?甘肅省天水市清水縣王河鎮(zhèn)中學(xué) 張會(huì)軍

1 定理及推論

圓的切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

圓的切割線定理及其推論是九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)(華東師大版)第27章第2節(jié)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”中的一個(gè)重要定理.在證明、計(jì)算角相等，線段相等，線段成比例等具體問題中，如果能夠靈活運(yùn)用圓的切割線定理及其推論，不僅能拓寬解題思路，而且能夠收到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果[1].

2 定理及推論的靈活運(yùn)用

例1已知：在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，半圓圓心為點(diǎn)O，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E.

(1)求證：DE⊥AC.

(2)若AB∶BC=5∶6，AF=7，求CE的長(zhǎng).

分析：(1)有三種思路.證法一，首先由DE是⊙O的切線，可推證出OD⊥DE，再由△ABC是等腰三角形可推出∠C=∠ABC，∠ODB=∠C，進(jìn)而可證明OD∥AC，DE⊥AC.證法二，由AB是直徑可得∠ADC=90°，只需要證∠CAD+∠EDA=90°，或∠C+∠CDE=90°，即可證得DE⊥AC.證法三，可考慮運(yùn)用AB是直徑及DE為⊙O的切線這兩個(gè)條件來證明，先由已知條件推證出OD是△ABC的中位線，再根據(jù)DE是⊙O的切線即可證得DE⊥AC.

(2)有兩種思路.解法一，只需作出虛線BF即可打開思路，先利用切割線定理的推論求出CF的長(zhǎng)度，再根據(jù)OD是△ABC的中位線就可求出CE的長(zhǎng)度.解法二，先利用切割線定理的推論求得AC，CD的長(zhǎng)，再結(jié)合已知條件解Rt△CDE，再通過列方程即可求出CE的長(zhǎng).

圖1

解析：(1)證法一.如圖1，連結(jié)OD.

∵DE切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥DE于點(diǎn)D.

∵OD=OB(半徑相等)，

∴∠ODB=∠ABC(等腰三角形底角相等).

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC.

∴∠ODB=∠C(等量代換).

∴OD∥AC(同位角相等).

∴DE⊥AC.

點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用切線和等腰三角形的性質(zhì)證明.

圖2

證法二:如圖2，連結(jié)AD.

∵ED切⊙O于點(diǎn)D，

∴ ∠EDA=∠B.

∵AB為⊙O的直徑，

∴ ∠ADB=90°.

即AD⊥BC.

∴∠DAB+∠B=90°.

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴ ∠CAD=∠DAB，CD=BD.

∴ ∠CAD+∠EDA=∠DAB+∠B=90°.

∴DE⊥AC.

或∵ED切⊙O于點(diǎn)D，

∴∠EDA=∠B.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°.

∴∠ADE+∠CDE=90°.

∵AB=AC，∠C=∠B，

∴ ∠EDA=∠C.

∴∠C+∠CDE=90°.

∴DE⊥AC.

點(diǎn)評(píng)：在利用DE是⊙O的切線的同時(shí)，還利用了弦切角定理.

圖3

證法三:如圖3，連結(jié)OD，AD.

∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BC于點(diǎn)D.

又∵AB=AC，

∴CD=BD.

又∵OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線.

∴OD∥AC.

∵DE切⊙O于D，

∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.

點(diǎn)評(píng)：推證出OD是△ABC的中位線是關(guān)鍵的一步.

(2)解法一：如圖1，連結(jié)BF.由AB為⊙O的直徑，

得∠AFB=90°，即BF⊥AC于點(diǎn)F.

又∵DE⊥AC，

∴DE∥BF(同位角相等).

∵OD∥AC，且OA=OB，

又∵DE∥BF，

∵AB∶BC=5∶6，AF=7，

設(shè)1份為k，AB=AC=5k，BC=6k.

又CF·CA=CD·CB,

∴k1=0(舍去)，k2=5.

∴CF=AC-AF=25-7=18.

解法二：∵AB∶BC=5∶6，

設(shè)1份為k，AB=AC=5k,BC=6k,

∴CD=BD=3k，AD=4k.

∵DE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵CF·AC=CD·BC,

又CF=AC-AF,AF=7,

∴(AC-AF)·AC=CD·BC.

(5k-7)·5k=3k·6k

∴k1=0(舍去)，k2=5.

或∵ED切⊙O于點(diǎn)D，

∴DE2=EF·EA=(AE-AF)·EA.

∴k1=5，k2=0(舍去).

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)“點(diǎn)C在⊙O外，直線CFA與直線CDB為⊙O的兩條割線”的已知條件，可利用切割線定理的推論求得CF的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)度.本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想與方法，靈活運(yùn)用了切割線定理，達(dá)到了一題多證、一題多解、左右逢源的效果.

例2已知PT切⊙O于點(diǎn)T，割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，且AB過O點(diǎn)，∠OPT=30°，PT=20 cm，求PB的長(zhǎng).

分析：按照“執(zhí)果索因”的解題思路，要想求PB的長(zhǎng)，需先求出PA的長(zhǎng).因?yàn)椤螼PT=30°是一個(gè)特殊角，所以可考慮構(gòu)造一個(gè)直角三角形，連接OT，得到Rt△OPT，則可得出OP=2OT=2r，AP=r，PB=3r，即可由切割線定理求出r，進(jìn)而求出PB的長(zhǎng).

圖4

解析：如圖4， 連接OT，設(shè)⊙O的半徑為r.因?yàn)镻T切⊙O于點(diǎn)T，所以O(shè)T⊥PT.因?yàn)椤螼PT=30°，所以O(shè)P=2OT=2r，于是PB=3r，PA=r.

由PT2=PA·PB(切割線定理)，PT=20，

點(diǎn)評(píng)：本題由已知“P為⊙O外一點(diǎn)，PT為切線”，可直接應(yīng)用切割線定理PT2=PA·PB來求解.

3 結(jié)論

圓的切割線定理及其推論是初中平面幾何中的重要內(nèi)容，許多與圓有關(guān)的問題，我們都可以直接應(yīng)用它或借助它的轉(zhuǎn)化獲得解決[2].從上述例題的解題思路與方法中我們可以看到，所謂的“靈活運(yùn)用”，主要是指設(shè)法把不能直接運(yùn)用切割線定理解決的問題轉(zhuǎn)化為能夠運(yùn)用定理來解決的問題.解題思路往往表現(xiàn)為幾種方法的綜合運(yùn)用，例如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，利用三角形、線段與比例的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程求解，等等.總之，“運(yùn)用之妙存乎一心”，只有認(rèn)真分析題目的已知條件，找到問題的內(nèi)在聯(lián)系，靈活變通，才能找到解題的突破口.