永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)終端滑?？刂?/h1>
2022-09-21 08:48:20岳陸游湯少東張兵
機床與液壓 2022年17期
岳陸游，湯少東，張兵
(江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)
0 前言
永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)由于體積小、結(jié)構(gòu)簡單、工作時效率高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)臺、機器人、半導(dǎo)體裝備、工廠自動化、醫(yī)療設(shè)備以及軍工等高性能伺服系統(tǒng)。在永磁同步電機的控制方法中，通常使用的是經(jīng)典的PID控制，但由于永磁同步電機是強耦合、非線性系統(tǒng)，具有多種干擾和參數(shù)變化，導(dǎo)致傳統(tǒng)的PID控制很難滿足現(xiàn)代工業(yè)不斷增長的控制性能需求。為減少這些因素帶來的影響，研究更好的控制方法和干擾補償策略顯得尤為重要。
為提高永磁同步電機伺服系統(tǒng)的位置跟蹤性能，國內(nèi)外學者進行了很多工作，也提出了很多解決辦法。文獻[1]提出了一種自適應(yīng)滑?？刂破?，用于永磁同步電機的位置跟蹤控制，自適應(yīng)控制被用來在線估計未知參數(shù)和切換增益的界限以提高控制性能。文獻[2]為了衰減在真實應(yīng)用中不需要的抖動可能對機械系統(tǒng)造成影響，采用飽和功能替換符號功能，有效地衰減抖動。文獻[3]采用模糊PI控制方法，對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)進行位置跟蹤，有效減少了超調(diào)，同時也抑制了振蕩。文獻[4]針對參數(shù)變化，將自適應(yīng)與模糊反演控制算法相結(jié)合，保證了位置誤差在一個比較小的范圍內(nèi)波動。文獻[5]采用模塊化的神經(jīng)動態(tài)表面控制方法，改善了永磁同步電機位置跟蹤瞬態(tài)性能。文獻[6]提出了一種自組織模糊滑?？刂破鳎岣吡擞来磐诫姍C位置伺服系統(tǒng)的性能和魯棒性。文獻[7]設(shè)計了一種具有快速滑動表面和連續(xù)達到律的滑?？刂破?，提高了永磁同步電機的控制性能，實現(xiàn)了位置控制的快速響應(yīng)。
本文作者針對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)中存在的外部負載干擾和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動，設(shè)計一種基于干擾觀測器的終端滑?？刂品椒?Terminal Sliding Mode Control,TSMC)。設(shè)計終端滑模干擾觀測器，對干擾進行估計，并將估計值引入滑?？刂浦羞M行補償，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。采用終端滑?？刂品椒▽Ｎ恢眠M行跟蹤，保證系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定狀態(tài)并且收斂，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度和位置跟蹤精度。
1 永磁同步電機的數(shù)學模型
考慮到永磁同步電機是一個強耦合、復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，為簡化分析，作如下假設(shè)：(1)不計渦流和磁帶損耗;(2)氣息磁場呈正弦分布;(3)忽略鐵心的飽和效應(yīng)。
以表貼式永磁同步電機為例(==)，在d-q坐標系下，可得如下數(shù)學模型：
電壓方程為
(1)
其中:=+;=。
電機機械運動方程為
(2)
=3/2[-(-)]
(3)
又因為==，則PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩可以重新寫成：
=3/2=
(4)
式中：=3/2，=作為控制的輸入。
考慮到非線性摩擦，給出如下非線性摩擦模型：
(5)
式中:為庫侖摩擦力矩;為最大靜摩擦力矩;為黏性摩擦力矩比例系數(shù)；?為一個比較小的正數(shù)。
然后，考慮到參數(shù)不確定性，模型[式(2)]可以寫為
(6)
(7)
假設(shè)1:由參數(shù)不確定性和未知的外部負載引起集成的不確定擾動是有界的,即||<，是已知的。
2 有限時間收斂的干擾觀測器設(shè)計
引理1:假設(shè)存在滿足以下不等式的連續(xù)正定函數(shù)()：
(8)
那么()收斂到平衡點的有限時間為
(9)
其中：、>0;0<<1;為關(guān)于的初始時間。
為設(shè)計具有有限時間收斂的滑模干擾觀察器，引入以下輔助變量：
=-
(10)
為保證有限時間收斂，定義滿足以下形式：
(11)
式中：和為正的奇數(shù),并且<;、、為正數(shù)。
那么終端滑動模式干擾估計為
(12)
引理2:考慮公式(11)和公式(7)，在假設(shè)1的前提下，如果||<,那么干擾觀測器能夠確保在有限時間內(nèi)收斂。
證明：
考慮以下Lyapunov函數(shù):
=12
(13)
對式(13)求導(dǎo)可得:
sign()-(+)-≤--||-(+)+
||||≤--(+)≤--()(+)(2)≤
(14)
根據(jù)引理1，輔助變量能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。另外，可得觀測誤差為
(15)
3 終端滑?？刂破髟O(shè)計
定義1:對于考慮任意高階的單輸入單輸出非線性系統(tǒng)：
(16)
其中:=[…,]為系統(tǒng)可測量的狀態(tài)；()和()為域內(nèi)的光滑函數(shù);∈為系統(tǒng)的輸入；為系統(tǒng)干擾。
那么可以得到一種具有遞歸結(jié)構(gòu)的終端滑動模態(tài)為
(17)
式中:(=1,2,…,)為次終端滑模面；>0、>0；和為正奇數(shù)(=1,2,…,-1)。
考慮系統(tǒng)的位置控制，定義位置誤差為
=-
(18)
則的二階導(dǎo)數(shù)為
(19)
為實現(xiàn)PMSM的有限時間位置跟蹤，滑動模式表面設(shè)計如下：
(20)
其中：==-。
由式(20)可得的導(dǎo)數(shù)為
(21)
考慮式(7)(19),可得:
那么，基于干擾觀測器的終端滑動模式跟蹤控制可設(shè)計為
(22)
其中:、>0。
考慮到非線性系統(tǒng)[式(7)]和終端滑動模式干擾觀察器[式(10)—(12)]，在終端滑動模式跟蹤控制[式(22)]下，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都在有限時間內(nèi)收斂。
證明:
把式(22)代入式(21)，可得：
(23)
又根據(jù)式(15)可得:
(24)
考慮Lyapunov函數(shù):
(25)
由式(14)(24)可得:
(26)
根據(jù)定理1，可以知道滑動模態(tài)變量是有限時間收斂的;從公式(20)可得是和的函數(shù);根據(jù)引理2，可以得到是有限時間收斂的，所以可以得到是有限時間收斂的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都會在有限時間收斂到平衡點。
綜上所述，永磁同步電機終端滑模控制方案的框圖如圖1所示。
圖1 永磁同步電機終端滑?？刂瓶驁D
4 仿真和討論
基于MATLAB/Simulink平臺對該控制算法進行仿真驗證，仿真時所使用的永磁同步電機的部分參數(shù)如表1所示。
表1 PMSM的參數(shù)
干擾觀測器參數(shù)：=2 500,=30,=01,=5，=9。摩擦參數(shù)：=1 N·m;=0.8 N·m;?=2,=0.000 3 N·m·s/rad?？刂破鲄?shù)：=30，=60,=5,=7,=30,=50,=5,=7。為進行比較，證明終端滑動模式控制的有效性，PID控制、傳統(tǒng)的反演法控制(Traditional Backstepping Control，TBC)也被應(yīng)用于PMSM。
(1)PID控制
其中:=1 500,=0.5,=0.05。
(2)傳統(tǒng)的反演法控制(TBC)
其中：為的參考值；=60；=60。
2種位置參考給定為
2種不確定干擾給定為
=2sin(2π)=3+sin(π)
由圖2—圖5可知：在2種不同位置參考下，3種控制器都可以保證位置跟蹤。由圖3可知：當給定外部干擾為、位置參考為時，TBC穩(wěn)態(tài)時產(chǎn)生了1.4%的最大跟蹤誤差，PID更是達到了1.6%，而TSMC的跟蹤誤差幾乎為0。由圖5可知：當給定外部干擾為、位置參考為時，TBC穩(wěn)態(tài)時最大跟蹤誤差為1.5%，PID跟蹤效果最差，誤差達到2.3%，而TSMC穩(wěn)態(tài)時的跟蹤誤差幾乎為0。通過對比2種不同位置參考下3種控制器的跟蹤結(jié)果，可以得到TSMC無論是控制精度還是響應(yīng)速度都優(yōu)于TBC和PID，驗證了終端滑動模式控制的有效性。
圖2 施加干擾dL1,位置參考為y1時,3種控制器的位置跟蹤曲線
圖3 施加干擾dL1,位置參考為y1時,3種控制器的跟蹤誤差
圖4 施加干擾dL2,位置參考為y2時,3種控制器的位置跟蹤
圖5 施加干擾dL2,位置參考為y2時,3種控制器的跟蹤誤差
5 結(jié)論
本文作者基于PMSM位置控制回路的嚴格反饋非線性模型，提出終端滑?？刂撇呗浴τ诓淮_定擾動，設(shè)計一種新的干擾觀測器對干擾進行估計并補償。結(jié)果表明：所提出的控制策略具有更快的響應(yīng)速度和更好的跟蹤性能。
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為提高永磁同步電機伺服系統(tǒng)的位置跟蹤性能，國內(nèi)外學者進行了很多工作，也提出了很多解決辦法。文獻[1]提出了一種自適應(yīng)滑?？刂破?，用于永磁同步電機的位置跟蹤控制，自適應(yīng)控制被用來在線估計未知參數(shù)和切換增益的界限以提高控制性能。文獻[2]為了衰減在真實應(yīng)用中不需要的抖動可能對機械系統(tǒng)造成影響，采用飽和功能替換符號功能，有效地衰減抖動。文獻[3]采用模糊PI控制方法，對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)進行位置跟蹤，有效減少了超調(diào)，同時也抑制了振蕩。文獻[4]針對參數(shù)變化，將自適應(yīng)與模糊反演控制算法相結(jié)合，保證了位置誤差在一個比較小的范圍內(nèi)波動。文獻[5]采用模塊化的神經(jīng)動態(tài)表面控制方法，改善了永磁同步電機位置跟蹤瞬態(tài)性能。文獻[6]提出了一種自組織模糊滑?？刂破鳎岣吡擞来磐诫姍C位置伺服系統(tǒng)的性能和魯棒性。文獻[7]設(shè)計了一種具有快速滑動表面和連續(xù)達到律的滑?？刂破?，提高了永磁同步電機的控制性能，實現(xiàn)了位置控制的快速響應(yīng)。
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電壓方程為
(1)
其中:=+;=。
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(2)
=3/2[-(-)]
(3)
又因為==，則PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩可以重新寫成：
=3/2=
(4)
式中：=3/2，=作為控制的輸入。
考慮到非線性摩擦，給出如下非線性摩擦模型：
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然后，考慮到參數(shù)不確定性，模型[式(2)]可以寫為
(6)
(7)
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(9)
其中：、>0;0<<1;為關(guān)于的初始時間。
為設(shè)計具有有限時間收斂的滑模干擾觀察器，引入以下輔助變量：
=-
(10)
為保證有限時間收斂，定義滿足以下形式：
(11)
式中：和為正的奇數(shù),并且<;、、為正數(shù)。
那么終端滑動模式干擾估計為
(12)
引理2:考慮公式(11)和公式(7)，在假設(shè)1的前提下，如果||<,那么干擾觀測器能夠確保在有限時間內(nèi)收斂。
證明：
考慮以下Lyapunov函數(shù):
=12
(13)
對式(13)求導(dǎo)可得:
sign()-(+)-≤--||-(+)+
||||≤--(+)≤--()(+)(2)≤
(14)
根據(jù)引理1，輔助變量能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。另外，可得觀測誤差為
(15)
3 終端滑?？刂破髟O(shè)計
定義1:對于考慮任意高階的單輸入單輸出非線性系統(tǒng)：
(16)
其中:=[…,]為系統(tǒng)可測量的狀態(tài)；()和()為域內(nèi)的光滑函數(shù);∈為系統(tǒng)的輸入；為系統(tǒng)干擾。
那么可以得到一種具有遞歸結(jié)構(gòu)的終端滑動模態(tài)為
(17)
式中:(=1,2,…,)為次終端滑模面；>0、>0；和為正奇數(shù)(=1,2,…,-1)。
考慮系統(tǒng)的位置控制，定義位置誤差為
=-
(18)
則的二階導(dǎo)數(shù)為
(19)
為實現(xiàn)PMSM的有限時間位置跟蹤，滑動模式表面設(shè)計如下：
(20)
其中：==-。
由式(20)可得的導(dǎo)數(shù)為
(21)
考慮式(7)(19),可得:
那么，基于干擾觀測器的終端滑動模式跟蹤控制可設(shè)計為
(22)
其中:、>0。
考慮到非線性系統(tǒng)[式(7)]和終端滑動模式干擾觀察器[式(10)—(12)]，在終端滑動模式跟蹤控制[式(22)]下，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都在有限時間內(nèi)收斂。
證明:
把式(22)代入式(21)，可得：
(23)
又根據(jù)式(15)可得:
(24)
考慮Lyapunov函數(shù):
(25)
由式(14)(24)可得:
(26)
根據(jù)定理1，可以知道滑動模態(tài)變量是有限時間收斂的;從公式(20)可得是和的函數(shù);根據(jù)引理2，可以得到是有限時間收斂的，所以可以得到是有限時間收斂的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都會在有限時間收斂到平衡點。
綜上所述，永磁同步電機終端滑模控制方案的框圖如圖1所示。
圖1 永磁同步電機終端滑?？刂瓶驁D
4 仿真和討論
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表1 PMSM的參數(shù)
干擾觀測器參數(shù)：=2 500,=30,=01,=5，=9。摩擦參數(shù)：=1 N·m;=0.8 N·m;?=2,=0.000 3 N·m·s/rad?？刂破鲄?shù)：=30，=60,=5,=7,=30,=50,=5,=7。為進行比較，證明終端滑動模式控制的有效性，PID控制、傳統(tǒng)的反演法控制(Traditional Backstepping Control，TBC)也被應(yīng)用于PMSM。
(1)PID控制
其中:=1 500,=0.5,=0.05。
(2)傳統(tǒng)的反演法控制(TBC)
其中：為的參考值；=60；=60。
2種位置參考給定為
2種不確定干擾給定為
=2sin(2π)=3+sin(π)
由圖2—圖5可知：在2種不同位置參考下，3種控制器都可以保證位置跟蹤。由圖3可知：當給定外部干擾為、位置參考為時，TBC穩(wěn)態(tài)時產(chǎn)生了1.4%的最大跟蹤誤差，PID更是達到了1.6%，而TSMC的跟蹤誤差幾乎為0。由圖5可知：當給定外部干擾為、位置參考為時，TBC穩(wěn)態(tài)時最大跟蹤誤差為1.5%，PID跟蹤效果最差，誤差達到2.3%，而TSMC穩(wěn)態(tài)時的跟蹤誤差幾乎為0。通過對比2種不同位置參考下3種控制器的跟蹤結(jié)果，可以得到TSMC無論是控制精度還是響應(yīng)速度都優(yōu)于TBC和PID，驗證了終端滑動模式控制的有效性。
圖2 施加干擾dL1,位置參考為y1時,3種控制器的位置跟蹤曲線
圖3 施加干擾dL1,位置參考為y1時,3種控制器的跟蹤誤差
圖4 施加干擾dL2,位置參考為y2時,3種控制器的位置跟蹤
圖5 施加干擾dL2,位置參考為y2時,3種控制器的跟蹤誤差
5 結(jié)論
本文作者基于PMSM位置控制回路的嚴格反饋非線性模型，提出終端滑?？刂撇呗浴τ诓淮_定擾動，設(shè)計一種新的干擾觀測器對干擾進行估計并補償。結(jié)果表明：所提出的控制策略具有更快的響應(yīng)速度和更好的跟蹤性能。
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