孫研博 錢 瑩 李東

（佳木斯大學(xué) 黑龍江佳木斯 154007）

泰勒公式作為連接分析學(xué)及代數(shù)學(xué)行列式部分理論的有力工具，在極限的計(jì)算、近似估計(jì)、線性插值等方面有著重要應(yīng)用。事實(shí)上，泰勒公式雖然結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但其卻存在較強(qiáng)的規(guī)律性，不僅方便記憶，甚至在解決部分問(wèn)題時(shí)能使原本困難的過(guò)程化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果，是理解和處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力途徑[1]。此外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域出現(xiàn)的部分實(shí)際問(wèn)題也同樣可以用泰勒公式來(lái)解決。所以關(guān)于泰勒公式的相關(guān)運(yùn)用已經(jīng)不局限于數(shù)學(xué)層面。

泰勒公式好比是一元函數(shù)微分學(xué)的奠基石，一元微分學(xué)中相當(dāng)多的問(wèn)題都可以歸結(jié)為泰勒公式求解，它是一種用函數(shù)及其n階導(dǎo)函數(shù)在某一定點(diǎn)的值來(lái)表示其附近一系列值的公式，將復(fù)雜的函數(shù)簡(jiǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)[2]。在高等數(shù)學(xué)解題中，泰勒公式具有一定的優(yōu)越性，它是簡(jiǎn)單而有效的工具。針對(duì)泰勒公式這種可以化繁為簡(jiǎn)的功能，本文將以泰勒公式在極限計(jì)算，近似計(jì)算，線性插值及在行列式中的應(yīng)用的應(yīng)用展開討論。

泰勒定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上n+1階可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，那么取x0(a,b)

注：當(dāng)x0=0時(shí)，將其代入（1.1）所得結(jié)果被稱為麥克勞林公式。

一、泰勒公式的應(yīng)用

1.利用泰勒公式簡(jiǎn)化極限計(jì)算

極限貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，我們常見(jiàn)的解決極限的方法有：定義法、迫斂性準(zhǔn)則、洛必達(dá)法則、分母分子有理化等。洛必達(dá)法則通常用于解決0比0型或無(wú)窮比無(wú)窮型此類未定式的極限，而對(duì)于那種對(duì)分子分母分別求導(dǎo)麻煩式子應(yīng)用起來(lái)就較為不便。對(duì)于需要多次求導(dǎo)的式子求極限我們可應(yīng)用泰勒公式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

因此可知，對(duì)分子應(yīng)用泰勒展式，若展開項(xiàng)最高次冪小于3，雖然在形式上簡(jiǎn)化了計(jì)算，但是最終原式依然化為型不定式，不能進(jìn)行求解。

從而我們可知，對(duì)分子應(yīng)用泰勒公式時(shí)，若展開項(xiàng)次冪最高大于3，最終得到正確結(jié)果。但是如果次冪越高，那么將其展開的話較為煩瑣，計(jì)算容易出現(xiàn)失誤。

我們看到，當(dāng)展式的冪次最高大于3和等于3時(shí)，最后計(jì)算的分子都含有高于分母冪次的無(wú)窮小階數(shù)，然而該項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果仍然為0.這是由于泰勒公式的本質(zhì)是將某一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，而且隨著展開項(xiàng)數(shù)的增加，其中無(wú)窮小的階數(shù)也在增加。所以我們根據(jù)高階無(wú)窮小的遞推可知：若某一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式滿足x的n階無(wú)窮小，那么它必定滿足x的小于n階無(wú)窮小。

2.利用泰勒公式求近似值

例3：利用泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)sinx，并要求其中的誤差≤ 1 0-3。試分別在m=1和m=2兩種情況下計(jì)算：x的取值范圍。

當(dāng)m=1 時(shí)，sinx≈x，使其誤差滿足

如果利用泰勒公式展開更高次冪來(lái)逼近sinx，x能在更大范圍內(nèi)滿足同一誤差。

3.泰勒公式在線性插值中的應(yīng)用

當(dāng)n=1 時(shí)就是梯形公式了。

例4：證明梯形公式

假設(shè)：

將x=b帶入第一個(gè)式子，得到

將x=a帶入第二個(gè)式子，得到

結(jié)合泰勒定理和牛頓-萊布尼茨公式，得出近似計(jì)算數(shù)值積分的梯形公式

4.泰勒公式在行列式中的應(yīng)用

在計(jì)算行列式時(shí)，多數(shù)情況下我們采用展開式或者其他純代數(shù)型的方法進(jìn)行計(jì)算，比如數(shù)學(xué)歸納法、代數(shù)知識(shí)傳遞法方法，知識(shí)原理（例如微積分）很少用于計(jì)算行列式。我們從此特性中發(fā)現(xiàn)泰勒公式更適合計(jì)算行列式。我們首先可以了解需要的行列式的特征，觀察其形式并研究其性質(zhì)，然后為其構(gòu)造行列式的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再根據(jù)泰勒公式在某個(gè)點(diǎn)上擴(kuò)展行列式的功能，最后找到行列式。

例5：求解n階行列式

分析：如果一個(gè)行列式可以將其看作關(guān)于x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式），記作f(x)，我們利用泰勒公式將在某點(diǎn)x0展開，這樣便可以求解行列式的值。

解：記f(x) =D，利用泰勒公式在點(diǎn)z處展開：

由上式可得，fk(z)=z(z-y)k-1時(shí)都成立。

根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，

于是在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)代入得到

5.利用泰勒公式判斷斂散性

當(dāng)題中所給的級(jí)數(shù)通項(xiàng)表達(dá)式是很多各式各樣類型的函數(shù)式組合而成的，則很難直接看出來(lái)的復(fù)雜形式，并且用我們常用的方法不知從何下手的時(shí)候，這時(shí)就可以考慮嘗試運(yùn)用泰勒公式，把題目中所給的級(jí)數(shù)通項(xiàng)變換成統(tǒng)一的形式，然后再進(jìn)行斂散性的判定。

結(jié)語(yǔ)

本文從主要從四個(gè)方面探究了泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題等方面的應(yīng)用，用一些例子說(shuō)明其應(yīng)用方法，補(bǔ)充了高數(shù)教材中相關(guān)內(nèi)容，有助于加強(qiáng)學(xué)習(xí)者對(duì)泰勒公式的理解和掌握及應(yīng)用方法，對(duì)更深入的理解和掌握抽象定義起到一定作用。

作為理解和深入發(fā)掘函數(shù)極限的重要理論根據(jù)，泰勒公式是高數(shù)教材中的重要研究課題，它可將一些難以研究的函數(shù)近似地轉(zhuǎn)化成為更方便思考的多項(xiàng)式函數(shù)。同時(shí)泰勒公式作為深入探索函數(shù)深層次問(wèn)題的重要媒介，其在導(dǎo)數(shù)及微分的問(wèn)題、根的存在性問(wèn)題、相關(guān)不等式證明中也有著廣泛的應(yīng)用；泰勒公式是數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的一個(gè)重要媒介，多數(shù)常見(jiàn)的方法解決比較煩瑣時(shí)，嘗試運(yùn)用泰勒公式可能會(huì)豁然開朗，通過(guò)實(shí)例發(fā)現(xiàn)泰勒公式在微積分學(xué)中理論支撐及復(fù)雜計(jì)算中的運(yùn)用，感受運(yùn)用泰勒公式的便捷性；泰勒公式簡(jiǎn)化了復(fù)雜的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了精確度和精確度，并且可以應(yīng)用于除了數(shù)學(xué)外的多個(gè)其他學(xué)科。泰勒公式在數(shù)學(xué)下設(shè)的許多分支領(lǐng)域中都有過(guò)具體的應(yīng)用實(shí)例，但是仍有部分學(xué)派不同意或者說(shuō)很少地發(fā)表關(guān)于泰勒公式的談?wù)?。這是因?yàn)樗麄冋J(rèn)為泰勒公式及泰勒定理所給內(nèi)容和理論支撐不夠嚴(yán)密，不能完美地適用于解決問(wèn)題。由此可見(jiàn)，有關(guān)泰勒公式的應(yīng)用仍有完善和提升的空間，值得我們深入地挖掘其中的奧妙。