木 強(qiáng)

（信陽學(xué)院 河南信陽 464000）

高校理工類專業(yè)中，高等數(shù)學(xué)屬于一門公共基礎(chǔ)課程，因其具備的相關(guān)邏輯性及特殊性，在課程思政教學(xué)的建設(shè)上，存在著一定的難度。但據(jù)教育部于2020 年5 月所頒發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，其中涉及對(duì)工學(xué)類和理學(xué)類專業(yè)課程進(jìn)行課程思政教學(xué)的指導(dǎo)和分析，因此在課程思政的建設(shè)上，高等數(shù)學(xué)也具備了一定的方法與優(yōu)勢(shì)。而從學(xué)科性質(zhì)特點(diǎn)來看，高等數(shù)學(xué)屬于是一門思維方式嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯推理嚴(yán)密和知識(shí)性比較強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，其中所包含的相關(guān)結(jié)論，都是經(jīng)過嚴(yán)格的計(jì)算、邏輯推理、證明才能得到。對(duì)學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)其自尊、自愛、自信，以及誠(chéng)實(shí)獨(dú)立的優(yōu)良人格，還能有效培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍及堅(jiān)持真理的科學(xué)精神。與此同時(shí)，通過借助高等數(shù)學(xué)相關(guān)題型來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，可通過不斷解析、探求正確答案的形式與練習(xí)過程，磨煉學(xué)生頑強(qiáng)、堅(jiān)毅的心理素質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生形成頑強(qiáng)拼搏、敢于挑戰(zhàn)與積極向上的優(yōu)秀品質(zhì)。本文以高等數(shù)學(xué)的第二個(gè)重要極限為例，設(shè)計(jì)相應(yīng)的課程思政教學(xué)方法，提出課程思政融入新知導(dǎo)入、新知講授和課堂練習(xí)等的知識(shí)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)，從而對(duì)高等數(shù)學(xué)在課程思政實(shí)踐教學(xué)過程進(jìn)行分析，進(jìn)而體現(xiàn)出在課程思政建設(shè)上，高等數(shù)學(xué)所具有的相關(guān)方法與優(yōu)勢(shì)。

一、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境并引入新課

（一）展示情境引出問題

小張急需用錢，因此向小王借了10000 元，并承諾按10%給予小王年利率。在小王猶豫時(shí)，腦海想起之前聽說過的復(fù)利問題：在一定的情況下，年利率一年內(nèi)的計(jì)息次數(shù)越多，所獲得的本息和也就會(huì)越多。[1]因此，小王開始盤算每天、每月和每季度，以及每半年等利息，也就是計(jì)息次數(shù)逐漸增多，一年后，所得到的本息不就無限多了嗎？由此提出問題：小王的發(fā)財(cái)夢(mèng)能實(shí)現(xiàn)嗎？此時(shí)，引入相應(yīng)的復(fù)利模型，其中，本息和為s，p 表示本金，t 表示計(jì)息次數(shù)，年利率為r。并讓學(xué)生就該問題進(jìn)行討論。此時(shí)，為計(jì)算更方便，將年利率擴(kuò)大為100%，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，所得復(fù)利結(jié)果如表1 所示。

表1 復(fù)利統(tǒng)計(jì)計(jì)算表

（二）解決問題并引出新知

通過融入相應(yīng)的數(shù)學(xué)事件，對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，從而引出新知識(shí)內(nèi)容。取不同的n 值來讓學(xué)生通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)（見表2）對(duì)函數(shù)第二重要極限值的變化進(jìn)行觀察，提取所得部分值數(shù)據(jù)。[2]

表2 函數(shù)f(n)值的變化情況表

學(xué)生能夠通過對(duì)函數(shù)f（n）值的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，函數(shù)值會(huì)隨著數(shù)值和n 值的增加而增加，但是，當(dāng)n 大于10000 之后，函數(shù)值的增加情況并不是很明顯，且增加值保持在2.718附近緩慢進(jìn)行。在完成分析后，可讓學(xué)生借助Excel 來進(jìn)一步提取、統(tǒng)計(jì)更多的值，并通過生成相應(yīng)的圖表形式做進(jìn)一步的觀察，可直觀發(fā)現(xiàn)并得出數(shù)值處于2—3 之間。[3]

對(duì)于高等函數(shù)數(shù)列，早期數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在對(duì)其進(jìn)行研究時(shí)，就得出了n→∞的結(jié)果，且函數(shù)極限也是在2—3 之間，后來。同是來自瑞士的數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）也對(duì)數(shù)列進(jìn)行了研究，他在研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n→∞、n→-∞的時(shí)候，函數(shù)所得值，也均趨向于同一常數(shù)，因此，對(duì)于這一所得極限值，萊昂哈德·歐拉是用e 來表示，且也由此證明了e=2.7182818……是一個(gè)無理數(shù)，由此可得，小王的發(fā)財(cái)夢(mèng)是無法實(shí)現(xiàn)的了。[4]教師通過以上結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，總結(jié)得出冪指函數(shù)即為函數(shù)，而且其極限即為第二重要極限。

于教學(xué)課堂上通過創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的利息分析計(jì)算的教學(xué)情境，以提出問題為導(dǎo)向，調(diào)動(dòng)并充分激發(fā)學(xué)生研究、探索相關(guān)知識(shí)帶給你的積極性和興趣，并以此逐步構(gòu)建、引出冪指函數(shù)，也通過此教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，為高數(shù)課程思政教育奠定后續(xù)開展基礎(chǔ)。通過Excel 的有效運(yùn)用，對(duì)數(shù)值做進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并借此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主分析、探究和解決問題。[5]而在此過程中引進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)歷史，一方面，能夠讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)極限的數(shù)學(xué)家及極限發(fā)現(xiàn)過程有一定的了解，并從中體悟到，任何數(shù)學(xué)結(jié)論都是通過無數(shù)次實(shí)驗(yàn)、計(jì)算等得出的，并不是憑空或是隨意產(chǎn)生的，需通過大家的共同探索和不懈努力，經(jīng)過不斷嚴(yán)密實(shí)驗(yàn)、分析、論證；另一方面，為問題的有效解決提供有力支撐，同時(shí)，以此引出新知，即高等數(shù)學(xué)課程中的第二重要極限公式。[6]

（三）思政教育課拓展

利用小王的發(fā)財(cái)夢(mèng)無法實(shí)現(xiàn)的這一結(jié)論對(duì)學(xué)生進(jìn)行思政教育，教育學(xué)生面對(duì)金錢時(shí)，要保持理智，確保有足夠清醒的頭腦，高度警惕網(wǎng)貸、校園貸等，提高學(xué)生警覺性，防范落入信貸詐騙中去，并樹立積極、正確的消費(fèi)觀與價(jià)值觀。

二、講授新知并加以證明

（一）證明

通過前期情境創(chuàng)設(shè)及問題解決所得結(jié)論，以及引導(dǎo)出的第二重要極限新知，對(duì)第二重要極限公式進(jìn)行證明。[7]

（二）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)第二重要極限公式進(jìn)行探討

將班級(jí)學(xué)生分為多個(gè)學(xué)習(xí)小組，并以小組為單位，讓學(xué)生小組對(duì)第二重要極限公式及其所具有的特點(diǎn)進(jìn)行討論和探索，并對(duì)公式的一般形式進(jìn)行分析構(gòu)建。

在對(duì)第二重要極限公式進(jìn)行考察時(shí)，不是簡(jiǎn)單考察公式自身，考察的是利用第二重要極限公式，去求出更復(fù)雜的、同類型的函數(shù)極限。所以需對(duì)第二重要極限公式所特有的特征進(jìn)行深入探索，以便能夠更好地應(yīng)用。[8]

（三）教師進(jìn)一步講解

利用計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)軟件的演算功能將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行陳列，通過多媒體動(dòng)畫演示方式作出圖像，引導(dǎo)學(xué)生思考與觀察，從中發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

1.年利率相同的條件下，本利和隨增加的計(jì)息期數(shù)n 不斷變大，可得（1+1/n）n是為單調(diào)遞增數(shù)列；

2.本利和的增長(zhǎng)隨計(jì)息期數(shù)n 的增加而進(jìn)行緩慢增長(zhǎng)，可發(fā)展趨勢(shì)預(yù)估得出，（1+1/n）n數(shù)列有上界。

以上述表格分析為基礎(chǔ)，教師通過鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，通過數(shù)列單調(diào)有界的準(zhǔn)則對(duì)（1+1/n）n存在的極限進(jìn)行證明。而后通過詳細(xì)及嚴(yán)格的推導(dǎo)與證明，得出該數(shù)列存在極限的結(jié)果，且極限值就是e=2.71828……，最后得出第二重要極限的原型。

（四）公式應(yīng)用

進(jìn)一步應(yīng)用并講解第二重要極限公式的具體應(yīng)用形式。比如，設(shè)置計(jì)算例題，根據(jù)例題算出哪一道例題的函數(shù)極限值等于e，并通過例題計(jì)算可得出等于e 的函數(shù)極限值。

對(duì)極限公式的特征進(jìn)行分析，主要是為學(xué)生能夠正確應(yīng)用公式做相應(yīng)的鋪墊，同時(shí)也能借此機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行哲學(xué)思政教育，尤其是辯證唯物主義方面的教育。而通過講解相應(yīng)的例子，首先，可讓學(xué)生充分理解和掌握到第二重要極限公式是如何運(yùn)用的。其次，對(duì)應(yīng)用公式的關(guān)鍵點(diǎn)做歸納，即：①判斷類型是為1∞型極限；②做變形為（1+無窮?。o窮大形式，并且確保無窮大、無窮小是呈倒數(shù)。最后，讓學(xué)生充分掌握和應(yīng)用變形的思路和技巧。

（五）拓展思政教育

通過以上新知的講解和求證，讓學(xué)生在了解及認(rèn)識(shí)新事物時(shí)，能透過本質(zhì)現(xiàn)象去抓住事物內(nèi)在規(guī)律與內(nèi)涵，而不是光看外表，被外表迷惑而忽略了最基本、最本質(zhì)的東西，而只有充分發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，才能從根本上解決問題。然而，規(guī)律與本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，是一個(gè)比較困難的過程，因此作為教師，我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)發(fā)揮個(gè)人特長(zhǎng)，以及主觀能動(dòng)性，積極探索、勇于向前，不怕困難，并不斷去驗(yàn)證。[9]

三、開展新知課堂練習(xí)活動(dòng)

（一）課堂練習(xí)

提供給學(xué)生相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的練習(xí)題，讓學(xué)生通過對(duì)練習(xí)題的計(jì)算求出題目極限，以此進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)內(nèi)容，包括解題思路、公式的應(yīng)用等，并通過課堂練習(xí)完成和提交。

（二）教師批改并講解學(xué)生習(xí)題

1.習(xí)題分析

教師在學(xué)生做完習(xí)題并提交后，對(duì)學(xué)生所做習(xí)題進(jìn)行分析。首先，在做題時(shí)，要先判斷習(xí)題屬于哪一種類型，在這三道練習(xí)題中，三道題都屬于是1∞型極限，而求這三個(gè)的極限，關(guān)鍵在于變形方面。

2.習(xí)題講解

利用以上設(shè)置的三道練習(xí)題，按順序分別講解相應(yīng)的解題過程和思路，一邊板書展示，一邊講解相關(guān)解題思路和步驟，進(jìn)一步加深學(xué)生的新知理解度。

通過課堂練習(xí)題練習(xí)的放回，讓學(xué)生實(shí)踐練習(xí)，幫助學(xué)生更好掌握本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容部分，并以此促進(jìn)學(xué)生熟悉運(yùn)用第二重要極限公式來求出函數(shù)極限的重點(diǎn)和關(guān)鍵，及做變形和判類型；而練習(xí)題中第二題相應(yīng)地加深難度，可進(jìn)一步幫助學(xué)生提高應(yīng)用知識(shí)的能力。[10]

3.拓展思政教育

在讓學(xué)生做課堂練習(xí)題時(shí)，會(huì)存在一些學(xué)生做題未寫解題過程，直接答出題目答案；而有些學(xué)生在做第二題時(shí)，不愿意去多加分析和思考，直接跳過做第三題。這時(shí)，需借助此情況對(duì)學(xué)生進(jìn)行思政教育，教育學(xué)生要明白，數(shù)學(xué)是一門比較嚴(yán)謹(jǐn)，且極具理性思維的學(xué)科，因此在做題時(shí)，要仔細(xì)、認(rèn)真，且還需要有理有據(jù)，對(duì)于不會(huì)做的題目，首先想到的不是直接放棄，而是應(yīng)多加思考、多嘗試，還可多與同學(xué)進(jìn)行交流探討。在日常生活過程中，大家在做任何事時(shí)，都應(yīng)認(rèn)真去對(duì)待，在遇到困難時(shí)，要勇于接受和面對(duì)，不會(huì)就多問、多思，多和別人交流，通過多種方式和求解渠道去整合解決問題的辦法，在解決問題的同時(shí)，幫助自己更好成長(zhǎng)。

四、高數(shù)第二重要極限公式的應(yīng)用拓展

（一）學(xué)生討論

讓學(xué)生以小組形式進(jìn)行討論，討論為何洗衣機(jī)的類型不同，脫水次數(shù)（包括漂洗、洗滌兩階段）都是需要3 次進(jìn)行呢？可通過假設(shè)不同洗衣機(jī)洗衣用水總量為1，每次對(duì)洗衣機(jī)放入同量的水，均為1/n，且每次的洗滌所產(chǎn)出的污物均能充分溶入水中，而且每次洗滌的脫水效果都是相同的，w 為所殘留的水量。

（二）引導(dǎo)學(xué)生解決問題

在學(xué)生們完成討論后，教師及時(shí)聽取學(xué)生小組的討論結(jié)果，并就此引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，并建立相應(yīng)的問題解決模式，即分析問題—建立模型—解決問題；與此同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法與思想；此外，也讓學(xué)生充分體會(huì)到生活和數(shù)學(xué)知識(shí)的相關(guān)性，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性和重要性，以此促進(jìn)學(xué)生不斷提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。

（三）思政教育

通過對(duì)這一生活實(shí)際問題的解決，希望學(xué)生能體會(huì)到學(xué)習(xí)知識(shí)的重要性，且只有知識(shí)學(xué)得扎實(shí)了，才能更好地用其解決實(shí)際問題。每位同學(xué)都應(yīng)當(dāng)珍惜當(dāng)下的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，在校努力學(xué)習(xí)，將基礎(chǔ)打牢固，進(jìn)入社會(huì)方能用所學(xué)知識(shí)服務(wù)社會(huì)。

五、課堂小結(jié)與課外作業(yè)布置

（一）課堂總結(jié)

總結(jié)、掌握高等數(shù)學(xué)課程中第二重要極限公式的特征，對(duì)第二重要極限公式的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。

（二）課后布置作業(yè)

讓學(xué)生結(jié)合本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容，于課后閑余時(shí)間查找出更多第二個(gè)重要極限的應(yīng)用；通過數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，或者是數(shù)學(xué)公式，對(duì)融入辯證唯物主義哲學(xué)的思政教育方式進(jìn)行深入剖析等。

結(jié)語

將課程思政融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，不僅要讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，還要積極鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的過程中，不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們勇于追求卓越和探索創(chuàng)新的精神。與此同時(shí)，高數(shù)教材中還含有很多與國(guó)家發(fā)展息息相關(guān)的思政素材，如可利用高鐵建設(shè)、港珠澳大橋來引出導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和函數(shù)曲線凹凸性等，讓學(xué)生深入學(xué)習(xí)與了解學(xué)科知識(shí)及國(guó)家建設(shè)成就，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生民族自豪感，激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)，為祖國(guó)繁榮富強(qiáng)提供力量支撐。