòng)分量。實(shí)踐表明，大型工程結(jié)構(gòu)在多維地震作用下的動(dòng)力反應(yīng)與破壞模式更加復(fù)雜，因此，在抗震分析時(shí)應(yīng)充分考慮地震動(dòng)的多維特性[3]。然而，受場(chǎng)地條件等客觀因素限制，現(xiàn)有的實(shí)測(cè)多維強(qiáng)震記錄難以完全滿足工程分析中對(duì)地震動(dòng)輸入的各種需求。因此，多維地震動(dòng)的人工模擬方法近年來(lái)受到廣泛關(guān)注。

目前，基于地震動(dòng)過(guò)程的隨機(jī)模型，考慮平動(dòng)方向分量間的相干性及參數(shù)關(guān)系，即可實(shí)現(xiàn)多維地震動(dòng)的建模。在此方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者取得了一系列成果。對(duì)于多維地震動(dòng)各分量間的相干性，目前廣泛應(yīng)用的是松島豐相干函數(shù)模型[4]，該模型將不同方向分量間的相干性簡(jiǎn)化成一個(gè)包絡(luò)常數(shù)，實(shí)現(xiàn)了多維地震動(dòng)相干性的簡(jiǎn)化定量描述；李忠獻(xiàn)等[5]根據(jù)抗震規(guī)范中多維地震動(dòng)加速度分量最大值的調(diào)整比例，確定了三方向分量功率譜的比值，并建議了一種多維地震動(dòng)相干函數(shù)模型。對(duì)于多維地震動(dòng)演變功率譜的建模，黃玉平等[6]對(duì)11組水平雙向地震加速度記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)兩水平方向地震動(dòng)分量的相關(guān)性較高，平均自功率譜的形狀大致相同，互功率譜的形狀與自功率譜相近；薛素鐸等[7]根據(jù)地震動(dòng)波動(dòng)理論，總結(jié)了水平方向分量與豎直方向分量的場(chǎng)地卓越圓頻率以及譜強(qiáng)度因子之間的關(guān)系；李英民等[8]基于實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄，建議了一種適用于多維地震動(dòng)的四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)模型，并給出了不同地震動(dòng)分組與場(chǎng)地類別所對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值。此外，Penzien等[9]建議了地震動(dòng)的主軸模型，其廣泛應(yīng)用于多維地震動(dòng)抗震分析的反應(yīng)譜法中；Bozorgnia等[10]對(duì)多維地震動(dòng)的工程特性進(jìn)行了研究，給出了豎向地震動(dòng)的反應(yīng)譜規(guī)律；Bommer等[11]提出了一種可以預(yù)測(cè)地震動(dòng)豎向分量與水平分量加速度反應(yīng)譜比值的模型。

雖然上述研究在多維地震動(dòng)建模方面取得了較大進(jìn)展，但仍存在如下問(wèn)題：①對(duì)于多維地震動(dòng)平動(dòng)分量之間的相干性，提出的模型過(guò)于簡(jiǎn)化，且尚未考慮相干性隨頻率的變化規(guī)律；②并未從強(qiáng)度、頻譜和持時(shí)等工程特性方面系統(tǒng)地建立多維地震動(dòng)演變功率譜模型；③選用的實(shí)測(cè)多維強(qiáng)震記錄偏少，導(dǎo)致提出的模型適用性有限。針對(duì)上述研究現(xiàn)狀，本文擬根據(jù)篩選的1 766組實(shí)測(cè)多維強(qiáng)震記錄，開(kāi)展以下工作：首先，研究多維地震動(dòng)平動(dòng)分量間的相干性，建議一類較為精確的多維相干函數(shù)模型；其次，著眼于地震動(dòng)的工程特性，建立多維地震動(dòng)的演變功率譜模型；最后，基于本征正交分解的隨機(jī)向量過(guò)程降維方法[12-14]，實(shí)現(xiàn)僅用兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可有效模擬多維地震動(dòng)向量過(guò)程。由于降維方法生成的代表性時(shí)程具有完備的概率信息，因此可與概率密度演化理論[15-16]結(jié)合，實(shí)現(xiàn)多維地震作用下復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的精細(xì)化動(dòng)力反應(yīng)及可靠度分析。

1 實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的選取

本文從美國(guó)太平洋地震工程研究中心NGA-West2地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)中篩選了1 766組實(shí)測(cè)多維強(qiáng)震記錄，其篩選原則如下：

(1)斷層距離應(yīng)大于10 km，以減少近場(chǎng)效應(yīng)的影響。

(2)實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄的矩震級(jí)應(yīng)大于5，以排除對(duì)結(jié)構(gòu)影響較小的地震動(dòng)。

對(duì)于選取的實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄，Rjb(Joyner-Boore距離，即地震記錄臺(tái)站到斷層面表面投影的最短距離)范圍為0～540 km；VS30(地表以下30 m內(nèi)平均剪切波速)范圍為106.83～1 525.85 m/s；矩震級(jí)MW范圍為5.0～7.9。

同時(shí)，根據(jù)VS30將實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄按照GB 18306—2015《中國(guó)地震動(dòng)參數(shù)區(qū)劃圖》[17]中建議的I0，I1，II，III，IV五類場(chǎng)地進(jìn)行分類。結(jié)合相關(guān)研究成果[18-19]，表1給出了場(chǎng)地類別與VS30的對(duì)應(yīng)關(guān)系及實(shí)測(cè)記錄數(shù)量。

表1 場(chǎng)地分類與VS30的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.1 The relationship between the soil site classification and VS30

進(jìn)一步，對(duì)實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄進(jìn)行四階Butterworth濾波處理以及1%～99%內(nèi)能量截取，以保證結(jié)果的可靠性。

2 多維地震動(dòng)相干函數(shù)模型

日本學(xué)者松島豐提出的多維地震動(dòng)相干函數(shù)模型

(1)

式中:γ為相干函數(shù)矩陣；非對(duì)角元素γij(j≠i)為多維地震動(dòng)的第i個(gè)與第j個(gè)平動(dòng)分量間的相干性。該模型將多維地震動(dòng)的相干性簡(jiǎn)化成一種包絡(luò)常數(shù)，便于應(yīng)用，但其高估了地震動(dòng)平動(dòng)分量間的相干性，且未能體現(xiàn)隨頻率的變化趨勢(shì)。為此，本文根據(jù)選取的實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄，對(duì)多維地震動(dòng)的相干性進(jìn)行建模。

實(shí)際上，地震動(dòng)的相干效應(yīng)包括遲滯相干效應(yīng)、行波效應(yīng)和局部場(chǎng)地效應(yīng)，由于本文研究的是同一點(diǎn)處不同方向分量間的相干性，因此僅涉及到遲滯相干效應(yīng)，故將遲滯相干函數(shù)簡(jiǎn)稱為相干函數(shù)。

根據(jù)式(2)，分別計(jì)算1 766組不同方向分量間的實(shí)測(cè)相干函數(shù)，其均值與標(biāo)準(zhǔn)差如圖1所示。

圖1 實(shí)測(cè)多維強(qiáng)震記錄不同方向分量間相干函數(shù)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差Fig.1 Mean and standard derivation of the coherence function between different directional components of measured multi-dimensional ground motion records

由圖1可見(jiàn)，地震動(dòng)不同方向分量間的相干性類似地震動(dòng)的包絡(luò)函數(shù)，大致呈現(xiàn)出先遞增、再平穩(wěn)、后衰減的趨勢(shì)，且峰值在0.6左右；而標(biāo)準(zhǔn)差先增大后減小。據(jù)此，本文建議了一種傅里葉級(jí)數(shù)模型

Ckcos(k×D×ω)]

(3)

(4)

表2 相干函數(shù)模型參數(shù)取值Tab.2 Parameter values of the proposed coherence function model

圖2給出了相干函數(shù)模型與實(shí)測(cè)相干函數(shù)均值的對(duì)比?？梢?jiàn)，相干函數(shù)模型能夠反映多維地震動(dòng)相干性隨頻率變化的趨勢(shì)，驗(yàn)證了該模型的有效性。

圖2 多維地震動(dòng)相干函數(shù)模型與實(shí)測(cè)記錄擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of multi-dimensional ground motion coherence function model and the measured records

3 多維地震動(dòng)的演變功率譜的建模

3.1 多維地震動(dòng)的演變功率譜模型

多維地震動(dòng)平動(dòng)分量均采用統(tǒng)一的演變功率譜模型，其區(qū)別在于模型參數(shù)的取值不同。為簡(jiǎn)便之，采用強(qiáng)度非平穩(wěn)的演變功率譜模型[20]

(5)

對(duì)于強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，采用王光遠(yuǎn)提出的指數(shù)模型

(6)

式中:ci為地震動(dòng)峰值到達(dá)時(shí)刻；di為強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的形狀參數(shù)。于是，強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)向量λq,i=(ci,di)。

平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程的雙邊功率譜采用經(jīng)典的Kanai-Tajimi譜模型[21]

式中：ωg,i和ξg，i分別為場(chǎng)地土的卓越圓頻率和阻尼比；S0,i為譜強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為[22]

(8)

根據(jù)式(6)～式(8)，多維地震動(dòng)的演變功率譜S(ω,t;λS,i)的參數(shù)向量λS,i為

(9)

3.2 多維地震動(dòng)的持時(shí)特性參數(shù)識(shí)別

(10)

表3 多維地震動(dòng)強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)參數(shù)取值Tab.3 Parameter values of intensity modulation function upon multi-dimensional ground motions

3.3 多維地震動(dòng)的頻譜特性參數(shù)識(shí)別

(11)

于是，假定同一組實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄各分量的場(chǎng)地土阻尼比相等，則對(duì)于第m組的第i、第j個(gè)平動(dòng)分量間的卓越圓頻率之比為

(12)

表4給出了不同場(chǎng)地平動(dòng)分量間的卓越圓頻率之比的均值?？梢?jiàn)，水平分量間的卓越圓頻率大致相同，且通常小于豎向分量的卓越圓頻率。

表4 多維地震動(dòng)卓越圓頻率比值Tab.4 Ratio of predominant circular frequency of multi-dimensional ground motion

3.4 多維地震動(dòng)的幅值特性參數(shù)識(shí)別

(13)

對(duì)于具有演變功率譜S(ω,t;λS,i)的地震動(dòng)過(guò)程，其能量曲線P(t;λS,i)可定義為

(14)

令

(15)

由帕薩瓦爾定理可知，信號(hào)的時(shí)域總能量與頻域總能量相等，即

由此，可得

(17)

(18)

(19)

表5給出了不同場(chǎng)地類別的多維地震動(dòng)平動(dòng)分量間峰值因子比值以及峰值加速度比值的均值。可見(jiàn)，水平分量間的峰值因子以及峰值加速度都大體相同，而水平分量與豎向分量的峰值因子比值隨場(chǎng)地土變軟弱而逐漸變小，峰值加速度比值則具有完全相反的變化趨勢(shì)。

表5 峰值因子比值與峰值加速度比值Tab.5 Peak factor ratio and peak acceleration ratio

總之，通過(guò)給定x向分量的演變功率譜模型參數(shù)，根據(jù)3.2節(jié)、3.3節(jié)及3.4節(jié)，便可得到其他方向分量的演變功率譜參數(shù)。進(jìn)一步，將不同方向的演變功率譜模型參數(shù)分別代入式(5)，即可得到多維地震動(dòng)三方向分量的演變功率譜密度函數(shù)S(ω,t;λS,1)，S(ω,t;λS,2)和S(ω，t;λS,3)。

4 基于POD的多維地震動(dòng)降維模擬

4.1 基于正交隨機(jī)變量的POD表達(dá)

工程上常將多維地震動(dòng)看作零均值的1D-3V(一維三變量)隨機(jī)向量過(guò)程，進(jìn)而可采用本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法進(jìn)行模擬。令隨機(jī)向量過(guò)程u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]，其中u1(t),u2(t)和u3(t)分別表示x,y和z向的地震動(dòng)分量過(guò)程，其演變功率譜密度矩陣S(ω,t)可表示為

(20)

其中，S(ω,t)可分解為如下的形式

(21)

(22)

式中：特征向量矩陣Ψ(ω)=[ψ1(ω),ψ2(ω),ψ3(ω)]；特征值對(duì)角矩陣Λ(ω)=diag[Λ1(ω),Λ2(ω),Λ3(ω)]；I為3×3階的單位矩陣。

進(jìn)一步地，令

ψj(ω)=χj(ω)+iZj(ω)，j=1,2,3

(23)

式中:i為虛數(shù)單位;χj(ω)=[χ1j(ω),χ2j(ω),χ3j(ω)]T;Zj(ω)=[Z1j(ω),Z2j(ω),Z3j(ω)]T。

根據(jù)劉章軍的研究及文獻(xiàn)[24]，多維地震動(dòng)過(guò)程u(t)的第i個(gè)分量過(guò)程ui(t)的POD表達(dá)式為

[χij(ωk)(Rjkcosωkt-Ijksinωkt)-

Zij(ωk)(Rjksinωkt+Ijkcosωkt)]，i=1,2,3(24)

式中:N為頻率離散點(diǎn)數(shù)；Δω為頻率步長(zhǎng)；Rjk和Ijk為零均值的正交隨機(jī)變量，滿足以下基本條件

(25)

4.2 正交隨機(jī)變量的降維表達(dá)

隨機(jī)向量過(guò)程的POD方法在本質(zhì)上屬于Monte Carlo方法。該方法通常需要大量隨機(jī)抽樣才能達(dá)到令人滿意的模擬精度：一方面，高維隨機(jī)變量導(dǎo)致生成的樣本數(shù)量巨大，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析的計(jì)算效率；另一方面，隨機(jī)抽樣的本質(zhì)導(dǎo)致生成的樣本概率信息不完備，無(wú)法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)化動(dòng)力反應(yīng)分析和動(dòng)力可靠性評(píng)價(jià)。為克服上述挑戰(zhàn)，本文引入基于隨機(jī)函數(shù)的降維思想，將正交隨機(jī)變量{Rjk,Ijk}定義為如下的隨機(jī)函數(shù)形式

(26)

式中，Θq(q=1,2)為在區(qū)間(0,2π]內(nèi)均勻分布且相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量。

顯然，式(26)定義的隨機(jī)函數(shù)形式完全滿足式(25)的基本條件。通過(guò)降維方法，僅需兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可精細(xì)化模擬多維地震動(dòng)過(guò)程，且生成的代表性時(shí)程構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，為與概率密度演化方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)精細(xì)化動(dòng)力反應(yīng)分析與動(dòng)力可靠性評(píng)價(jià)奠定了有力基礎(chǔ)。

5 模擬步驟

多維地震動(dòng)過(guò)程的模擬步驟如下：

步驟2構(gòu)造多維地震動(dòng)過(guò)程的演變功率譜模型。給定x向分量的演變功率譜參數(shù)，隨后根據(jù)表3、表4和表5確定y,z向分量的演變功率譜參數(shù)。將參數(shù)代入式(5)～式(7)，即可確定多維地震動(dòng)的演變功率譜S(ω,t;λS,i)。

步驟4確定正交隨機(jī)變量集{Rjk,Ijk}。將步驟3中生成的Θq(q=1,2)的代表性點(diǎn)集代入式(26)，此處，需要注意的是，為實(shí)現(xiàn)多維地震動(dòng)向量過(guò)程的模擬，需要進(jìn)行確定性的隨機(jī)序列變換(s,l)→(j,k)。這一確定性的一一映射過(guò)程可以通過(guò)MATLAB工具箱中的rand(‘state’,0)和temp=randperm(3×N)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。這樣，即可唯一確定正交隨機(jī)變量集{Rjk,Ijk}。

6 數(shù)值算例

在本算例中，以II類場(chǎng)地為例，地震動(dòng)設(shè)防烈度為8度，模擬持時(shí)30 s，時(shí)間步長(zhǎng)0.01 s，截?cái)囝l率240 rad/s，頻率步長(zhǎng)0.15 rad/s，代表性時(shí)程數(shù)量為144，演變功率譜參數(shù)的取值具體如表6所示。

表6 多維地震動(dòng)演變功率譜取值Tab.6 Evolutionary power spectrum parameter values of simulated multi-dimensional ground motion

圖3為采用降維方法生成的多維地震動(dòng)。其中，圖3(a)為多維地震動(dòng)的代表性時(shí)程；圖3(b)為相干函數(shù)模擬值與實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄的對(duì)比結(jié)果；圖3(c)為演變功率譜模擬值與相應(yīng)目標(biāo)值的對(duì)比結(jié)果。從圖3(a)可以看出，不同方向分量的地震動(dòng)代表性時(shí)程在持時(shí)、頻譜、幅值等方面都顯示出較大的差異性，具有顯著的多維地震動(dòng)特征。從圖3(b)和圖3(c)可以看出，相干函數(shù)的模擬值和演變功率譜的模擬值均與各自的目標(biāo)值擬合良好，證明了降維方法的有效性。

圖3 采用降維模擬方法生成的多維地震動(dòng)結(jié)果Fig.3 Simulation results of multi-dimensional ground motion generated by the dimension-reduction method

為進(jìn)一步證明降維方法的精確性，表7分別計(jì)算了144條和987條代表性時(shí)程的均值平均相對(duì)誤差與標(biāo)準(zhǔn)差平均相對(duì)誤差。可以看出，當(dāng)僅生成144條代表性時(shí)程時(shí)，均值與標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差均小于5%，滿足工程需求，證明了降維方法的精確性。此外，隨著代表性時(shí)程的增加，均值與標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差均逐漸減小，證明了降維方法具有收斂性。

表7 降維模擬方法的均值與標(biāo)準(zhǔn)差平均相對(duì)誤差Tab.7 Average relative errors of mean and standard deviation upon the dimension-reduction simulation method

為了進(jìn)一步驗(yàn)證多維地震動(dòng)演變功率譜的工程適用性，圖4和圖5給出了II類場(chǎng)地不同方向分量反應(yīng)譜和幅值譜模擬值與實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄的對(duì)比。為了便于對(duì)比，本文將代表性時(shí)程與實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄均調(diào)幅至200 cm/s2?？梢?jiàn)，本文的模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)記錄擬合良好，且實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄均包含在模擬均值加/減一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，充分驗(yàn)證了本文提出的多維地震動(dòng)模型的有效性。

圖4 多維地震動(dòng)反應(yīng)譜模擬值與實(shí)測(cè)記錄對(duì)比Fig.4 Comparisons between simulated values and measured records of response spectrum upon multi-dimensional ground motion

圖5 多維地震動(dòng)幅值譜模擬值與實(shí)測(cè)記錄對(duì)比Fig.5 Comparisons between simulated values and measured records of amplitude spectrum upon multi-dimensional ground motion

7 結(jié) 論

在實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄基礎(chǔ)上，對(duì)多維地震動(dòng)平動(dòng)分量的相干性、持時(shí)、頻譜、幅值等特性進(jìn)行了識(shí)別分析。同時(shí)，引入隨機(jī)向量過(guò)程模擬的降維方法，實(shí)現(xiàn)了多維地震動(dòng)的降維建模。主要結(jié)論如下：

(1)多維地震動(dòng)三平動(dòng)分量的相干性隨頻率變化較為明顯，本文建議的模型能夠較好地反映這種變化趨勢(shì)，且形式簡(jiǎn)單。

(2)構(gòu)建不同分量在幅值、持時(shí)、頻譜方面的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了多維地震動(dòng)演變功率譜的建模，便于工程應(yīng)用。多維地震動(dòng)的豎向分量與水平分量相比，平穩(wěn)持時(shí)更長(zhǎng)，能量和場(chǎng)地特征周期更小。

(3)算例表明，降維方法僅需生成幾百條代表性時(shí)程即可得到較高精度。同時(shí)，反應(yīng)譜、幅值譜和相干性的模擬值與實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄擬合良好，驗(yàn)證了多維地震動(dòng)降維模型的工程適用性。