耿永才，胡小林

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，上海 201418)

1 擬線性雙曲方程組柯西問(wèn)題整體解以及爆破相關(guān)知識(shí)

數(shù)學(xué)物理方程在很多種情況下都可以用偏微分方程來(lái)表示(包含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式).本文主要考慮一類一階擬線性雙曲方程組柯西問(wèn)題(初值問(wèn)題)解的整體存在性和爆破問(wèn)題.擬線性方程組定義是方程組中最高階導(dǎo)數(shù)為線性，但是方程本身是非線性，也就是說(shuō)，方程中最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與它本身無(wú)關(guān)，但整個(gè)方程是非線性的.例如，考慮方程組(一階擬線性方程組)：

(1.1)

其中，u為向量(u1,u2,…,un)T，x為表示時(shí)間，t為空間變量.

如果(1.1)中矩陣A(u)的特征值都是實(shí)數(shù)，并且是可對(duì)角化的，則稱方程組(1.1)是雙曲型的.進(jìn)一步地，如果這些特征值互不相同，則稱(1.1)為嚴(yán)格雙曲系統(tǒng).

與拋物、橢圓系統(tǒng)相比，線性、非線性雙曲方程組解的性質(zhì)的差別非常大.這也是我們選擇雙曲方程組研究的主要原因.對(duì)于系統(tǒng)(1.1)的解的研究，最根本也最自然的問(wèn)題就是解是否存在，是局部經(jīng)典解還是整體經(jīng)典解，如果整體經(jīng)典解不存在，在什么時(shí)候解會(huì)發(fā)生爆破.有關(guān)一階擬線性方程組柯西問(wèn)題整體解是否存在的問(wèn)題，LI[1]給出了一般的結(jié)論.但是如果想直接了解整體解以及解的爆破問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]中給定了系統(tǒng)(1.1)的初值滿足不同條件下解的整體存在性和爆破結(jié)果，但是有些過(guò)于抽象，證明過(guò)程十分嚴(yán)謹(jǐn)且復(fù)雜，不太直觀.所以我們想用一些簡(jiǎn)單例子，給出直觀的證明，并在證明過(guò)程中指出定理?xiàng)l件的必要性.如果給定初值u(x,0)=φ(x)有緊支集，并且在u=0的鄰域內(nèi)A(u),φ(x)∈C2，系統(tǒng)(1.1)是完全非線性的，或者部分特征值是線性退化，F(xiàn)RITZ[3]和LIU[4]討論了當(dāng)初值比較小時(shí)C2解的爆破問(wèn)題.

在文獻(xiàn)[2]的結(jié)論中，系統(tǒng)(1.1)是否弱線性退化起著至關(guān)重要的作用.若方程組(1.1)第i個(gè)特征向量λi(u)是弱線性退化的，即如果沿著過(guò)原點(diǎn)的第i個(gè)特征軌跡ui(s)，有

對(duì)于適當(dāng)小的s成立.對(duì)于任意很小的│u│,s，有

?λi(u)ri(u)=0，λi(ui(s))=λi(0).

(1.2)

若對(duì)每個(gè)特征上述結(jié)論成立，則稱方程組為弱線性退化.當(dāng)系統(tǒng)不是弱線性退化時(shí)，則一定存在一個(gè)非空集合J?{1,2,…,n}，對(duì)任意的i∈J，存在一個(gè)整數(shù)αi≥0，使得

(1.3)

2 研究綜述

2.1 高維方程組柯西問(wèn)題結(jié)果

對(duì)于柯西問(wèn)題[2]：

(2.1)

結(jié)論一 如果在u=0的鄰域內(nèi)，A(u)∈C1,φ(x)∈C2，并且系統(tǒng)是嚴(yán)格雙曲且弱線性退化的.并且存在μ>0，使得下式成立：

θ=sup{(1+x)μ(│φ(x)│+│φ′(x)│)}<∞.

(2.2)

則存在一個(gè)很小的θ0>0，對(duì)于任意給定的θ∈[0,θ0], 柯西問(wèn)題(2.1)存在一個(gè)唯一整體光滑解.

結(jié)論二 進(jìn)一步地，假設(shè)φ(x)=εψ(x)，且系統(tǒng)不是弱線性退化的，滿足：

sup{(1+x)μ(│ψ(x)│+│ψ′(x)│)}<∞,

(2.3)

并且α=min{αi,i∈J}<∞. 如果i0∈J1={i│i∈J,αi=α}，使得li0(0)ψ(x)≠0，(這里li0表示第i0族左特征向量)，則問(wèn)題(2.1)經(jīng)典解的一階導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)一定發(fā)生爆破，并且生命區(qū)間T(局部經(jīng)典解的存在區(qū)間)滿足：

cε-(1+α)≤T≤Cε-(1+α)?T≈ε-(1+α).

(2.4)

這里，c,C為與ε無(wú)關(guān)的常數(shù).

上述兩個(gè)結(jié)論的證明可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].為了便于理解，給出以下兩方面的解釋.

2.2 一維方程組結(jié)果

以下述擬線性雙曲方程組的柯西問(wèn)題為例，說(shuō)明解的整體存在性和爆破問(wèn)題，再用實(shí)際的數(shù)學(xué)物理方程來(lái)驗(yàn)證上述兩個(gè)結(jié)論.

對(duì)于整體解的存在性，考慮一階一維擬線性雙曲類方程組[1]：

(2.5)

證明 首先驗(yàn)證該結(jié)論條件與整體解存在性條件一致.由于φ(u)∈C1(R)，所以存在一個(gè)正常數(shù)C1，使得對(duì)任意的x∈R以及存在一個(gè)μ>0，有

接下來(lái)證明整體解的存在性.令特征方程如下：

(2.6)

對(duì)于解的爆破和生命區(qū)間問(wèn)題，考慮下列問(wèn)題：

(2.7)

假設(shè)ψ(x)∈C1(R)，假設(shè)存在整數(shù)α≥0，使得

(2.8)

則問(wèn)題(2.7)的解會(huì)發(fā)生爆破，且生命存在區(qū)間T(ε)≈ε-(1+α).

(2.9)

假設(shè)根據(jù)隱函數(shù)存在定理，該問(wèn)題不存在反函數(shù)，即不存在整體解.

進(jìn)一步地，由(2.8)可解得

(2.10)

對(duì)λ(φ(α))在φ(α)=0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，利用(2.8)可得

根據(jù)(2.8)以及初始條件φ(α)=εψ(α).所以上式等價(jià)于下式：

(2.11)

將(2.11)代入(2.10)，可得

(2.12)

由于ψ∈C1，所以(2.12)意味著T(ε)≈ε-(1+α).

3 實(shí)例

物理模型1 非線性弦振動(dòng)方程柯西問(wèn)題：

首先引入變量v=ux，w=ut，原系統(tǒng)變?yōu)橐浑A擬線性雙曲方程組：

物理模型2 一維拉格朗日坐標(biāo)下等熵氣體動(dòng)力學(xué)方程組：

非等熵氣體動(dòng)力學(xué)方程組：

還有一些其他的數(shù)學(xué)物理模型，例如弦振動(dòng)方程、彈性弦振動(dòng)方程、氣體動(dòng)力學(xué)拉格朗日坐標(biāo)形式等，均可以按照上述方法求出系數(shù)矩陣的特征值、特征向量，驗(yàn)證系統(tǒng)是否弱線性退化條件(1.2)，初始條件是否滿足(2.2)(2.3),來(lái)討論是否存在整體解和爆破問(wèn)題.