吳俊凱

(義烏中學，浙江 義烏 322000)

近些年,全國各地的高考卷中含ex,lnx的函數(shù)零點、方程的根、極值點偏移及數(shù)列中的不等式的相關(guān)問題成為考查的熱點,常出現(xiàn)在各地模擬卷及高考卷壓軸題中.“對數(shù)均值不等式”是解決此類問題的一個簡化工具,其價值也不言而喻.以下不等式的證明將結(jié)合初等方法和高觀點的證明方法來加深學生對該不等式的理解與應用.

1 對數(shù)均值不等式

兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義如下：

2 對數(shù)均值不等式的證明方法

該不等式的證明有多種方法,下面筆者整合了3種初等的方法和6種高觀點下的證明方法.

圖1

移項構(gòu)造函數(shù)求導求最值可證.

證法3[2](主元法)設(shè)b>a,則

圖2

因為S矩形

圖3

由S陰影

于是

證法7(拉格朗日中值定理法)構(gòu)造f(x)=(x+a)(lnx-lna)-2(x-a)(其中x∈[a,+∞))，從而

根據(jù)拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,x)，使得

可得f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增.因此令x=b>a,則

同理,構(gòu)造

于是g(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞減.因此令x=b>a,則

同理,存在ζ∈(1,x)，使得

由柯西不等式，可得

又由冪平均不等式,可得

對數(shù)均值不等式是雙變量不等式,直接證明具有一定的難度.給出的后6種證明方法結(jié)合了高等數(shù)學中的定積分、積分形式下柯西不等式、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、函數(shù)的級數(shù)展開和冪平均不等式等知識.高中生提早接觸高等數(shù)學的知識,可以幫助他們用高觀點去思考和解決數(shù)學問題,有助于他們認知的提升和思維方式的訓練.

3 對數(shù)均值不等式的推廣

得證.

證明由推廣1可得

得證.

推廣2可以應用于真數(shù)為正整數(shù)的對數(shù)的估計,也可應用于離散型級數(shù)求和的估計[3].

對數(shù)均值不等式的證明方法靈活，形式也多樣,以上展示的證明方法具有一定的典型性.對數(shù)不等式不僅可以進行拓展延伸得到許多不等式結(jié)果,也可以應用于例如極值點偏移等一系列問題,因此對該不等式的研究是有意義和價值的.