謝磊，李政民卿

(南京航空航天大學，直升機傳動技術國家級重點實驗室，江蘇南京 210016)

0 前言

齒輪傳動具有傳動精確、平穩(wěn)、高效以及結構緊湊和承載能力大等優(yōu)點，被廣泛應用于汽車、船舶和航空等領域。近年來，齒輪動力學仍是齒輪相關領域的研究熱點，許多國內(nèi)外學者針對齒輪的動力學特性，考慮時變嚙合剛度、誤差、齒側間隙和齒面摩擦等因素,展開了大量研究并取得了豐碩的研究成果，為進一步深入研究齒輪動力學奠定了良好基礎。

在考慮誤差的齒輪動力學研究中，BONORI和PELLICANO建立了包含隨機加工誤差的齒輪動力學模型，分析了隨機分布齒廓誤差對動力學的影響；INALPOLAT等研究了以周節(jié)誤差引起的長周期準靜態(tài)傳遞誤差為主要激勵的齒輪動力學特性；WANG和ZHANG將傳遞誤差分解為諧波分量與隨機分量，提出了考慮隨機誤差的齒輪系統(tǒng)動態(tài)分析模型；常樂浩等研究了齒輪綜合嚙合誤差的計算方法及它對系統(tǒng)振動的影響；石照耀等提出了齒輪副整體誤差的概念與獲取方法，研究了考慮整體誤差的齒輪動力學行為；黃康等人基于分形理論研究了粗糙度影響下的齒輪非線性動力學行為，但模型為簡化較多的純扭轉模型?，F(xiàn)有研究表明，齒面微觀形貌會對誤差產(chǎn)生較大影響，但現(xiàn)有齒輪動力學研究中常因粗糙齒面的復雜性而忽略其影響，且在研究時多未考慮摩擦這一重要因素，研究尚不全面。

針對上述問題，為剖析粗糙齒面對齒輪動力學的作用機制，進一步探究粗糙齒面對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，從而為工程齒面精度設計提供參考，本文作者利用分形理論對粗糙齒面進行分形表征，結合齒面摩擦因素，建立考慮粗糙齒面影響的齒輪多自由度非線性動力學模型，研究齒面粗糙度、齒面摩擦及工況對系統(tǒng)動力學特性的影響。

1 粗糙表面的分形表征

在齒輪的加工制造中，由于存在加工方法不同及刀具顫振等原因，實際加工齒面在微觀上都是凹凸不平的，即存在一定的表面粗糙度。表1所示為不同加工方法下的齒面粗糙度范圍，研究粗糙齒面對齒輪動力學特性的影響具有重要的實際意義。分形理論源自對海岸線形狀的研究，它是解決非線性幾何問題的常見方法?，F(xiàn)實生活中，海岸線和粗糙表面輪廓線都是典型的分形曲線，粗糙表面的分形表征是分形理論在工程機械中的重要應用，因此文中采用分形理論模擬隨機粗糙齒面。

表1 不同加工方法下的齒面粗糙度

目前，分形理論表征粗糙表面的方法主要有W-M函數(shù)模擬法、分形插值模擬法和時間序列模擬法等。W-M函數(shù)是處處連續(xù)而處處不可導且具有自仿射特征的分形曲線，在實際工程和科學研究領域中均得到了廣泛應用。W-M函數(shù)構造式為

(1)

式中:為粗糙表面輪廓高度；為自仿射分形維數(shù)，它描述函數(shù)在所有尺度上的不規(guī)則性，對于二維分形，1<<2；為特征尺度系數(shù)，它決定粗糙輪廓的具體高度；為大于1的常數(shù)，一般認為齒面波紋度、粗糙度近似滿足正態(tài)分布，故取1.5；為表面輪廓的截斷頻率;為最低截斷頻率。

輪廓算術平均偏差是最早被提出來的粗糙度評定參數(shù)，目前在國際上仍被多數(shù)國家采用。葛世榮、陳奇等人基于實驗測定，分別給出了粗糙度關于分形維數(shù)和特征尺度系數(shù)的推薦關系式：

(2)

(3)

由此即可通過二維W-M分形函數(shù)生成不同表面粗糙度下的輪廓高度。圖1所示為分別為0.4、1.6和6.3 μm時粗糙表面的模擬結果。

圖1 不同表面粗糙度下的輪廓高度

2 齒輪動力學建模

2.1 直齒輪副嚙合傳動過程

圖2所示為一對直齒輪副的嚙合傳動過程，由于直齒輪傳動的重合度一般在1～2之間，故存在單雙齒交替嚙合情況。主動輪受驅動扭矩的作用以角速度帶動從動輪旋轉，從動輪的角速度及所受扭矩分別為和。圖中為理論嚙合線，為實際嚙合線。齒對1在點嚙入時齒對2在單齒嚙合區(qū)下界點處嚙合，隨著齒輪轉動，齒對2在點退出嚙合，此時齒對1剛好到達單齒嚙合區(qū)上界點，然后經(jīng)過節(jié)點直至點，同時新一對的輪齒又從點嚙入。在雙齒嚙合區(qū)，主動輪受一對動態(tài)嚙合力、(LOA方向)和摩擦力、(OLOA方向)作用，和分別為齒對1和齒對2的摩擦力臂。

圖2 直齒輪副嚙合過程

2.2 動力學模型

利用集中參數(shù)法，建立如圖3所示的齒輪動力學模型。以圖示方向建立笛卡爾坐標系，每個齒輪均有和方向的平移自由度及繞軸旋轉的扭轉自由度。圖中、分別為等效支撐剛度和支撐阻尼；、分別為嚙合剛度和嚙合阻尼；為靜態(tài)傳遞誤差；、、、分別為主從動輪的質(zhì)量與轉動慣量。為簡化研究，假定主、從動輪的等效支撐剛度和阻尼均相同。由于滑動摩擦較滾動摩擦大很多，僅考慮齒間滑動摩擦。由于側隙多在空載和輕載工況下影響較大，且側隙引起的輪齒脫嚙會導致齒面不存在摩擦作用，不考慮側隙影響。

圖3 動力學模型

鑒于粗糙表面接觸的復雜性，假設兩齒面接觸時一齒面為粗糙表面而另一齒面光滑，且不考慮其他誤差因素影響，僅以粗糙輪廓高度作為靜態(tài)傳遞誤差，以此研究粗糙齒面對齒輪動力學特性影響。

定義主、從動輪沿嚙合線上的相對位移為動態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差的差值：

=-=-+--

(4)

作用在第(=1,2)對輪齒的動態(tài)嚙合力可表示為彈性嚙合力與黏性嚙合力之和：

(5)

式中：m為第對輪齒的嚙合剛度，文中采用應用十分廣泛的石川公式求解嚙合剛度，詳細公式此處不再贅述，嚙合剛度計算結果如圖4所示；為嚙合阻尼，可由如下經(jīng)驗公式表示：

圖4 時變嚙合剛度

(6)

其中：為嚙合阻尼比；為齒輪副的等效質(zhì)量；為平均嚙合剛度。

定義為第對齒輪時刻在嚙合線上的位移：

=mod(,)+(-1)

(7)

依據(jù)齒輪嚙合幾何原理，第對輪齒上的摩擦力臂可由下式求得：

(8)

式中：、和、分別為主從動輪的節(jié)圓半徑和齒頂圓半徑。

主、從動輪第對輪齒所受的摩擦力分別為

(9)

式中：為摩擦因數(shù)；為摩擦力換向系數(shù)，當相對滑動速度為正時取“+1”，為負時取“-1”，在節(jié)點處為“0”，可借助符號函數(shù)將其表示為

=sign(g-p)

(10)

則摩擦力矩可表示為

(11)

根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的動力學微分方程為

(12)

3 粗糙度對齒輪動力學特性的影響

齒輪傳動系統(tǒng)是極其復雜的非線性時變系統(tǒng)，其動力學方程一般難以獲得解析解，因此數(shù)值仿真是分析齒輪動力學問題的常用方法。此節(jié)選取一組齒輪基本參數(shù)，如表2所示，利用Simulink仿真器和內(nèi)置的定步長Runge-Kutta法對動力學方程進行數(shù)值求解，研究相關參數(shù)對動力學特性的影響。

表2 齒輪基本參數(shù)

3.1 齒面粗糙度對動力學特性的影響

齒輪傳動過程產(chǎn)生的動態(tài)傳遞誤差是反映系統(tǒng)振動特性的關鍵因素，圖5為粗糙度分別為0.4、1.6、6.3 μm時動態(tài)傳遞誤差的時域譜、頻域譜和相圖。由圖5(a)可知：嚙合輪齒存在明顯周期性沖擊，當粗糙度由0.4 μm上升至6.3 μm時，動態(tài)傳遞誤差顯著增大，經(jīng)計算其方均根值由23.49 μm上升至24.63 μm；由圖5(b)可知：頻率成分主要為嚙合頻率及其倍頻，粗糙度主要影響動態(tài)傳遞誤差的二階振動分量，對其他頻段影響較?。挥蓤D5(c)可知：相圖為一不規(guī)則封閉曲線，表明系統(tǒng)為單周期非簡諧振動且隨著粗糙度上升，系統(tǒng)的周期運動更加復雜，振動愈發(fā)不穩(wěn)定，動態(tài)性能逐步惡化。

圖5 不同粗糙度下動態(tài)傳遞誤差

3.2 齒面摩擦對動力學特性的影響

當齒輪傳動處于不同的潤滑狀態(tài)或齒面出現(xiàn)損傷時，齒面摩擦因數(shù)變化較大，目前仍無可準確描述粗糙度與摩擦因數(shù)關系的解析式。此節(jié)以摩擦因數(shù)為0、0.05、0.2來表示不考慮摩擦、正常潤滑及損傷乏油工況，齒面摩擦對系統(tǒng)動力學特性的影響。圖6—圖8分別為小齒輪沿和方向的振動位移以及齒輪副動態(tài)傳遞誤差的時頻域響應。

圖6 小齒輪x向振動位移

圖7 小齒輪y向振動位移

圖8 不同摩擦因數(shù)下動態(tài)傳遞誤差

由圖6—圖8可知：摩擦因數(shù)上升使得小齒輪沿和方向的振動位移以及系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差均增大，表明齒面摩擦會導致系統(tǒng)的振動和噪聲加劇，這與文獻[15]的結論一致。此外，由于齒面摩擦作用于垂直嚙合線方向，它是導致方向振動的主要激勵，因而對該方向的振動影響更顯著。由圖6—圖8所示的頻域譜可知：齒面摩擦主要影響系統(tǒng)振動位移的前3階振動分量，對高頻振動分量的影響較小。

3.3 工況對動力學特性的影響

在實際應用中，齒輪傳動機構常工作于不同工況下，且現(xiàn)代工業(yè)正朝著高速、重載的方向發(fā)展，研究變工況下粗糙度對齒輪動力學特性的影響，對齒輪傳動系統(tǒng)的設計及應用均具有重要意義。圖9所示為低速輕載、高速輕載和高速重載3種工況下粗糙度為0.4、1.6、6.3 μm時系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差響應，對應的各工況參數(shù)如表3所示。

圖9 不同工況下動態(tài)傳遞誤差

表3 工況參數(shù)

由圖9可以看出：在低速輕載工況下，動態(tài)傳遞誤差的振動規(guī)律、頻率成分和相軌跡較為復雜，粗糙度上升后，動態(tài)傳遞誤差顯著增大，相軌跡愈發(fā)復雜，系統(tǒng)的振動特性逐漸變差；隨著工況由低速輕載向高速重載變化，動態(tài)傳遞誤差的沖擊明顯降低，頻率成分逐漸減少，相軌跡愈發(fā)趨于規(guī)則封閉曲線，系統(tǒng)的振動穩(wěn)定性提高；在高速重載工況下，粗糙度增大對系統(tǒng)動態(tài)傳遞誤差的時頻域響應及相圖的影響較低速輕載時顯著減小。這表明當轉速和扭矩增大時，齒輪傳動的嚙合時間減小，法向載荷增大，使得齒輪副的接觸周期與狀態(tài)發(fā)生明顯變化，進而導致粗糙度對動態(tài)特性的影響越來越小。上述研究表明，粗糙度對齒輪動力學特性的影響因工況變化而不同，結合工況合理地進行齒面精度設計，有利于進一步平衡加工成本與傳動質(zhì)量之間的關系，降低齒輪傳動的振動和噪聲。

4 結論

本文作者從隨機粗糙表面對齒面誤差的影響入手，通過二維W-M分形函數(shù)對粗糙表面進行了分形表征，建立了計及粗糙齒面和摩擦的齒輪非線性動力學模型。采用數(shù)值仿真方法研究了齒面粗糙度、齒面摩擦及工況對齒輪傳動系統(tǒng)動力學特性的影響。主要結論如下：

(1)粗糙度增大時，齒輪副的動態(tài)傳遞誤差增大，系統(tǒng)的周期運動更加復雜，振動穩(wěn)定性下降，動態(tài)性能逐步惡化；

(2)摩擦因數(shù)增大時，系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差和振動位移均增大，齒面摩擦加劇了系統(tǒng)的振動和噪聲，且摩擦對垂直于嚙合線方向的振動位移影響較其他方向更明顯；

(3)粗糙度對齒輪動力學特性的影響因工況變化而不同，低速輕載工況下粗糙度對動態(tài)響應的影響較大，隨著轉速和扭矩增大，粗糙度對動態(tài)響應的影響愈發(fā)不明顯。結合工況合理地進行齒面精度設計，有利于進一步平衡加工成本與傳動質(zhì)量之間的問題。