許 穎，徐 鑫，周禮剛,3，林志超

(1.安徽大學(xué) 文典學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601；3.安徽大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，安徽 合肥 230601)

多屬性決策問(wèn)題是決策科學(xué)的重要組成部分，其理論和方法在經(jīng)濟(jì)、管理等很多領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用。由于研究對(duì)象的不確定性，很多情況下無(wú)法對(duì)研究對(duì)象的屬性用一個(gè)精確的值加以描述，美國(guó)加州大學(xué)ZADEH教授于1965年創(chuàng)立的模糊集理論[1]應(yīng)運(yùn)而生。學(xué)者們進(jìn)行了深入的研究，ATANASSOV[2]同時(shí)考慮了隸屬度，非隸屬度，猶豫度3個(gè)方面，提出直覺(jué)模糊集，在處理不確定性時(shí)更具靈活性和實(shí)用性。YAGER等[3-4]提出畢達(dá)哥拉斯模糊集，其隸屬度與非隸屬度的平方和不能大于1。在畢達(dá)哥拉斯模糊集的基礎(chǔ)上，又提出了q-rung Orthopair模糊集，滿足隸屬度與非隸屬度的q次方和不能大于1[5]?？紤]到在實(shí)際決策過(guò)程中，客觀信息的不足使得屬性值很難用一個(gè)精確的數(shù)進(jìn)行表示，WANG等[6]定義了區(qū)間值Orthopair模糊集，其中隸屬度和非隸屬度都是[0，1]的區(qū)間數(shù)，以便更加細(xì)致地度量模糊信息。q階區(qū)間Orthopair模糊集是將q-rung Orthopair模糊集的隸屬度與非隸屬拓展到區(qū)間范圍，已經(jīng)有眾多學(xué)者對(duì)此開(kāi)展研究。黃榮等[7]研究了基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊相似測(cè)度的模糊識(shí)別方法。汪燁等[8]提出基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測(cè)度的TOPSIS決策方法。陳艷如等[9]研究了基于區(qū)間Orthopair模糊Heronian測(cè)度的多屬性群決策方法。

根據(jù)前景理論可知，決策者在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)，具有主觀的風(fēng)險(xiǎn)偏好[10-11]?？紤]該因素，更能反映決策者的實(shí)際選擇過(guò)程。目前基于前景理論的決策問(wèn)題已經(jīng)被廣泛運(yùn)用于諸多方面，但仍未有與q階區(qū)間Orthopair模糊集相結(jié)合的研究或多屬性決策方法。因此提出一種運(yùn)用前景理論中參考點(diǎn)相依效用函數(shù)在q階區(qū)間Orthopair模糊集中進(jìn)行多屬性決策的方法。首先，在新的記分函數(shù)環(huán)境下，疫苗方案各屬性的q階區(qū)間Orthopair模糊數(shù)更容易計(jì)算和比較。其次，根據(jù)參考點(diǎn)相依效用函數(shù)，得到疫苗各方案的參考點(diǎn)相依效用矩陣。最后，建立疫苗屬性的權(quán)重優(yōu)化模型，求出權(quán)重并得到各疫苗方案的綜合評(píng)分值，以供決策者進(jìn)行選擇和投資。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)X為一論域，稱(chēng)I={|0≤uI(x)+vI(x)≤1,x∈X}為X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集。其中，映射uI:X→[0,1],x→uI(x)，vI:X→[0,1],x→vI分別為X上的元素x屬于集合I的隸屬度與非隸屬度。

(1)

(2)

(3)

前景理論指出，決策者在收益面前具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，在損失面前具有風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度的“有限理性”行為[10-11]。前景價(jià)值由價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)決定，其中前景價(jià)值函數(shù)是決策者根據(jù)實(shí)際收益或損失產(chǎn)生的主觀感受價(jià)值。TVERSKY等[11]提出前景價(jià)值函數(shù)為典型的參考點(diǎn)相依效用函數(shù)，如式(4)所示。

(4)

式中：u(x)為前景價(jià)值函數(shù)；b為參考點(diǎn)，當(dāng)x大于b時(shí)，視為收益，當(dāng)x小于b時(shí)，視為損失；θ為損失規(guī)避系數(shù)，決策者對(duì)于損失的敏感程度與θ成正比，θ越大，決策者的敏感程度越大，若θ>1，則說(shuō)明決策者對(duì)損失的敏感程度比對(duì)收益的敏感程度大；Α,Β為風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)(0<Α,Β<1)，反應(yīng)決策者對(duì)收益和損失的敏感程度。經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)認(rèn)為Α=Β=0.88，θ=2.55。

根據(jù)前景價(jià)值函數(shù)和冪函數(shù)的凸凹性，收益時(shí)u(x)為凹函數(shù)，說(shuō)明決策者面對(duì)收益表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度；損失時(shí)u(x)為凸函數(shù)，此時(shí)決策者面對(duì)損失表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度。 S型參考點(diǎn)相依效用函數(shù)的一般形式如式(5)所示。

(5)

式中：b為參考點(diǎn)。決策者面對(duì)收益時(shí)，價(jià)值函數(shù)為凹函數(shù)；面對(duì)損失時(shí)，價(jià)值函數(shù)為凸函數(shù)。價(jià)值函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。

非S型參考點(diǎn)效用函數(shù)的一般形式如式(6)所示[14]。

(6)

式中：θ為損失厭惡系數(shù)。若v1(x)=x，θ=0，則說(shuō)明決策者是風(fēng)險(xiǎn)中立的。

2 一種新的q階區(qū)間Orthopair模糊集記分函數(shù)

可見(jiàn)當(dāng)隸屬度只有0.001的變化時(shí)，用得分函數(shù)和精度函數(shù)比較大小，得到的卻是完全相反的排序結(jié)果。說(shuō)明在比較的過(guò)程中，僅僅考慮隸屬度和非隸屬度而忽略猶豫度，會(huì)丟掉一些有用的信息，使得結(jié)果存在偏差。同時(shí)，該運(yùn)算沒(méi)有考慮不同q-RIVOFN隸屬度和非隸屬度之間存在的關(guān)聯(lián)和相互影響。因此，需要在q階區(qū)間Orthopair模糊集中引入新的記分函數(shù)，同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度，并且考慮隸屬度和非隸屬度之間存在著的關(guān)聯(lián)和相互影響，使之具有較強(qiáng)的選擇能力和較高的精確度?；谏鲜鲅芯?，提出q-RIVOFN的隸屬度區(qū)間中值、非隸屬度區(qū)間中值和猶豫度區(qū)間中值等概念。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

決策者在進(jìn)行決策時(shí)，總是認(rèn)為更優(yōu)方案具有高隸屬度、低非隸屬度和猶豫度。將決策者的從眾心理推廣到q-RIVOFN中，則可以用q-RIVOFN的交叉熵將猶豫度細(xì)化為傾向支持、反對(duì)和中立?；谏鲜鲈?，提出改進(jìn)的記分函數(shù)。

(13)

(14)

新記分函數(shù)避免了在得分函數(shù)、精度函數(shù)下大小比較存在偏差的情況。同時(shí)，考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度以隸屬度與非隸屬度的關(guān)系，使得包含的信息量更全面，有利于比較大小。

3 基于參考點(diǎn)相依效用函數(shù)的q階區(qū)間Orthopair模糊多屬性決策方法

(15)

(16)

ρ(sij)=sij

(17)

(18)

(7)建立參考點(diǎn)相依效用函數(shù)的q階區(qū)間Orthopair模糊多屬性決策問(wèn)題的權(quán)重優(yōu)化模型。以各個(gè)方案的各個(gè)屬性對(duì)于其重要性一致為原則，取使各個(gè)屬性的屬性值差異最小的權(quán)系數(shù)。此外，針對(duì)屬性值的分布情況，認(rèn)為在同一屬性下，各方案屬性值差異越大，則認(rèn)為該屬性是有利于方案的排序和選擇的，并賦予它較大的權(quán)系數(shù)；反之，屬性值差異越小，則賦予該屬性較小的權(quán)系數(shù)。設(shè)wki為第k種投資者態(tài)度下屬性Pi的權(quán)重；O為權(quán)重取值范圍；r1，r2分別為屬性權(quán)重公平性和屬性值分布情況對(duì)于權(quán)重取值的相對(duì)重要性。權(quán)重的優(yōu)化模型如式(19)所示。

(19)

借助Python軟件進(jìn)行求解，可以得到最優(yōu)屬性權(quán)重wk*={wk1,wk2,…,wkn}T，k=1,2,3。

4 實(shí)例分析

4.1 實(shí)例

疫苗企業(yè)具有周期長(zhǎng)，風(fēng)險(xiǎn)大，收益高的特點(diǎn)[15-18]，故投資疫苗企業(yè)也風(fēng)險(xiǎn)和收益并存。疫苗的研發(fā)時(shí)間較長(zhǎng)，具有研發(fā)和接種的雙重風(fēng)險(xiǎn)，高收益就成為疫苗企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。目前共有5個(gè)疫苗方案供投資者考慮，記作M1,M2,M3,M4,M5?？紤]如下6個(gè)屬性：疫苗對(duì)應(yīng)疾病的危險(xiǎn)性P1、疫苗的安全性P2、疫苗的有效性P3、疫苗可能的不良反應(yīng)P4、疫苗的研發(fā)價(jià)格P5、疫苗的研發(fā)時(shí)間P6?，F(xiàn)有3個(gè)專(zhuān)家對(duì)此進(jìn)行評(píng)估，專(zhuān)家對(duì)于相對(duì)收益或損失的態(tài)度各不相同：①第一位專(zhuān)家對(duì)相對(duì)收益持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，對(duì)相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度；②第二位專(zhuān)家對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損均持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度；③第三位專(zhuān)家對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)中立態(tài)度。經(jīng)過(guò)專(zhuān)家評(píng)價(jià)商議，對(duì)5個(gè)候選方案的6個(gè)屬性進(jìn)行評(píng)估，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理后，可得專(zhuān)家評(píng)議決策表格，如表1所示。

表1 專(zhuān)家評(píng)議決策表

取q=1，由式(13)，可得記分函數(shù)值矩陣：

S6×5=

可得3種決策者態(tài)度下的各屬性值的權(quán)重系數(shù)，分別為w1*={0.70,0.20,0,0,0,0.10}T,w2*={0.79,0.20,0,0,0,0.01}T,w3*={0.34,0.20,0,0.01,0.02,0.43}T。

4.2 靈敏度分析

為考察不同q值對(duì)決策結(jié)果的影響，進(jìn)行靈敏度分析。取q=2,…,8，依次重復(fù)上述決策過(guò)程，結(jié)果如圖1所示。由圖1(a)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，對(duì)相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度時(shí)，q=2,…,7時(shí)，最優(yōu)方案均為M1，但M1的綜合效用值始終呈下降趨勢(shì)；當(dāng)q=8時(shí)，M1不再是最優(yōu)方案。由圖1(b)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損均持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度時(shí)，q=2,…,6時(shí)，最優(yōu)方案均為M1，但各方案的綜合效用值均呈下降趨勢(shì)；當(dāng)q=7時(shí)，M1不再是最優(yōu)方案，M4變?yōu)樽顑?yōu)方案。由圖1(c)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)中立態(tài)度時(shí)，各方案的綜合效用值均呈下降趨勢(shì)，從q=3時(shí)，M4一直為最優(yōu)方案。

圖1 3種決策者態(tài)度下不同q值方案的綜合效用值變化

為考察不同的r1，r2(1+r2=1)對(duì)決策結(jié)果的影響，分別取q=1時(shí)，r1=0.3,r1=0.4,r1=0.5,r1=0.6,r1=0.7,重復(fù)上述決策步驟，結(jié)果如圖2所示。由圖2(a)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，對(duì)相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度時(shí)，最優(yōu)方案均為M3。由圖2(b)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損均持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度時(shí)，隨r1變化，最優(yōu)方案始終為M3。由圖2(c)可知，當(dāng)決策者對(duì)相對(duì)收益和相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)中立態(tài)度時(shí)，從r1=0.35時(shí)，M2始終為最優(yōu)方案。

圖2 3種決策者態(tài)度下不同r1方案的綜合效用值變化

4.3 對(duì)比分析

在實(shí)際的決策中，相較于q階Orthopair模糊集屬性值的數(shù)值表示方式，q階區(qū)間Orthopair模糊集的屬性值可以用區(qū)間數(shù)進(jìn)行表示，能更加細(xì)致地度量模糊信息，在客觀信息不足時(shí)，具有更強(qiáng)的實(shí)用性和準(zhǔn)確度。

與q階區(qū)間Orthopair模糊集的其他記分函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，提出的新的記分函數(shù)具有明顯優(yōu)勢(shì)。下面用文獻(xiàn)[12]中的得分函數(shù)在q=3，決策者對(duì)相對(duì)收益持有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避態(tài)度，對(duì)相對(duì)虧損持有風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度下為例，可得各方案的綜合效用值為{-0.061 6,-0.065 7,-0.070 6,-0.229 9,-0.099 4}T，方案排序?yàn)镸1?M2?M3?M5?M4，最優(yōu)方案為M1，與新記分函數(shù)結(jié)果一致，說(shuō)明提出的新記分函數(shù)是可行的。同時(shí)，提出的新記分函數(shù)能將隸屬度、非隸屬度和猶豫度以及隸屬度與非隸屬度關(guān)系考慮進(jìn)去，包含的信息更為全面，更有利于進(jìn)行大小的比較。而文獻(xiàn)[12]中的記分函數(shù)并未考慮猶豫度以及隸屬度與非隸屬度之間的關(guān)系，在一些情況下會(huì)出現(xiàn)無(wú)法進(jìn)行比較、或者比較結(jié)果不穩(wěn)定性的現(xiàn)象。故提出的新記分函數(shù)可以增加決策結(jié)果的準(zhǔn)確性。

與q階區(qū)間Orthopair模糊集的其他多屬性決策方法進(jìn)行對(duì)比，如文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]，創(chuàng)新之處在于算子的改變，不同的算子采用了不同的集結(jié)方法，而并未對(duì)決策者的現(xiàn)實(shí)心理進(jìn)行考慮。綜合考慮決策者主觀的風(fēng)險(xiǎn)偏好，引入?yún)⒖键c(diǎn)相依效用函數(shù)，提出的基于參考點(diǎn)相依效用函數(shù)的多屬性決策方法更符合決策的現(xiàn)實(shí)情況，具有現(xiàn)實(shí)意義。

提出的運(yùn)用前景理論中參考點(diǎn)相依效用函數(shù)在q階區(qū)間Orthopair模糊集中進(jìn)行多屬性決策的方法相較于文獻(xiàn)[19]，是對(duì)已有區(qū)間直覺(jué)模糊運(yùn)用參考點(diǎn)相依效用函數(shù)進(jìn)行多屬性決策的一種推廣。決策者可以根據(jù)具體的情況選定合適的參數(shù)q，因此具有更好的普適性。

5 結(jié)論

在區(qū)間Orthopair模糊環(huán)境下，提出一種運(yùn)用前景理論中參考點(diǎn)相依效用函數(shù)在q階區(qū)間Orthopair模糊集中進(jìn)行多屬性決策的方法。該方法不僅綜合考慮了隸屬度，非隸屬度和猶豫度以及隸屬度與非隸屬度的關(guān)系，還更有利于計(jì)算；根據(jù)前景效應(yīng)中參考點(diǎn)相依效用函數(shù)，將決策者的“有限理性”考慮進(jìn)去，更符合實(shí)際情況；結(jié)合參考點(diǎn)相依效用矩陣，利用權(quán)重優(yōu)化模型計(jì)算權(quán)重，得到各方案的綜合評(píng)分值進(jìn)行排序，以供決策者進(jìn)行選擇和投資。

該方法是對(duì)q階區(qū)間Orthopair模糊決策理論的有益擴(kuò)展，可用于藥物療效評(píng)估、投資選擇、模式識(shí)別、重大工程選址等諸多不確定環(huán)境決策領(lǐng)域。