解磊磊,吳海淼,崔國(guó)華,曹雪山

(1.河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北邯鄲 056038；2.上海工程技術(shù)大學(xué)智能機(jī)器人研發(fā)中心，上海 201620)

0 前言

雙臂協(xié)作機(jī)器人在實(shí)際工程中的應(yīng)用越來(lái)越多，如汽車和航空航天制造、精密產(chǎn)品的自動(dòng)裝配廠和醫(yī)學(xué)手術(shù)。眾所周知，由于連桿尺寸、關(guān)節(jié)間隙、驅(qū)動(dòng)致動(dòng)器和制造偏差等存在不確定性，末端執(zhí)行器的位置無(wú)法精確控制。即末端執(zhí)行器的實(shí)際姿態(tài)不可避免地偏離設(shè)計(jì)指定的姿態(tài)。因此，根據(jù)這些不確定性因素預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)可靠性是保證雙臂協(xié)作機(jī)器人工作性能的關(guān)鍵，然而保證機(jī)器人的位置可靠性在實(shí)際生產(chǎn)中對(duì)于控制產(chǎn)品質(zhì)量是非常重要的。

機(jī)器人可靠性評(píng)估是指2個(gè)末端執(zhí)行器的相對(duì)位置誤差在整個(gè)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)落入指定安全邊界內(nèi)概率的計(jì)算，可靠性分析方法以解決隨機(jī)尺寸和關(guān)節(jié)角度對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)工作性能的影響。許昌瑀等采用蒙特卡洛模擬法，基于數(shù)學(xué)推導(dǎo)末端執(zhí)行器與關(guān)節(jié)間隙的數(shù)學(xué)模型，求解定位誤差的可靠性，然而沒(méi)有考慮連桿尺寸的偏差，同時(shí)此方法需要大量的數(shù)據(jù)且效率不高。王海芳等基于二階矩和攝動(dòng)法結(jié)合的混合方法建立了滿足正態(tài)分布隨機(jī)變量的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠性模型，并分析了運(yùn)動(dòng)精度可靠性對(duì)基本參數(shù)均值的可靠性靈敏度。WU等以稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分和鞍點(diǎn)近似研究工業(yè)機(jī)器人的定位精度和軌跡精度可靠性。王偉等人采用四階矩估計(jì)和最大熵法考慮連桿尺度和關(guān)節(jié)間隙，研究運(yùn)動(dòng)精度可靠性。考慮雙臂協(xié)作機(jī)器人本體誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和可靠性的影響，建立含本體誤差的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，本文作者提出二次四階矩估計(jì)法和體系可靠性方法應(yīng)用于雙臂協(xié)作機(jī)器人求出運(yùn)動(dòng)可靠性，研究離散點(diǎn)的位置誤差極值分布與整個(gè)路徑可靠性之間的關(guān)系。將路徑點(diǎn)位置誤差極值作為隨機(jī)變量，得到機(jī)器人系統(tǒng)的功能函數(shù)。該方法所需樣本少、計(jì)算效率高，且計(jì)算精度較高。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

雙臂協(xié)作機(jī)器人由L機(jī)器人和R機(jī)器人構(gòu)成，如圖1所示，六軸機(jī)器人前3個(gè)關(guān)節(jié)確定末端執(zhí)行器的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)確定末端執(zhí)行器的方位。通過(guò)改進(jìn)Denavit-Hartenberg(D-H)方法建立雙臂協(xié)作機(jī)器人的構(gòu)型圖，如圖2所示。

圖1 雙臂協(xié)作打磨機(jī)器人本體

圖2 雙臂協(xié)作機(jī)器人構(gòu)型

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

雙臂協(xié)作機(jī)器人系統(tǒng)中和R機(jī)器人呈對(duì)稱分布，以L機(jī)器人為例根據(jù)改進(jìn)D-H方法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

(1)

式中：s=sin、c=cos、s=sin、c=cos。

根據(jù)圖3所示的連桿坐標(biāo)系，可得D-H參數(shù)，如表1所示。

圖3 連桿坐標(biāo)系

表1 雙臂協(xié)作機(jī)器人D-H參數(shù)

利用式(2)和表1所列D-H參數(shù)可以表示出末端執(zhí)行器的位姿。

(2)

式中：′是自由度數(shù)量;向量[，，]是末端執(zhí)行器的方向矩陣;為位置矢量。

1.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

利用反變換法求解機(jī)械人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，根據(jù)已知的、、和求關(guān)節(jié)變量、、、…、的值，求解出各關(guān)節(jié)角度值如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

=arccos(+-)

(7)

(8)

其中為一角度值，取值如下：

(9)

(10)

=-(-)

(11)

可得機(jī)器人8組逆解，但雙臂協(xié)作機(jī)器人只有一軸可在360°范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因此有逆解不能實(shí)現(xiàn)。在雙臂協(xié)作機(jī)器人多解的情況下，選取最合適的一組解作為計(jì)算結(jié)果。

2 可靠性模型

2.1 參數(shù)分布

表2 連桿參數(shù)概率分布類型

2.2 極限狀態(tài)函數(shù)

只考慮機(jī)器人的位置誤差，機(jī)器人末端位置表示為

=()

(12)

對(duì)末端位置矩陣微分得到末端位置誤差：

(13)

假設(shè)實(shí)際的機(jī)器人末端位置為

=()

(14)

末端執(zhí)行器位置點(diǎn)的位置偏差可表示為

(15)

當(dāng)位置誤差()小于允許誤差Δ時(shí)，雙臂協(xié)作機(jī)器人才可靠，則位置點(diǎn)的可靠性極限狀態(tài)函數(shù)表示為

()=Δ-

(16)

位置點(diǎn)可靠度為

=Pr[()>0]

(17)

引入等效極值原則，取個(gè)位置點(diǎn)坐標(biāo)值。引入變量，則最大位置誤差為

=max(，，，…,)

(18)

則系統(tǒng)可靠性極限狀態(tài)函數(shù)為

()=Δ-

(19)

定義()為可靠性極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)(Probability Density Function,PDF)，系統(tǒng)可靠度為

(20)

2.3 雙臂協(xié)作機(jī)器人可靠度計(jì)算

隨機(jī)變量{，，…，}，變量的均值為，的前4階中心距為

(21)

令=()，則()的均值為

=Δ-

(22)

()的前4個(gè)中心距用變量的相應(yīng)矩表示為

=(-1)=0,1,2,3,4

(23)

(24)

式中：為標(biāo)準(zhǔn)差；為偏態(tài)系數(shù)；為峰度系數(shù)。

=

(25)

其中，矩陣的元素和向量的分量分別為

(26)

(27)

由于()，()，，()線性無(wú)關(guān)，矩陣是+1階非奇異矩陣，故方程式(25)有唯一解。

設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)()，若隨機(jī)事件服從概率密度函數(shù)為()的連續(xù)分布，Shannon熵為

(28)

考慮將隨機(jī)變量的前階原點(diǎn)矩(=0，1，…，)作為約束條件，即使式(28)取最大值：

(29)

若取()=，()=1，則由式(26)—式(28)可得：

(30)

==0，1，…，

(31)

已知各階原點(diǎn)矩可解出(=0,1,…,)，得到最佳平方逼近多項(xiàng)式()，于是：

(32)

為計(jì)算方便穩(wěn)定，利用式(24)，得到和的估計(jì)式分別為

(33)

(34)

單機(jī)械臂可靠度為

(35)

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)往往是復(fù)雜的，文中所研究結(jié)構(gòu)屬于結(jié)構(gòu)體系，因涉及多種失效模式，該結(jié)構(gòu)可靠度實(shí)際上是體系可靠度。雙臂協(xié)作機(jī)器人看作組合體，且L機(jī)器人和R機(jī)器人為相互獨(dú)立單元，該系統(tǒng)可視為串聯(lián)系統(tǒng)，根據(jù)式(35)可求出雙臂協(xié)作機(jī)器人的可靠度：

(36)

3 機(jī)器人可靠性分析實(shí)例

為了驗(yàn)證文中所采用的可靠性評(píng)估方法，以某雙臂協(xié)作打磨機(jī)器人為例，如圖1所示。通過(guò)MATLAB的Simulink模塊建立機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，圖4為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，再通過(guò)MATLAB進(jìn)行末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真。根據(jù)設(shè)定運(yùn)動(dòng)軌跡，模擬出機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置誤差，然后對(duì)理想軌跡點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得出最大位置誤差，并循環(huán)得到1 000組最大位置誤差數(shù)據(jù)，可使用文中所提到的方法得到雙臂協(xié)作打磨機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可靠性。

圖4 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

3.1 運(yùn)動(dòng)軌跡

實(shí)驗(yàn)為雙臂協(xié)作打磨機(jī)器人打磨輪轂：L機(jī)器人夾持輪轂，調(diào)整不同的打磨輪轂范圍；R機(jī)器人夾持打磨頭，根據(jù)L機(jī)器人所夾持輪轂位置，生成相應(yīng)打磨軌跡并達(dá)到要求的精度?，F(xiàn)取一打磨軌跡求解該打磨軌跡的可靠度。L機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)到位置點(diǎn)(50，50，850)。R機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡路徑為

(37)

在軌跡路徑均勻取41個(gè)點(diǎn)，得到如圖5所示軌跡曲線。

圖5 軌跡曲線

根據(jù)位置點(diǎn)計(jì)算L機(jī)器人最大位置誤差，根據(jù)圖5軌跡中所取點(diǎn)計(jì)算出R機(jī)器人最大位置誤差，如圖6所示。

圖6 最大位置誤差數(shù)據(jù)

3.2 可靠度求解及結(jié)果分析

雙臂協(xié)作機(jī)器人可靠度分析方法的實(shí)現(xiàn)步驟為：取1 000組數(shù)據(jù)，求出每一組數(shù)據(jù)中最大位置誤差(=1,2,3，...，1 000)，如圖6所示，求出最大位置誤差的均值，根據(jù)式(21)求出前4階矩如表3所示，再將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量，進(jìn)而求得偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)。利用式(26)和式(31)計(jì)算出和，由方程組(25)求解出，進(jìn)而計(jì)算、和。為了驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，將它與蒙特卡洛法進(jìn)行對(duì)比,如圖7所示。

表3 最大位置誤差的前4階矩

圖7 可靠度對(duì)比

蒙特卡洛方法需要基于大量的樣本才能獲得比較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，整個(gè)過(guò)程非常耗時(shí)，所需總時(shí)間長(zhǎng)，效率低。由于基于最佳平方逼近的二次四階矩估計(jì)法提取反映隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性的均值(一階矩)、方差(二階矩)、偏度(三階矩)及峰度(四階矩)的信息，進(jìn)而推測(cè)出隨機(jī)變量的內(nèi)在分布規(guī)律，采用體系可靠性方法可以計(jì)算出雙臂協(xié)作機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可靠性，該方法所需樣本較少計(jì)算時(shí)間短且計(jì)算精度高。由圖6可知:文中所提方法貼近蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果，且雙臂協(xié)作打磨機(jī)器人在允許誤差大于4 mm時(shí)可靠度為1，L、R機(jī)器人在允許誤差4 mm時(shí)，最佳平方逼近圖線分別如圖8(a)和(b)所示。

圖8 最佳平方逼近函數(shù)曲線

4 結(jié)論

在一定的軌跡精度要求下，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的可靠性主要取決于路徑中位置誤差最大的插補(bǔ)點(diǎn)的可靠性，得出各機(jī)械臂最大誤差的極限狀態(tài)函數(shù)，利用最佳平方逼近法產(chǎn)生概率密度函數(shù)，求出單臂可靠性。

雙臂協(xié)作機(jī)器人為串聯(lián)系統(tǒng)，任何機(jī)械臂失效則體系失效。采用體系可靠度的分析方法，求得系統(tǒng)可靠性。

基于雙臂協(xié)作機(jī)器人高精度、工作狀態(tài)難采樣的工作特性，文中采用一種基于二次四階矩估計(jì)法與體系可靠性相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)在較少樣本的條件下精確計(jì)算協(xié)作機(jī)器人的可靠性。