溫九紅

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070）

n中?。╪-k+1）系統(tǒng)作為一種重要的冗余系統(tǒng)被廣泛地應(yīng)用于航空工業(yè)、武器制造和電氣工程等領(lǐng)域．一個(gè)系統(tǒng)被稱為n中?。╪-k+1）系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)元件中至少有（n-k+1）個(gè)元件工作，所以n中?。╪-k+1）系統(tǒng)的壽命可以用元件壽命的第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量來表示．最近幾十年，國內(nèi)外關(guān)于n中?。╪-k+1）系統(tǒng)剩余壽命和休止時(shí)間的研究有很多［1-7］.

然而在實(shí)際生活應(yīng)用中，大多數(shù)的n中?。╪-k+1）系統(tǒng)都是由獨(dú)立但不同分布的元件構(gòu)成，這樣的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和分布函數(shù)表達(dá)都較為復(fù)雜．2001年David［8］利用permanent函數(shù)給出了獨(dú)立但不同分布元件的壽命可靠度函數(shù)，為研究獨(dú)立但不同分布元件的剩余壽命和平均剩余壽命提供了一個(gè)非常有用的工具．近些年許多學(xué)者開始關(guān)注獨(dú)立但不同分布元件構(gòu)成的n中取（n-k+1）系統(tǒng)，并得到很多有用的結(jié)論．Sadegh［9］在元件是獨(dú)立但不同分布情形下討論了并聯(lián)系統(tǒng)的條件剩余壽命（Xn∶n-t｜Xr∶n＞t）（r=1，…，n）；Zhao等［10］在元件是獨(dú)立但不同分布情形下考慮了n中?。╪-k+1）系統(tǒng)的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xl∶n＜t＜Xl+1∶n）（1≤l＜k≤n）；Gurler等［11］在元件是獨(dú)立但不同分布情形下研究了n中?。╪-k+1）系統(tǒng)的剩余壽命（Xk∶n-t｜X1∶n＞t）（k=1，…，n）；Sadegh［12］在元件是獨(dú)立但不同分布情形下討論了n中取（n-k+1）系統(tǒng)的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xr∶n＞t）（r=1，…，n）；Zhang等［13］在元件是獨(dú)立但不同分布情形下考慮了有兩個(gè)時(shí)間監(jiān)控的條件下并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命（Xn∶n-t2｜Xr∶n＜t1＜Xr+1∶n，Xn∶n＞t2）（1≤r≤n）．

本文將研究由n個(gè)獨(dú)立但不同分布元件構(gòu)成的n中?。╪-k+1）系統(tǒng)中可存活元件的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）（1≤j＜k≤n）得到了該剩余壽命可靠度函數(shù)和平均剩余壽命函數(shù)的混合表達(dá)，并對(duì)可存活元件的剩余壽命進(jìn)行了普通隨機(jī)序比較．

1 可存活元件剩余壽命的混合表達(dá)

定理1．1對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t有：

而集合Cp表示集合｛1，2，…，n｝中由p個(gè)元素構(gòu)成的子集，集合為Cp的補(bǔ)集．

證明：對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t有：

其中，l1，l2，…，ln是從1，2，…，n的所有排列，因此l1＜l2＜…＜lp，lp+1＜lp+2＜…＜lp+q，并且lp+q+1＜lp+q+2＜…＜ln．

再根據(jù)Permanent函數(shù)可將式（1）化簡為聯(lián)立式（2）～（3）可得到

接下來將給出（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）的平均剩余壽命函數(shù)的混合表達(dá)．

定理1．2對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，則（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）的平均剩余壽命函數(shù)混合表達(dá)為

另外集合Cp表示集合｛1，2，…，n｝中由p個(gè)元素構(gòu)成的子集，集合為Cp的補(bǔ)集，且集合表示基數(shù)為q的集合的子集．

根據(jù)文獻(xiàn)［9］有

2 可存活元件剩余壽命的隨機(jī)比較

引理2．1假設(shè)X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是兩組獨(dú)立但并不一定同分布的隨機(jī)變量．對(duì)任意的m，n和所有的i，如果Xi≤stYi，那么Xi∶m≤stYj∶n，其中i≤j，m-i≥n-j［14］．

定理2．2對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有P（Xk∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）≤stP（Xk+1∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）．

證明：對(duì)于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有式（4）分子等價(jià)于

集合Cp的序列為（l1，l2，…，lp），補(bǔ)集相對(duì)應(yīng)的序列為（lp+1，lp+2，…，ln）．根據(jù)引理2．1則有則式（5）大于零，故得證．

定理2．3對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有

證明：對(duì)于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有

定理2．4對(duì)任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有

P（Xk∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）≤stP（Xk∶n-1-t＞x｜Xj∶n-1＜t）．

證明：對(duì)于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有

而A式又等價(jià)于

另一方面B式等價(jià)于

所以B式也非負(fù)，故得證．